2023届江西省九所重点中学高三第二次联考联合考试理科数学试题含答案.pdf

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1、2023 年江西省九所重点中学高三联合考试数学（理科）试卷 第 1 页 共 2 页学科网（北京）股份有限公司分宜中学 玉山一中 临川一中2023 年年江江西西省省南城一中 南康中学 高安中学高高三三联联合合考考试试彭泽一中 泰和中学 樟树中学数学试卷（理科）注意事项：1 本本试试卷卷分分第第卷卷（选选择择题题）和和第第卷卷（非非选选择择题题）两两部部分分.满满分分 150 分分.考考试试时时间间为为 120 分分钟钟.2 本本试试卷卷分分试试题题卷卷和和答答题题卷卷，第第卷卷（选选择择题题）的的答答案案应应填填在在答答题题卷卷卷卷首首相相应应的的空空格格内内，做做在在第第卷卷的的无无效效.3

2、答答题题前前，考考生生务务必必将将自自己己的的姓姓名名、准准考考证证号号填填涂涂在在答答题题卡卡相相应应的的位位置置。一一.选选 择择题题:本本 大大题题 共共 12 个个 小小题题,每每 小小题题 5 分分,共共 60 分分.在在 每每小小 题题给给 出出的的 四四个个 选选项项 中中，只只 有有一一 个个是是 符符合合 题题目目 要要求求 的的.1.已知集合234014Px xxQxNx，则=PQ（）A1,2,3,4B1,2,3C1,2D2,3,42.已知复数z满足3 1 i1 iz，z（）A.2B.3C.5D.103.周髀算经中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而

3、视之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径是一寸，筒长是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为()A.1160B.180C.1608021D.320160214.已知某样本的容量为 50，平均数为 36，方差为 48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将 24 记录为 34，另一个错将 48 记录为 38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为2s，则（）A236,48sx B236,48sx C236,48sx

4、D236,48sx 5.已知抛物线:2=2(0)的焦点为，点(0,2 2)(02)是抛物线C上一点，以点为圆心的圆与直线=2交于,两点若2os32cMFG，则抛物线C的方程是（）A.2yxB.22yxC.24yxD.28yx6.已知圆 C：22210 xyrr上的点),(baQ均满足,03,02baba则 r 的最大值为（）A22B63C2 55D3 10107.一袋中有大小相同的 3 个白球和 4 个红球，现从中任意取出 3 个球，记事件 A：“3 个球中至少有一个白球”，事件 B：“3 个球中至少有一个红球”，事件 C：“3 个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（）A事件 A 与事件

5、 B 不为互斥事件B事件 A 与事件 C 不是相互独立事件C3130|ACPD)()(ABPACP8.ABC 中，已知ABC 的面积为34(2 2 2)，设 D 是边的中点，且ABC 的面积为3，则ABDADB 等于()A2B4C-4D-29.将边长为 4 的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.8 6B.6C.24D.610.已知函数 sin3cos033f xxx在区间3,42 上单调，且在区间0,2内恰好取得一次最大值 2，记)(xf的最小正周期为 T,则当取最大值时，)3(Tf的值为（）A1B1C3D

6、311.已知双曲线,12:22 yxC，若直线：)0(kttkxy与双曲线C交于不同的两点QP,，且QP,与)1,0(M构成的三角形中有MQPMPQ，则t的取值范围是()A.(,3)(0,+)B.(,3)(0,13)C.(13,0)(3,+)D.(13,3)12.已知函数()，()，()的定义域均为，()为()的导函数.若()为偶函数，且()+()=1，()(4 )=1.则以下命题错误的是()A.(2022)=0;B.()关于直线=2 对称;C.=12022?()=2022;D.=12023?()=2023二二.填 空题：本 大题 共填 空题：本 大题 共 4 小 题小 题,每 小题每 小题

7、5 分分,共共 20 分分,请 把答 案填 在题 中横 线上请 把答 案填 在题 中横 线上.13.612xx展开式中常数项为_（用数字作答）.启用前绝密（3 月 16 日）2023 年江西省九所重点中学高三联合考试数学（理科）试卷 第 2 页 共 2 页14 定义：?=?sin，其中为向量?与?的夹角，若?=2，?=5，?=8，则?等于_.15.已知某圆锥的侧面积等于底面面积的 4 倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为_.16.已知函数)(xf的导函数)(xf 满足：xexfxf2)()(，且2)0(f，当),0(x时，2()1lnexx f xax

