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1、高二数学 第 1 页，共 4 页 2022-2023 学年第二学期高二年级第一次学习效率监测 2022-2023 学年第二学期高二年级第一次学习效率监测 高二数学 高二数学 一、单项选择题：（共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）一、单项选择题：（共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1直线22xy=的横截距与纵截距分别为（）A2，1 B2，1 C4，2 D4，2 2函数()313f xx=的斜率等于 1 的切线有（）A1条 B2条 C3条 D不确定 3如图，在三棱锥OABC中，D是BC的中点，若OAa=，OBb=，OCc=，则A
2、D等于（）A1122abc+Babc+Cabc+D1122abc 4某鞋店销售四种a，b，c，d不同款式的运动鞋，甲、乙、丙三人每人任意选择一款运动鞋购买，则不同的购买选择有（）A24种 B48种 C64种 D81种 5过点()3,3M 作圆()22125Cxy+=：的切线，则切线方程为（）A4330 xy+=B43210 xy+=C0 xy+=D60 xy+=6 桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁 桁架桥一般由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成下面是某桁架桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成其中ABBH=，那么直线AH与直线IG所成角的余弦
3、值为（）A32B32C12D12广 东 省 东 莞 市 某 校高二数学 第 2 页，共 4 页 7已知数列 na满足111nnnaaa+=，且113a=，则 na的前2023项之积为（）A23 B13 C2 D3 8函数()f x在定义域 R 内可导，若()(2)f xfx=，且(1)()0 xfx，设()()3230.52,log 2,log2afbfcf=，则a，b，c的大小关系为（）Aabc Bc ba Ccba Dbca 二、多选题二、多选题（本题共（本题共 4 4 小题，共小题，共 2020 分。在每小题有多项符合题目要求）分。在每小题有多项符合题目要求）9已知数列 na的前 n项和
4、()29nSnn n=+N，则下列结论正确的是（）A na是等差数列 B460aa+=C910aa DnS有最大值814 10若椭圆22221(0)2xymmm+=+的某两个顶点间的距离为 4，则m的可能取值有（）A5 B7 C2 D2 11如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，E是1DD的中点，则（）A直线1/BC平面1ABD B11BCBD C三棱锥11CBCE的体积为13 D三棱锥11CBCE的外接球表面积为4116 12已知函数()sinlnf xxx=+，将()fx的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 nx，对于正整数 n，则下列说法中正确的有（）A()1nnx
5、n B1nnxx+C(21)2nnx为递减数列 D()2(41)1 ln2nnf x +三、填空题三、填空题（本题共（本题共 4 4 小题，共小题，共 2020 分）分）13已知函数()sinf xx=，且()g x为()fx的导函数，则3g=_ 14若数列na的前n项和为nS，且21nnSa=+，则na=_.高二数学 第 3 页，共 4 页 15已知函数()1eexxf xax=有两个极值点1x与2x，若()()124fxfx+=，则实数a_.16设F为双曲线2222:1(0,0)xyEabab=的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：xt 使得过
6、F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有,B P Q三点共线，则ta的最大值为_.四、解答题四、解答题（本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7 70 0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数3()2f xaxbx=+在2x=处取得极值14(1)求a，b的值；(2)求函数()f x在3,3-上的最值 18已知公差不为零的等差数列 na满足23a=，且137,a a a成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)设数列 nb满足 11,nnnnbba a+=的前n项和为nS，求证:12nS 19已知抛物线2:2(0)C yp
7、x p=的焦点(1,0),FO为坐标原点，,A B是抛物线 C 上异于 O的两点.（1）求抛物线 C的方程；（2）若直线,OA OB的斜率之积为12，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.高二数学 第 4 页，共 4 页 20 如图，四棱台ABCDA1B1C1D1的下底面和上底面分别是边4和2的正方形，侧棱CC1上点E满足C1EC1C13 (1)证明：直线 A1B平面 AD1E；(2)若 CC1平面 ABCD，且 CC13，求直线 BB1与平面 AD1E 所成角的正弦值 21瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在
8、平面直角坐标系中作ABC，4ABAC=，()1,3B，()4,2C，且其“欧拉线”与圆M：()2223xyr+=相切（1）求ABC的“欧拉线”方程；（2）点(),x y在圆M上，求3xy+的最值 22已知关于x的方程ln0axx=有两个不相等的正实根1x和2x，且12xx.(1)求实数a的取值范围；(2)设k为常数，当a变化时，若12kx x有最小值ee，求常数k的值。1 2022-2023 学年第二学期高二年级第一次学习效率监测（数学）参考答案 2022-2023 学年第二学期高二年级第一次学习效率监测（数学）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 2
9、 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C B D C B AB BCD ABD AC 答案 C B A C B D C B AB BCD ABD AC 13.12 14.12n 15.4 16.54 17.（1）因3()2f xaxbx=+，故2()3fxaxb=+，1 分 由于()f x在2x=处取得极值，故有(2)0(2)14ff=即12082214abab+=+=,2 分 化简得12048abab+=+=解得112ab=,4 分 经检验，1,12ab=时，2()3123(2)(2)f xxxx=+,令()0fx，解得2x或2x，令()0fx，解得22x，所以(
