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1、2014-2015学年广西河池市 高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=（i为虚数单位）的共轭复数等于（）A 12iB 1+2iC 2iD 2i2函数f（x）=从x=到x=2的平均变化率为（）A 2B C D 3用反证法证明命题“若a+b+c0，abc0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B a、b、c三个实数中最多有两个小于零C a、b、c三个实数中至少有两个小于零D a、b、c三个实数中至少有一个不大于零4若随机变量XN（1
2、，2），且P（X2）=0.3，则P（X0）等于（）5某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有（）A 6种B 9种C 12种D 24种6设函数f（x）=，则f（）等于（）A B C 1D 17二项式（）9展开式中的常数项为（）A B C 14D 148已知复数z满足|z|+z=1+3i（i为虚数单位），则复数z在复平面所对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限9根据如图样本数据得到的回归方程为=bx+a，若样本点的中心
3、为（5，0.9）则当x每增加1个单位时，y就（） x 3 4 5 6 7 y 4.0 10若（12x）11=a0+a1x+a2x2+a11x11，则a2+a3+a11等于（）A 20B 16C 18D 1711已知函数f（x）=excosx，记f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），则fn+1（x）=fn（x）（nN+），则f2015（x）等于（）A 21007exsinxB 21008excosxC 21006ex（sinxcosx）D 21007ex（sinx+cosx）12将1、2、3、9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列
4、从上到下依次增大，当6在图中的位置时，则填写空格的方法有（）A 8种B 18种C 12种D 24种二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13定积分dx=14（x1）3+（x1）4的展开式中含x2项的系数等于15已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，则集合B=x|x=ab，aA，bA，N+中元素的个数为16如图所示，在三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SCSA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为1，2，3，SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤17某大型企业人力资源部为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了180名员工进行调查，所得数据如下表所示：积极支持企业改革不太赞成企业改革总计工作积极504090工作不积极306090总计80100180对于人力资源部的研究项目，根据上述数据盘算能否在犯错误的概率不超过0.5%的情况下认为工作积极和支持企业改革有关系附：公式及相关数据：P（k2k0k0k2=（其中n=a+b+c+d）18用数学归纳法证明2n+2n2（n3，nN）19已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值（1）求a、b的值；（2）求过点A（0，16）且与曲线y=f（x）相切的切线方
6、程20为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利80元）已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）21已知数列an中a1=，函数f（x）=（1）若正项数列an满足an+1=f（an），试求出a2，a3，a4，由此归纳出通项an，并加以证明；（2）若正项数列an满足an
7、+1f（an）（nN*），数列bn的前项和为Tn，且bn=，求证：Tn22设函数f（x）=，x0（1）判断函数f（x）在（0，+）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）1|a成立2014-2015学年广西河池市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数z=（i为虚数单位）的共轭复数等于（）A 12iB 1+2iC 2iD 2i考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：z=i2，=2i故选
8、：D点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2函数f（x）=从x=到x=2的平均变化率为（）A 2B C D 考点：变化的快慢与变化率专题：导数的概念及应用分析：求出从x=到x=2的增量y=f（2）f（），然后利用平均变化率的公式求出即可解答：解：函数f（x）x=到x=2的增量y=f（2）f（）=21=1，f（x）从x=到x=2的平均变化率为=，故选：B点评：本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题3用反证法证明命题“若a+b+c0，abc0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（）A a、b、c三个实数中最多有一个不大于零B