8、x 恒成立，则实数a的取值范围是_.三、解 答题：共三、解 答题：共 70 分分.解 答应 写出 文字 说明、证 明过 程和 演算 步骤解 答应 写出 文字 说明、证 明过 程和 演算 步骤.第第 17-21 题 为必 考题，每个 试题 考生 都必 须作 答题 为必 考题，每个 试题 考生 都必 须作 答.第第 22，23 题 为选 考题，考 生根 据要 求作 答题 为选 考题，考 生根 据要 求作 答.(1)必考题：共必考题：共 60 分分.17.已知数列 nnba 和满足+=2+1，且 nb满足)(221Nnbbbnnn，.1,132aa（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）设数列 n

9、a的前 n 项和为nS，求当1250nnS时，正整数 n 的最小值.18.基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节2022 年有 3500 名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩(,100)，且(50)=(70).笔试成绩高于 70 分的学生进入面试环节(1)从报考该试点高校的学生中随机抽取 10 人，求这 10 人中至少有一人进入面试的概率；(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分

10、别为13、13、12、12.设这 4 名学生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望附：若 (,2)，则(|)0.6827，(|2)0.9545，0.8413510 0.1777，0.9772510 0.794419.如图，在几何体中，=,，已知平面 平面，平面 平面，/平面 ABC，ADDE(1)证明：平面；(2)若=2=2，设为棱上的点，且满足 2=,求当几何体的体积取最大值时与所成角的余弦值20.设椭圆 E 的方程为2221xya（a1），点 O 为坐标原点，点 A，B 的坐标分别为,0a，0,1，点 M 在线段 AB 上，满足2BMMA，直线 OM 的斜率为14（1）求椭圆的方

11、程：（2）若动直线 l 与椭圆 E 交于 P，Q 两点，且恒有 ，是否存在一个以原点 O 为圆心的定圆 C，使得动直线 l 始终与定圆 C 相切？若存在，求圆 C 的方程，若不存在，请说明理由21.已知函数()=+2，()=2+1，其中为实数，为自然对数底数，=2.71828（1）已知函数 ，()1，求实数取值的集合;（2）已知函数()=()()有两个不同极值点1、2求实数的取值范围;证明：2(1+2)312（二二）选选考考题题：共共 10 分分.请请考考生生在在第第 22，23 题题中中任任选选一一题题作作答答，如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分.22选选修修 4-4

12、：坐坐标标系系与与参参数数方方程程在平面直角坐标系xoy中，圆O的方程为122 yx，圆E以0,3为圆心且与圆O外切.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆E的极坐标方程.（2）若射线0,20与圆O交于点A,与圆E交于点,CB且6OCOBOA,求直线BC的斜率.23选选修修 4-5：不不等等式式选选讲讲已知正数cba,满足1abc.（1）求证：.827121212cba（2）若正数nm,满足1nm，求证：.1ncmnbmnam学科网（北京）股份有限公司分宜中学 玉山一中 临川一中2023 年年江江西西省省南城一中 南康中学 高安中学高高三三联联合合考考试试彭泽一中 泰和中

13、学 樟树中学数学试卷（理科）答答案案一、选择题：(每小题 5 分，共 60 分)题号123456789101112答案BDDBCADACCBC二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分)13.6014.615.410，16.,1三、解答题：17（1）11a，113ab，12b.47a ，4499716ba.3418bqb，解得2q=，所以111222nnnnbbq，212nnan.（2）由（1）知212nnan，所以(321)2(1 2)21 2nnnnS(2)2(21)nn n21222nnn，1250nnS可化为22480nn，解得6n，正整数 n 的最小值为 6.18(1)(50)=(7

14、0)，=50+702=60设“至少有一名学生进入面试”为事件，=60，=10，(70)=1+(|)21+0.68272=0.84135，()=1 0.8413510 1 0.1777=0.8223，故 10 人中至少有一人进入面试的概率 0.8223(2)的可能取值为 0，1，2，3，4，(=0)=20(1 13)220(1 12)2=19，(=1)=2113(1 13)20(1 12)2+20(1 13)22112(1 12)=13，(=2)=22(13)220(1 12)2+2113(1 13)2112(1 12)+20(1 13)222(12)2=1336，(=3)=22(13)2211