10、)f x在(,2)单调递增，()2,2单调递减，(2,)+单调递增，所以()f x在2x=处取得极值，符合题意，所以1,12ab=5 分（2）由（1）知32()122,()312f xxxfxx=+=令()0fx=，得122,2xx=6 分 在 3,3x 时，随 x 的变化()fx，()f x的变化情况如下表所示：x 3(3,2)2(2,2)2(2,3)+3()fx 正 0 负 0 正 ()f x 11 单调递增 18 单调递减 14 单调递增 7 8 分 当2x=时，()f x有极大值(2)18f=，当2x=时，()f x有极小值(2)14f=因为(2)18(3)7;(2)14(3)11ff
11、ff=因此()f x在 3,3的最小值为(2)14f=最大值为(2)18f=10 分 18.（1）设 na的首项为1a，公差为d，根据1a，3a，7a成等比数列，可得2317aa a=，1 分 又23a=，可得方程组()()21111263ada adad+=+=，即21123da dad=+=，4 分 又0d，解得112da=，故1nan=+6 分 2（2）111(1)(2)12nbnnnn=+，7 分 所以12nnSbbb=+11111111111123451134526nnnn=+1122n=+10 分 因为*Nn，所以111222n+所以12nS 12 分 19.（1）24yx=，4
12、分（2）当直线AB的斜率不存在时，设22(,),(,)44ttAt Bt，因为直线,OA OB的斜率之积为12，所以222441tttt=，化简得232t=，所以(8,),(8,)At Bt，此时直线AB的方程为8x=，6 分 设ykxb=+，1122(,),(,)A x yB x y，由24yxykxb=+，得2440kyyb+=，则214y ykb=，因为,OA OB的斜率之积为12，所以121212yyxx=，即1 21220 x xy y+=，即可2212122044yyy y+=，解得1232y y=，所以432bk=，即8bk=，所以8ykxk=，即(8)yk x=，AB过定点(8
13、,0)12 分 20.（1）证明：延长1DE和DC交于点M，连接MA交BC于点N，连接1D N，由112C ECE=，故1112C DCM=，所以4CMAB=，所以MCNABN，所以BNNC=，所以N为BC中点，2 分 又1111/BACD且1111ADBC=，11/BCBN且11BCBN=，所以11/AD BN且11ADBN=，故四边形11ABND为平行四边形，所以11/AB DN，又1DN 平面1ADE，1AB平面1ADE，所以1/AB平面1ADE.4 分（2）解：以C为原点，CD，CB，1CC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()()110,4,0
14、,0,2,3,4,4,0,2,0,3,0,0,2BBADE.所以()()()110,2,3,2,4,3,4,4,2BBADAE=.6 分 设平面1ADE的法向量(),nx y z=，由100n ADn AE=，得24304420 xyzxyz+=+=，取()1,2,2n=，10 分 故所求角的正弦值为11462 1339913n BBnBB=，所以直线1BB与平面1ADE所成角的正弦值为2 1339.12 分 3 21.（1）因为在ABC中，4ABAC=所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为ABC边BC的垂直平分线AD2 分 因为点()1,3B，点()4,2C，所以3 1,
15、2 2D 由直线BC的斜率为3211 4+=，4 分 可得BC的垂直平分线的斜率为1，所以BC的垂直平分线方程为1322yx=，即10 xy=为ABC的“欧拉线”方程；6 分（2）圆M：()2223xyr+=的圆心为(3,0)M，半径为r，因为直线10 xy=与圆M相切，所以圆心(3,0)M到直线10 xy=的距离为r，即3 122r=，8 分 令3zxy=+，即3zxy=代入圆M的方程，可得()()22323zxx+=，整理，得224(182)210 xz xt+=，10 分 因为该方程有解，所以22(182)4 4(21)0zz=+，解得32 232 2z+，所以3xy+的最大值为32 2
16、+，最小值为32 2.12 分 22.（1）由ln0axx=且0 x，可得ln xax=.设()()ln,0,xF xxx=+，则()21ln xFxx=，2 分 令()0Fx=，解得ex=.当0ex时，()0Fx，()F x单调递增；当ex时，()0Fx，()F x单调递减；函数()ln xF xx=的图象如下：又x趋向于 0 时()F x趋向，x趋向于+时()F x趋向 0；要使()F x图象与直线ya=有两个交点，则()0eaF，故 a的取值范围是10,e.4 分（2）因为()10F=，由（1）得121xex，则12221211lnlnln,lnxxxxaxxxx=，设()211xt t
17、x=，则11lnlnlntxtx+=，即12lnlnln,ln11tttxxtt=，由12kx x有最小值ee，即()12lnlnln1kttkxxt+=有最小值e.设()()()()()()2ln11 ln1,11kttgkkttktgttttt+=+=，记()()()()()22111 ln1,1ttkkkkG tkttkG ttttt+=+=+=，4 由于1t，若1k，则()0G t，可得()G t单调递增，此时()()10G tG=，即()()0,g tg t单调递增，此时()g t在(1,)+没有最小值，不符合题意.6 分若1k，()1,tk时，()0G t，则()G t在()1,k
18、单调递减，(),tk+时，()0G t，则()G t在(),k+单调递增.又()10G=，()()10G kG=，且t趋向于+时()G t趋向+，故0,()tk+且唯一，使得()00G t=.此时01tt 时，()0G t，即()0g t，此时()g t在()01,t上单调递减；0tt时，()0G t，即()0gt，()g t在()0,t+上单调递增.所以1k 时，()g t有最小值()0g t，8 分 而()00g t=，即()0001 ln10kkttkt+=，整理得0000ln11ln1ttktt+=+此时()()()20000000lnln11ln1ktttg tttt+=+，由题意知()0eg t=.设()()()()()222 e20,e1e1xxxxxxxh xxh xxx+=+10 分 设()()()()2 e2,1 e1xxH xxxHxx=+=+.设()()(),e0 xu xHxuxx=，故()Hx递增，()()00HxH=.此时()H x递增，有()()00H xH=，令e1xyx=+且0 x，则1 e0 xy=，即y在(0,)+上递增，故0|0 xyy=，此时()0hx，故()h x在(0,)+递增，而()1eh=知，()eh x=的唯一解是1x=.故()0eg t=的唯一解是0ln1t=，即0et=.综上所述，2e2ek=.12 分