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1、湖南省多校联考湖南省多校联考数学参考答案 第 1 页（共 6 页）2023 年 3 月高二月考测试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1A【解析】Ax|2x4x|x2，又 Bx|x4，RBx|x4，A(RB)x|2x4，故选A.2D【解析】()bab，()0 bab，20 b ab，即2 b ab，2cos,|a bba babab1，,a b，故选 D.3C【解析】616(2)kkkkTC xy，要得到 x5y 项，
2、则 k1，151526(2)12TC xyx y故选 C.4D【解析】16yxx，曲线 y3x2lnx 在12x 处的切线的斜率为16212，故选 D.5B【解析】四名学生分别前往学校 A、B、C 三个校门做志愿者，若每个校门至少安排一名学生，共有2343CA36种安排方法，其中：志愿者甲安排到 A 校门，共有322332ACA12种安排方法，志愿者甲安排到 A 校门的概率为121363，故选 B.6A【解析】截面过 CO1，截面与圆柱的下底面的交线过 C 点，设交线为 l，连接 CO，过点 O 向 l 引垂线，垂足点为 D，连接 O1D，则ODO1为截面与圆柱的下底面所成的角，且13tanO
3、OODOD，要使 最小，则 OD 最大，而 ODCO=1，此时 D 点与 C 点重合，l平面 O1CO，从而截面垂直于平面 O1CO，点 O 到截面的距离为点 O 到直线 CO1的距离1113322OC OOCO.故选 A.7B【解析】当 x1 时，f(x)|ex1|=1，解得：x=ln2；当 x1 时，易证0lnxx1，所以ln011xx，由 f(f(x)=1，则有 f(x)ln2(0,1)，x1时，ln()1xf xx，211ln()(1)xxfxx，令1()1lng xxx，则 g(x)=21xx(x1)g(x)0，g(x)在(1,+)单调递减，g(x)0，f(x)0，f(x)在(1,+
4、)单调递减，作出函数 f(x)的图象，由图可知：f(x)=ln2 有三个根故选 B.8C【解析】抛物线 C 的方程为 y28x，F(2,0)，抛物线 C 的准线方程为 x2，方程(a2)xy4a60 可化为 a(x4)2xy60，(a2)xy4a60 过定点 B(4,2).设 Q(x,y)，设 F,B 的中点为 A，数学参考答案 第 2 页（共 6 页）则 A(3,1)，因为 FQBQ，Q 为垂足，1|22QAFB，所以(x3)2(y1)22，即点 Q 的轨迹为以 A为圆心，半径为2的圆，过点 P 作准线 x2 的垂线，垂足为 P1，则|PP1|PF|，|PF|PQ|PP1|PQ|PP1|PA
5、|2，当且仅当 A,P,P1三点共线且 P 在 A,P1之间时等号成立，过点 A 作准线 x2 的垂线，垂足为 A1，则|PP1|PA|AA1|5，当且仅当 A1,P,A 三点共线时等号成立，|PF|PQ|52，当且仅当 A1,P,Q,A 四点共线且 Q 在 P,A 之间时等号成立，所以|PF|PQ|的最小值为 52故选 C.二、选择题：二、选择题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有
6、选错的得 0 分分 9AC【解析】圆 C：22(1)1xy，圆心：(1,0)，半径：r1，所以 A 正确；对于 B，(21)2021，点(2,0)在圆 C 上，B 错误；对于 C，1010，直线 xy10 过圆心(1,0)，圆 C 关于直线 xy10 对称，C 正确；对于 D，圆心(1,0)到直线 xy0 的距离为22102211，直线 xy0 截圆 C所得的弦长为：2222 122，D 错误故选：AC.10BD【解析】在“杨辉三角”第 6 行中，从左到右第 6 个数是56C6，A 错误；由二项式系数的性质知：012CCCC2nnnnnn，B 正确；在“杨辉三角”中，当 n10 时，从第 1
7、行起，每一行的第 2 个数之和为 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，故 C 错误；对于 D 选项：取 k2，则22111CCCCCkknnnnnn，所以数列1CCkknn为公差为 1 的等差数列，D 正确故选：BD.11ABC【解析】A 正确；21ln()xfxx，当 x(0,e)时，f(x)0，f(x)为增函数；当 x(e,+)时，f(x)0，f(x)为减函数e20232024，f(2023)f(2024)，B 正确；又ln22ln2ln4(2)(4)244ff，e34，f(4)f(3)，即 f(2)f(3)，C 正确；对于 D，若 f(x)m 有两个不相等的正实根 x1,x2
8、，不妨取 x2e3，显然 x22e，此时不满足 x1x22e，D 不正确.故选：ABC.12ACD【解析】连接 BQ 并延长交 CA 于 S，连接 NS，由平面几何知识可得：S 是CA 的中点，且 N,R,S 三点共线由 PR面 B1CM 可得：PRB1Q，且 P 为 B1N 上靠近 N 的三等分点，所以 A 正确，B 错误；对于 C，三棱锥 P-B1CM 的体积等于三棱锥 B-B1CM 的体积，而 VB-B1CMVB1-BCM1122 1 2323 ，所以 C 正确；对于 D，ABC 的外心是 S，NS平面 ABC，三棱锥 P-ABC 的外接球球心一定在直线 NS 上，设三棱数学参考答案 第
