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1、 线性规划线性规划数学建模与数学实验数学建模与数学实验问题一问题一：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？两个引例两个引例解解 设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型：问题二：问题二：某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘
2、请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？解解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为：因检验员错检而造成的损失为：故目标函数为：故目标函数为：约束条件为：线性规划模型：线性规划模型：1.1.线性规划的标准形式：线性规划的标准形式：用单纯法求解时，常将标准形式化为：2.线性规划的基本算法线性规划的基本算法单纯形法单纯形法线性规划的基本算法线性规划的基本算
3、法单纯形法单纯形法用用MATLAB优化工具箱解线性规划优化工具箱解线性规划minz=cX 1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）2、模型：minz=cX 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式：存在，则令A=，b=.3、模型：minz=cX VLBXVUB命令：1x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）2 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）注意：1若没有等式约束:,则令Aeq=,beq=.2其中X0表示初始点4、命令：x,fval=linprog()返回最优解及处的目标函数值fval.解解
4、编写编写M文件如下：文件如下：c=-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6;A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08;b=850;700;100;900;Aeq=;beq=;vlb=0;0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)解解:编写编写M文件如下：文件如下：c=6 3 4;A=0 1 0;b=50;Aeq=1 1 1;beq=120;vlb=30,0,20;vub=;x,fval=l
5、inprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)引例问引例问题一：题一：S.t.改写为：例例3 问题一的解答编写编写M文件如下文件如下:f=1391011128;A=0.41.110000000.51.21.3;b=800;900;Aeq=100100010010001001;beq=400600500;vlb=zeros(6,1);vub=;x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)结果结果:x=fval=1.3800e+004即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800
6、。引例问引例问题二：题二：约束条件为：例例2 问题二的解答改写为：编写编写M文件如下：文件如下：c=40;36;A=-5-3;b=-45;Aeq=;beq=;vlb=zeros(2,1);vub=9;15;%调用linprog函数：x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)结果为：结果为：x=fval=360即只需聘用9个一级检验员。注：注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它是一个整数线性规划整数线性规划问题。这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是整数，
7、将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解。实验作业实验作业某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.用用MatlabMatlab解无约束优化问题解无约束优化问题 其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等
8、式右边。函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。常用格式如下：常用格式如下：（1）x=fminbnd(x=fminbnd(fun,xfun,x1 1,x,x2 2)（2）x=fminbnd(x=fminbnd(fun,xfun,x1 1,x,x2 2 ，options)options)（3）xx，fval=fminbndfval=fminbnd（.）（4）xx，fvalfval，exitflag=fminbndexitflag=fminbnd（.）（5）xx，fvalfval，exitflagexitflag，output=fm
9、inbndoutput=fminbnd（.）主程序为主程序为wliti1.m:wliti1.m:f=2*exp(-x).*sin(x);fplot(f,0,8);%作图语句 xmin,ymin=fminbnd(f,0,8)f1=-2*exp(-x).*sin(x);xmax,ymax=fminbnd(f1,0,8)例例2 2 对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解解先编写先编写M M文件如下文件如下:function f=fun0(x)f=-(3-2*x).2*x;主程序为主程序为wliti2.m:wliti2.m:x,fval=f
10、minbnd(fun0,0,1.5);xmax=x fmax=-fval运算结果为运算结果为:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边长为米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.ToMatlab(wliti2)命令格式为命令格式为:（1）x=fminunc（fun,X0）；或x=fminsearch（fun,X0）（2）x=fminunc（fun,X0，options）；或x=fminsearch（fun,X0，options）（3）x，fval=fminunc（.）；或x，fval=fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag=fminunc（.）
11、；或x，fval，exitflag=fminsearch（5）x，fval，exitflag，output=fminunc（.）；或x，fval，exitflag，output=fminsearch（.）2、多元函数无约束优化问题、多元函数无约束优化问题标准型为标准型为：min F(X)3 fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制：LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合的二次和三 次多项式插值；LineSearchType=cubicpoly，三次多项式插使用使用fminuncfminunc和和