9、a、b、c三个实数中最多有两个小于零C a、b、c三个实数中至少有两个小于零D a、b、c三个实数中至少有一个不大于零考点：反证法与放缩法专题：证明题；推理和证明分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，由此得出结论解答：解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的否定为：“a、b、c三个实数中至少有两个小于零”，故应假设的内容是：a、b、c三个实数中至少有两个小于零故选：C点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行
10、否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口4若随机变量XN（1，2），且P（X2）=0.3，则P（X0）等于（）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题；概率与统计分析：随机变量服从正态分布N（1，2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到结果解答：解：随机变量XN（1，2），曲线关于x=1对称，P（X2）=0.3，P（X0）=0.3，故选：A点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题5某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每
11、班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有（）A 6种B 9种C 12种D 24种考点：排列、组合的实际应用专题：计算题；排列组合分析：根据题意，分2步进行分析：、将甲教师要安排在1班或2班、将剩下的3人全排列、安排在其他三个班级，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，分2步进行分析：、由于甲教师要安排在1班或2班，则甲有2种情况可选，、将剩下的3人全排列、安排在其他三个班级，有A33=6种情况，则不同的分配方案有26=12种；故选：C点评：本题考查排列、组合的应用，注意优先分析、满足受到限制的元素6设函数f（x）=，则f（）等于（）A
12、 B C 1D 1考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据导数的运算法则求导，再带值计算解答：解：f（x）=，则f（）=1，故选：C点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题7二项式（）9展开式中的常数项为（）A B C 14D 14考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项解答：解：二项式（）9 的展开式的通项公式为 Tr=，令=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为=84=，故选：A点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题8已知复数z满足|z|+
13、z=1+3i（i为虚数单位），则复数z在复平面所对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：设z=a+bi（a，bR），由于复数z满足|z|+z=1+3i（i为虚数单位），可得+a+bi=1+3i，于是，解出即可解答：解：z=a+bi（a，bR），复数z满足|z|+z=1+3i（i为虚数单位），+a+bi=1+3i，解得，z=4+3i，则复数z在复平面所对应的点（4，3）在第二象限故选：B点评：本题考查了复数的模的计算公式、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9根据如图样本数据得到的回归方程为=bx+
14、a，若样本点的中心为（5，0.9）则当x每增加1个单位时，y就（） x 3 4 5 6 7 y 4.0 考点：线性回归方程专题：计算题；概率与统计分析：由题意=0.9，所以a+b=6.5，利用样本中心为（5，0.9），可得0.9=5b+a，求出a，b，可得回归方程，即可得出结论解答：解：由题意，=0.9，所以a+b=6.5，因为样本中心为（5，0.9），所以0.9=5b+a，联立可得b=1.4，a=7.9，所以=1.4x+7.9，所以x每增加1个单位，y就减少1.4个单位，故选：B点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键10若（12x）11=a0+a1x
15、+a2x2+a11x11，则a2+a3+a11等于（）A 20B 16C 18D 17考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：由条件利用二项展开式的通项公式，求得 a0和a1的值，可得a0+a1的值在所给的等式中，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a11 =1，从而求得a2+a3+a11 的值解答：解：由（12x）11=a0+a1x+a2x2+a11x11，可得a0=1，a1=（2）=22，a0+a1=21在（12x）11=a0+a1x+a2x2+a11x11 中，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a11 =1，a2+a3+a11 =20，故选：A点评：本题主要考查二项式定理的应用
