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1、人教版课标一般高中数学 必修2.4平面对量的数量积教案 A第 1 课时教学目标一、学问与技能1. 把握平面对量的数量积及其几何意义；2. 把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3. 了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面对量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面对量数量积的生疏三、情感、态度与价值观通过问题的解决，培育学生观看问题、分析问题和解决问题的实际操作力量；培育学生的沟通意识、合作精神；培育学生表达表达自己解题思路和探究问题的力量教学重点、难点教学重点：平面对量数量
2、积的定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用. 教学关键：平面对量数量积的定义的理解教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面对量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面对量数量积的生疏 学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算 教学预备教师预备: 多媒体、尺规. 学生预备: 练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入课在物理课中，我们学过功的概念，即假设一个物体在力F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功W 可由下式计算：W=| F | | s | cos，其中 是 F 与 s 的夹角我们知道力和位
3、移都是向量，而功是一个标量数量故从力所做的功动身，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念二、主题探究，合作沟通提出问题1教师备课系统多媒体教案ab 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？由所学学问可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？师生活动:两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积或内积，记作 ab，即ab=|a|b|cos0其中 是 a 与 b 的夹角，|a|cos|b|cos叫做向量 a 在 b 方向上b 在 a 方向上 的投影在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生留意:（1）
4、 两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2） 零向量与任一向量的数量积为0，即 a0=0；（3） 符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；pp（4） 当 00，从而 ab0；当 2 时，cos0，从而 ab0，则ABC 是锐角三角形；人教版课标一般高中数学 必修在ABC 中，假设 AB BC 0，则ABC 为钝角三角形；ABC 为直角三角形的充要条件是 AB BC =0；ABC 为斜三角形的充要条件是 AB BC 0其中为真命题的是ABCD 3设|a|=8，e 为单位向量，a 与 e 的夹角为 60，则 a 在 e 方向上的
5、投影为A43B4C42D8+3 24. 设 a、b、c 是任意的非零平面对量，且它们相互不共线，有以下四个命题:abc-cab=0；|a|-|b|1B. m - 1D. m - 122223. 假设 a=cos，sin，b=cos，sin，则AabBabCa+ba-bDa+ba-b 4与 a=u，v垂直的单位向量是vuu 2 + v 2u 2 + v 2A -,vuu 2 + v 2u 2 + v2B,-vuu 2 + v 2u 2 + v 2C,D -vuvuu 2 + v 2u 2 + v2u 2 + v2,或,-u 2 + v 25向量 a=cos23，cos67，b=cos68，cos
6、22，u=a+tbtR，求 u的模的最小值6. a，b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a-4b 与 7a-2b 垂直，求 a 与b 的夹角7. ABC 的三个顶点为 A1，1，B3，1，C4，5，求ABC 的面积参考答案：cos2 23o + sin2 23o1C2D3C4Dcos2 23o + cos2 67o5|a|=1，同理有|b|=1又 ab=cos23cos68+cos67cos222=cos23cos68+sin23sin68=cos45=，22211|u|2=a+tb2=a2+2tab+t2b2=t2+t+1=t+22+22当 t= -22时，|u|=2min
7、26由a+3b7a-5b a+3b7a-5b=0 7a2+16ab-15b2=0 又a-4b7a-2ba-4b7a-2b=0 7a2-30ab+8b2=0b 2 = | b |2 .-得 46ab=23b2，即 ab= 22|a| |b|b| |b|2ab =|b|2 2= 1 将代入，可得 7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，即|a|2=|b|2，有|a|=|b|，假设记 a 与 b 的夹角为 ，则 cos=又 0，180，=60，即 a 与 b 的夹角为 6017分析：S=| AB | AC |sinBAC，而| AB |，| AC |易求，要求 sinBAC 可ABC2先求出cos
8、BACAB AC2 3 + 0 4=| AB | | AC |2 5解： AB =2，0， AC =3，4，| AB |=2，| AC |=5，cosBAC= 3 sinBAC= 4 S= 1 | AB | AC |sinBAC= 155425=4ABC225教案 B第一课时教学目标一、学问与技能1. 了解平面对量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2. 体会平面对量的数量积与向量投影的关系，理解把握数量积的性质和运算律， 并能运用性质和运算律进展相关的推断和运算二、过程与方法体会类比的数学思想和方法，进一步培育学生抽象概括、推理论证的力量 三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动