15、2(1 12)+2113(1 13)22(12)2=16，(=4)=22(13)222(12)2=136，01234()1913133616136()=0 19+1 13+2 1336+3 16+4 136=5319.(1)证明：过点作 交与点，平面 平面，平面 平面=，平面，平面，又/平面，又 ，且 =，,平面，平面；(2)过点作交于点，连接，平面 平面，平面 平面=，平面，平面，又因为 平面，所以/平面，,到平面的距离相等，/且=，四边形是平行四边形，/，平面，=,=，=+=13 +13 =13+13 =13(1+)，又2+2=2+2=2=1，令=(01)，则=()=13(1+)=12(1

16、+)3，()=1+3 12(1 2)，当 0,12时，()0，当 12,1 时，()0，所以()在 0,12上单调递增，在12,1 上单调递减，即(12)=34，当且仅当=12时取得最大值如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系 ，则A(32,0,0),B(12,1,0),E(0,12,32),C(12,0,0),D(0,0,32)，所以?=(76,56,36),CD?=(12,0,32)设与所成角为，则cos=cos?,?=|?|?|?|=2 7777，即当几何体体积最大时，与所成角的余弦值为2 777720（1）设点 M 的坐标00,xy，点 M 在线段 AB 上，满足2BMMA，111,1

17、,333 3aAMABa ，121,0,3 333aaOMOAAMa ，故023ax，013y，因为0014yx，132314a，解得：a2，椭圆 E 的方程2214xy；（2）当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的方程为x n，所以2244nn，245n，此时2 55d，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，),(),(2211yxQyxP，原点 O 到直线 1 的距离为 d，所以221mdk，整理得2221mdk，由2214xyykxm，可得222418440kxkmxm，2222284 414416 410kmkmkm，122841kmxxk，21224441mx xk2212

18、121212y ykxmkxmk x xkm xxm222222224484414141mkmmkkkmmkkk225440mk，22251440dkk，恒成立，即225410dk恒成立，所以2540d，所以2 55d，所以定圆 C 的方程是2245xy所以当?=0 时，存在定圆 C 始终与直线 l 相切，其方程是2245xy.解：(1)由()=()1=+2 1，得()=+2，当 0 时，因为(1)=(1 1)2 0，不合题意;当 0 时，当 (,ln(2)时，()0，()单调递增，所以()min=(ln(2)=2+2ln(2)1，要()0，只需()min=2+2ln(2)1 0，令()=ln

19、 1，则()=ln，当 (0,1)时，()0，()单调递增;当 (1,+)时，()0 时，由 2+2=0，得12=1，令()=1所以()=2，当 (,2)时，()0，()单调递增;当 (2,+)时，()0，()单调递减;所以()max=(2)=12，因为(1)=0，lim+1=0，所以 0 1222，故实数的取值范围为(122,+).设1 2，由则 1 1 2 2，因为(1)=(2)=0，所以1=21 2，2=22 2，则21=2111，取对数得2 1=ln(2 1)ln(1 1)，令1 1=1，2 1=2，则2 1=ln2 ln1，即2 ln2=1 ln1(0 1 1 2)，令()=ln，则

20、(1)=(2)，因为()=1，所以()=ln在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，令()=()(1)=1 2ln，则()=(1)22 0，()在(0,+)上单调递增，又(1)=0，所以当 (0,1)时，()(1)=0，即()1，2 1 1，()=ln在(1,+)上单调递增，所以211，所以2 1 111，即12 1+2，所以12 1+223122(1+2)23(1+2)，故 312 2(1+2)成立22.解析:（1）因为圆E以0,3为圆心且与圆O外切，所以其半径为21OE.所以圆E的普通方程为4322yx.由,4322yx得.05622xyx由,cos,222xyx得圆E的极坐标方程

21、为.05cos62（2）由题意得,1OA所以.5 OCOB把代入,05cos62得,05cos62则OCOB,是05cos62的两个根，所以,5cos6OCOB解得,65cos所以,611cos1sin2所以,511tan所以直线BC的斜率为.51123.（1）证明：因为cba,为正数，所以33232121232121212aaaa（当且仅当1a时，取等号）。同理可得32312bb（当且仅当1b时取等号），32312cc（当且仅当1c时取等号）。因为正数cba,满足1abc，所以8278271212123abccba（当且仅当1cba时取等号）（2）因为正数cba,满足1abc.所以.33,3333222abccbacbacabcab因为正数nm,满足1nm，所以ncmnbmnam=3223nmncbanmacbcababcm13333223nmnmnnmm（当且仅当1cba时取等号）。