16、，二项展开式的通项公式注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题11已知函数f（x）=excosx，记f1（x）=f（x），f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），则fn+1（x）=fn（x）（nN+），则f2015（x）等于（）A 21007exsinxB 21008excosxC 21006ex（sinxcosx）D 21007ex（sinx+cosx）考点：导数的运算专题：导数的综合应用分析：求出函数的导数，计算导数的规律性，即可得到结论解答：解：f（x）=excosx，（ex）=ex，（ex）=ex，（ex）（n）
17、=ex，表示ex的n次导数cosx=sinx，cosx=cosx，cos（n）x=f1（x）=f（x）=ex（cosxsinx），f2（x）=f1（x）=cosxexsinxexsinxexcosxex=2exsinx，f3（x）=f2（x）=2ex（cosx+sinx），f4（x）=（x）=22excosx，f5（x）=22ex（cosxsinx），f6（x）=23exsinx当n=2015时，f2015（x）=f2014（x）=21007exsinx故选：A点评：本题主要考查导数的计算，根据导数的公式，得到导数的规律是解决本题的关键，属于中档题12将1、2、3、9这九个数字填在如图所示的9
18、个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当6在图中的位置时，则填写空格的方法有（）A 8种B 18种C 12种D 24种考点：归纳推理专题：排列组合分析：根据中间数为6，其他数从左到右依次增大，从上到下依次增大，故左上角必须填数字1，右下角必须填数字9，设未填的方格中应填的数字依次数a、b、c、d、e、f，根据排列组合可得结论解答：解：如图所示，中间数为4，其他数从左到右依次增大，从上到下依次增大，故左上角必须填数字1，右下角必须填数字9设未填的方格中应填的数字依次是a、b、c、d、e、f，其中d，f只能是7和8，有A22种填法，当a，c排定后b，e随之排定，故只要排好a
19、，c即可，在2，3，4，5中按a小c大来选排，有C24种排法，因此，一共有A22C24=12种不同的填法，故选：C点评：本题主要考查了计数原理的应用，以及分类讨论的思想和排列组合的运用，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13定积分dx=3+ln2考点：定积分专题：导数的概念及应用分析：根据定积分的计算法则计算即可解答：解：dx=（3+）dx=（3x+lnx）|=32+ln23=3+ln2故答案为：3+ln2点评：本题考查了定积分的计算，属于基础题14（x1）3+（x1）4的展开式中含x2项的系数等于3考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：由条件利用二项式展开式的
20、通项公式，求得开式中含x2项的系数解答：解：（x1）3+（x1）4 的展开式中含x2项的系数等于 （1）+=3+6=3，故答案为：3点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题15已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，则集合B=x|x=ab，aA，bA，N+中元素的个数为15考点：元素与集合关系的判断专题：集合分析：根据题意得到集合B表示任取的两个元素a，b（a，b可以相同）之积为偶数的集合，据此写出集合B中元素的个数解答：解：B表示任取的两个元素a，b（a，b可以相同）之积为偶数的集合，又16=23，34=26，14=22，所以集合B的元素的个数为+3=15故答案
21、是：15点评：本题考查元素与集合关系的判断，是基础题解题的关键是得到“集合B表示任取的两个元素a，b（a，b可以相同）之积为偶数的集合”16如图所示，在三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SCSA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为1，2，3，SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是考点：类比推理专题：计算题；推理和证明分析：由类比推理猜想结论，结论不一定正确解答：解：在DEF中，由正弦定理，得于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体SABC中，我们猜想成立故答案为：点评：本题考查了类比推理属于基础题三、解答题：本大题共6小
22、题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某大型企业人力资源部为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了180名员工进行调查，所得数据如下表所示：积极支持企业改革不太赞成企业改革总计工作积极504090工作不积极306090总计80100180对于人力资源部的研究项目，根据上述数据盘算能否在犯错误的概率不超过0.5%的情况下认为工作积极和支持企业改革有关系附：公式及相关数据：P（k2k0k0k2=（其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验的应用专题：计算题；概率与统计分析：利用公式计算K2，再与临界值比较可得结论解答：解：由22列联表可得：K2=9，97.879
23、，在犯错误的概率不超过0.5%的情况下认为工作积极和支持企业改革有关系点评：本题考查独立性检验的意义、收集数据的方法，考查学生的计算能力，属于中档题18用数学归纳法证明2n+2n2（n3，nN）考点：数学归纳法专题：推理和证明分析：根据数学归纳法的证明步骤：n=3时，原不等式显然成立；然后假设n=k时成立，即有2k+2k2，然后证明n=k+1时成立即可，并且用上n=k时的不等式便有，左边=2k+1+2=2（2k+2）22k22，右边=k2+2k+1，从而说明2k22k2+2k+1即可解答：证明：（1）n=3时，109，不等式成立；（2）假设n=k（k3，kN）时不等式成立，即2k+2k2；当n