12、fminsearchfminsearch可能会得到局部最优解可能会得到局部最优解.说明说明:fminsearchfminsearch是用单纯形法寻优是用单纯形法寻优.fminuncfminunc的算法见以下几点说明：的算法见以下几点说明：1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：LargeScale=on(默认值),使用大型算法LargeScale=off(默认值),使用中型算法2 fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由 options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=bfgs（默认值）
13、，拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate=dfp，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法例例3 3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)1 1、编写、编写M-M-文件文件 fun1.m:fun1.m:function f=fun1(x)f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2 2、输入、输入M M文件如下文件如下:x0=-1,1;x=fminunc(fun1,x0);y=fun1(x)3 3、运行结果、运行结果:3.3.用用fminsearchfm
14、insearch函数求解函数求解ToMatlab(wliti41)输入命令:f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f,-1.22)运行结果:fvalexitflag=1output=iterations:108funcCount:202algorithm:Nelder-Meadsimplexdirectsearch例例5 5 产销量的最佳安排产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大.所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.基本假设基本假设1
15、 1价格与销量成线性关系价格与销量成线性关系2 2成本与产量成负指数关系成本与产量成负指数关系 模型建立模型建立 若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015,c1=20,r2=100,2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z最大.为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:z1=(b1-a11x1)x1+(b2-a22x2)x2 的极值.显然其解为x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70,我们把它作为原问
16、题的初始值.总利润为：总利润为：z z(x x1 1,x,x2 2)=()=(p p1 1-q-q1 1)x x1 1+(+(p p2 2-q-q2 2)x x2 2 模型求解模型求解 1.建立M-文件:function f=fun(x)y1=(100-x(1)-0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1);y2=(280-0.2*x(1)-2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2);f=-y1-y2;2.输入命令:x0=50,70;x=fminunc(fun,x0),z=fun(x)3.计算结果:x=23.9025,62.4977,z
17、=6.4135e+003 即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.实验作业实验作业MatlabMatlab优化工具箱简介优化工具箱简介1.MATLAB1.MATLAB求解优化问题的主要函数求解优化问题的主要函数2.2.优化函数的输入变量优化函数的输入变量 使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时,输入变量见下表:3.3.优化函数的输出变量下表优化函数的输出变量下表:4 4控制参数控制参数optionsoptions的设置的设置 (3)MaxIterMaxIter:允许进行迭代的最大次数,取值为正整数.OptionsOptions中常用的几个参数的名称、含义
18、、取值如下中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:(1)DisplayDisplay:显示水平.取值为off时,不显示输出;取值为iter时,显示每次迭代的信息;取值为final时,显示最终结果.默认值为final.(2)MaxFunEvalsMaxFunEvals:允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.例：opts=optimset(Display,iter,TolFun,1e-8)该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为iter,TolFun参数设为1e-8.控制参数控制参数optionsoptions可以通过函数可以通过函数optimsetoptimset创建或修改
19、。命创建或修改。命令的格式如下：令的格式如下：(1)options=optimset(optimfun)options=optimset(optimfun)创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.（2）options=optimset(param1,value1,param2,value2,.)options=optimset(param1,value1,param2,value2,.)创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.(3)options=optimset(oldops,param
20、1,value1,param2,options=optimset(oldops,param1,value1,param2,value2,.)value2,.)创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.oldoptions=optimset(fminunc)options=optimset(oldoptions,LargeScale,off)options11=optimset(options,HessUpdate,dfp)x11,fval11,exitflag11,output11=fminunc(fun2,-1.22,options11)pauseoptions12=optimset(options,HessUpdate,dfp,LineSearchType,cubicpoly)x12,fval12,exitflag12,output12=fminunc(fun2,-1.22,options12)pause