9、参与、乐观探究，学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜悦，增加学习数学的自信念和乐观性，并养成良好的思维习惯教学重点平面对量数量积的定义，用平面对量的数量积表示向量的模、夹角 教学难点平面对量数量积的定义及运算律的理解，平面对量数量积的应用 教具多媒体、实物投影仪 内容分析本节学习的关键是启发学生理解平面对量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面对量数量积的生疏主要学问点：平面对量数量积的定义及几何意义；平面对量数量积的 3 个重要性质； 平面对量数量积的运算律教学流程概念引入概念获得简洁运用运算律探究理解把握反思提高教学设想：一、情境设置
10、：问题 1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？qsF结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W = | F | S |cosq，q是 F 与 S 的夹角引导学生生疏功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进展分析人教版课标一般高中数学 必修二、课讲解1. 平面对量数量积内积的定义：两个非零向量 a 与 b，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫 a 与 b 的数量积，记作 ab，即有 ab = |a|b|cosq，并规定：0 与任何向量的数量积为 0问题 2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉
11、及向量的交角，运算结果是数量留意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分（1） 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所打算（2） 两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘号， 既不能省略，也不能用“”代替（3） 在实数中，假设 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，假设 a0，且 ab=0， 不能推出 b=0由于其中cosq有可能为 0（4） 实数 a、b、cb0，则 ab=bc a=c但是在向量的数量积中，ab = bc推导不出 a = c .如以下图：ab
12、= |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc ，但 a c.5在实数中，有abc = abc，但是在向量中，abc abc明显，这是由于左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c不共线 “投影”的概念：作图2. 定义：|b|cosq叫做向量 b 在 a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为 0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|3. 向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方
13、向上投影|b|cosq的乘积11人教版课标一般高中数学 必修3例 1平面上三点 A 、B 、C满足| AB |=2 ， | BC |=1 ， | CA |=， 求AB BC + BC CA + CA AB 的值.解:由,| BC |2+| CA |2=| AB |2，所以ABC 是直角三角形.而且ACB=90,13从而 sinABC=13，sinBAC=.22ABC=60，BAC=30. AB 与BC 的夹角为 120， BC 与CA 的夹角为 90， CA 与 AB 的夹角为 150.故 AB BC + BC CA + CA AB3=21cos120+1cos90+2cos1503=-4.点
14、评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点一样,再考察其角的大小,而不是简洁地看成两条线段的夹角,如例题中 AB 与BC 的夹角是 120,而不是 60.探究 1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ，何时为负？ 当 0 90时 ab 为正；当 =90时 ab 为零；90 180时 ab 为负.探究 2：两个向量的夹角打算了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特别性呢？4. 两个向量的数量积的性质： 设 a、b 为两个非零向量1ab ab = 02当 a 与 b 同向时，ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时，ab = -|a|b| 特别的 aa
15、 = |a|2a a或| a |=3 |ab| |a|b|公式变形：cosq =a b| a | b |探究 3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去争论过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？引导学生类比得出运算律，教师作补充说明向量a、b、c 和实数，有1 a b= b a2a b= a b = ab3a +b c = a c+ b c进一步你能证明向量数量积的运算律吗？引导学生证明1、2例 2推断正误：AB BAa00；0a；0-；aa；假设 a0，则对任一非零有 a；a，则 a 与中至少有一个为 0；对任意向量 a， 都有a；a 与是两个单位向量，则 a上述 8 个命题中只有正确；例
16、 3 a，当a，a，a 与的夹角是 60时，分别求 a解：当 a时，假设 a 与同向，则它们的夹角 ，aacos036118； 假设 a 与反向，则它们的夹角 180，aacos18036-1-18；当 a时，它们的夹角 90，a；当 a 与的夹角是 60时，有1aacos6036 2 9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是 0，180，因此，当 a时，有 0或 180两种可能评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 三、课堂练习21. |a|=1，|b|=，且a-b与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是A60B30C135D，那么向量2. |a|=2，|b|