24、=k+1时：左边=2k+1+2=2（2k+2）22k22；右边=（k+1）2=k2+2k+1；2k22（k2+2k+1）=k22k3=（k3）（k+1）0；2k22（k+1）2，k3，kN；即当n=k+1时，2k+1+2（k+1）2，不等式成立；综上得，2n+2n2（n3，nN）点评：考查数学归纳法的概念，以及数学归纳法证明题的步骤，在证明n=k+1成立时，要想着用上n=k时得出的式子，作差比较法的应用19已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值（1）求a、b的值；（2）求过点A（0，16）且与曲线y=f（x）相切的切线方程考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线
25、方程专题：导数的综合应用分析：（1）利用极值的意义，建立方程，即可求a，b；（2）设切点坐标利用导数的几何意义求切线方程，然后利用切线过原点，确定切点坐标即可解答：解：（1）f（x）=3ax2+2bx3，依题意，f（1）=f（1）=0，即，解得a=1，b=0（2）曲线方程为y=x33x，点A（0，16）不在曲线上设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=3x0因f（x0）=3（1），故切线的方程为yy0=3（1）（xx0）注意到点A（0，16）在切线上，有16（3x0）=3（ 1）（0x0），化简得：=8，解得x0=2所以，切点为M（2，2），切线方程为9xy+16=0点评：本题主要考查
26、函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，要注意过点的切线和在点处的切线的不同20为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利80元）已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散
27、型随机变量及其分布列专题：计算题分析：（）记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；（）由已知可知X的取值为320，200，80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可解答：解 （）记“该产品不能销售”为事件A，则所以，该产品不能销售的概率为（4分）（）由已知，可知X的取值为320，200，80，40，160（5分），（10分）所以X的分布列为X3202008040160P（11分）E（X）=40所以，均值E（X）为40（13分）点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，
28、以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题21已知数列an中a1=，函数f（x）=（1）若正项数列an满足an+1=f（an），试求出a2，a3，a4，由此归纳出通项an，并加以证明；（2）若正项数列an满足an+1f（an）（nN*），数列bn的前项和为Tn，且bn=，求证：Tn考点：数列的求和；归纳推理专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）通过对an+1=两边同时取倒数、变形可知数列1是以1为首项、为公比的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过an+1（nN*）变形可知，进而累乘得：，进而an，通过裂项、放缩可知bn，并项相加即得结论解答：证明：（1）依题
29、意，a2=，a3=，a4=，由此归纳得出：an=；证明如下：an+1=，=+，1=（1），数列1是以1为首项、为公比的等比数列，1=，an=；（2）an+1f（an）=（nN*），1（1），累乘得：，1，即an，an，bn=，Tn+=点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题22设函数f（x）=，x0（1）判断函数f（x）在（0，+）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）1|a成立考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的办法，通过导数大于或小于0判断函数的单
30、调性（2）先将|f（x）1|化为|f（x）1|=，从而原不等式化为a，即ex（1+a）x10令（x）=ex（1+a）x1，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立解答：解：（1）f（x）=，（2分）令h（x）=（x1）ex+1，则h（x）=ex+ex（x1）=xex，当x0时，h（x）=xex0，h（x）是（0，+）上的增函数，h（x）h（0）=0故f（x）=0，即函数f（x）是（0，+）上的增函数（6分）（2）|f（x）1|=|，当x0时，令g（x）=exx1，则g（x）=ex10（8分）故g（x）g（0）=0，|f（x）1|=，原不等式化为a，即ex（1+a）x10，（10分）令（x）=ex（1+a）x1，则（x）=ex（1+a），由（x）=0得：ex=1+a，解得x=ln（1+a），当0xln（1+a）时，（x）0；当xln（1+a）时，（x）0故当x=ln（1+a）时，（x）取最小值=a（1+a）ln（1+a），（12分）令s（a）=ln（1+a），a0则s（a）=0故s（a）a（0）=0，即=a（1+a）ln（1+a）0因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立（14分）点评：本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用利用导数判断函数的单调性常用的方法