17、=1，a 与 b 之间的夹角为 3m=a-4b 的模为3A2B2C6D123. a、b 是非零向量，假设|a|=|b|则a+b与a-b.p4向量 a、b 的夹角为 3 ，|a|=2，|b|=1，则|a+b|a-b|=5. a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么 ab=26|a|=1，|b|=，1假设 ab，求 ab；2假设 a、b 的夹角为 45，求|a+b|；3假设 a-b 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角参考答案:1D2B3垂直 42175-3226. 解：1假设 a、b 方向一样，则 ab=；假设 a、b 方向
18、相反，则 ab=；52|a+b|=345 四、学问小结（1） 通过本节课的学习，你学到了哪些学问？（2） 关于向量的数量积，你还有什么问题？ 五、课后作业教材第 108 页习题 24A 组 1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当是数学学问的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体 的活动，没有学生乐观参与的课堂教学是失败的本节课教学设计依据“问题争论解决”的模式进展，并以学生为主体，教师以课堂教学的引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探究平面对量数量积定义、性质和运算律的形成与进展过程始终 做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”第 2 课时教学目标一、学问与技能把
19、握平面对量的数量积坐标运算及应用 二、过程与方法1. 通过平面对量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性.2. 从具体应用体会向量数量积的作用 三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同的方法分析的态度 . 教学重点、难点教学重点：平面对量数量积的坐标表示.教学难点：平面对量数量积的坐标表示的综合运用. 教具多媒体、实物投影仪. 教学设想一、复习引入向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的便利上一节，我们学习了平面对量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面对量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题二、探究知： 平面两向量数量积的坐标表示两个非零向量a
20、 = (x , y11) ， b = (x , y22) ，试用a 和b 的坐标表示a b 设 i 是 x 轴上的单位向量， j 是 y 轴上的单位向量， 那么 a = x i + y j ，b = x i + y j 22所以a b = (x i + yj)(xi + yj) = x xi 2 + xy i j + xy i j + y11yj 2 112212122112又i i = 1 ， j j = 1， i j = j i = 0 ，所以a b = x x12+ y y 12这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即a b = x x12+ y y 122 平面内两点间的
21、距离公式1设a = (x, y) ，则| a |2 = x 2+ y 2 或| a |=x 2 + y 2假设表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x , y11) 、(x , y22) ，那么(x - x )2 + ( y - y )21212| a |=（2） 向量垂直的判定平面内两点间的距离公式设 a = (x , y11) ， b = (x , y22) ，则a b x x12+ y y12= 0 （3） 两非零向量夹角的余弦0 q p cosq =a b=| a | | b |x x+ y y12x 2 + y 212x 2 + y22112三、例题讲解例 1 a =
22、3， -1，b = 1， 2，求满足 xa = 9 与 xb = -4 的向量 x解：设 x = t，s，由 xa =9, 3t - s =9, t = 2,.xb =- 4,t + 2s =- 4,s =- 3.x = 2，-3.例 2 a，3，b3，3-，则 a 与 b 的夹角是多少？教师备课系统多媒体教案分析：为求 a 与 b 夹角，需先求 ab 及ab，再结合夹角 的范围确定其值 解：由 a， 3 ，b 3 ， 3 -.有 ab 3 3 3 -，a，b 2 a b =2记 a 与 b 的夹角为 ，则pa b2.又， 4 .评述：三角形函数值求角时，应留意角的范围确实定例 3如图，以原点
23、和 A5， 2为顶点作等腰直角OAB，使B = 90，求点 B和向量 AB 的坐标解：设 B 点坐标x， y，则OB = x， y， AB = x-5， y-2. OB ABxx-5 + yy-2 = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0.又| OB | = | AB |x2 + y2 = x-52 + y-22 即：10x + 4y = 29.x = 7,x = 3,由 x2 + y2 -5x-2y =0, 12或 22 .10x+ 4y = 29,372 y =-,1 y2 = 2.7337AB3773B 点坐标(,-) 或(,) ；= (-,-) 或(-,).22222222例 4 在ABC 中， AB =2， 3， AC =1， k，且ABC 的一个内角为直角，求 k 值解：当A = 90时， AB AC = 0，21 +3k = 0， k = - 3 2当B = 90时， AB BC = 0， BC = AC - AB = 1-2， k-3 = -1， k-3，112-1 +3k-3 = 0k = 3 16人教版课标一般高中数学 必修 3 132当C = 90时， AC BC = 0，