9、 3 页（共 6 页）锥 P-ABC 的外接球球心为 O，半径为 R，OSh，则 R2OA2SA2SO2222(2)2hh，R2OP2NP2ON2222(2)3h23849hh，2h223849hh，解得：59h，22518728181R，2 748481SR表面积，所以 D 正确故选：ACD 三、填空题：三、填空题：本题共本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13240【解析】两女生看成一个元素，2525AA240 1439【解析】9a2a7a12(a2a12)a72a7a73a7，a73，S13113132aa713 22a13a739 153【解析】双曲
10、线 C：22221xyab的离心率为 2，3ba，c2a，设PF1F2的内切圆圆心为 I，双曲线的右顶点为 A，易知：IAx 轴，设直线 PF2的倾斜角为，则tan2bca3，3 16e【解析】因为lnlnxxxxxeeexe，所以(ln)0 xea xxx可化为ln(ln)xxea xx，构造 f(x)xlnx(x0)，则11()1xfxxx，令 f(x)0，得 0 x1；令 f(x)0，得 x1，故 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，则 f(x)minf(1)1ln11，令 txlnx(x0)，则 t1，故ln(ln)xxea xx可化为teat对t1 恒成立，即mi
11、nteat，构造()(1)teg ttt，则22(1)()0tttteeteg ttt，所以 g(t)在1,+)上单调递增，故 g(t)ming(1)e，即minteet，所以 a 的最大值是 e 四、解答题四、解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）【答案】见解析.【解析】学习时间位于10,15)上的学员数为：0.0205 10010；同理可得学习时间位于15,20),20,25),25,30),30,35),35,40上的学员数分别为：15,20,30,15,10，3 分(对两个给
12、 1 分)（1）0.020 50.030 50.040 50.45，0.50.45550.060 560.83，100 名员工学习时间的中位数为 250.8325.83；5 分 数学参考答案 第 4 页（共 6 页）平均数10 12.5 15 17.52022.53027.5 15 32.5 10 37.5100252510025.25 7 分 这 100 名员工学习时间的中位数与平均数分别为：25.83，25.25；（2）211510325CC2146Cp10 分(其它解法对照给分)18（12 分）【答案】见解析.【解析】f(x)3sin2x2cos2x3sin2x(cos2x1)2sin(
13、2x6)1 2 分（1）f(x)2sin(2x6)1，且 x0,2 所以52666x，从而22sin(2x6)11 4 分 所以 f(x)的值域为2,1；6 分（2）02Af，2sin 21026A，A3 8 分 由：ABAC3 得 cbcosA3 可得：bc6，10 分 ABC 的面积 S12bcsinA3sin33 3212 分 19（12 分）【答案】见解析.【解析】以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，PB(1,0,2)，PC(2,2,2)2 分（1）证
14、明：设平面 PBC 的法向量为(x1,y1,z1)，平面 PCD 的法向量为v(x2,y2,z2)，则PBPC可得：11111202220 xzxyz，取 z11，可得：x12，y11(2,1,1)，同理可得：v(0,1,1)，6 分(法向量对一个给 2 分)由v0 得：平面 PBC平面 PCD；8 分（2）解：由(1)知：(2,1,1)，AD(0,2,0)，设直线 AD 与平面 PBC 所成角为，10 分 则 sin|ADAD22666 12 分(其它解法对照给分)数学参考答案 第 5 页（共 6 页）20（12 分）【答案】见解析.【解析】（1）由 an2an-11 可得：an12(an-
15、11)，即 bn2bn-1(n2)，2 分 又 b1a112 3 分 所以数列bn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列；4 分（2）n 为偶数时，cn2n；n 为奇数时，1111(2)22ncn nnn，6 分 S2n(c1c3c5c2n-1)(c2c4c6c2n)111112335112121nn(222422n)8 分 111221n221414n 10 分 441213nnn 12 分 21（12 分）【答案】见解析.【解析】（1）f(x)mcosx，f(6)mcos60，m322 分 当 m32时，x(0,6)时，f(x)0；x(6,)时，f(x)0 函数 f(x)在 x6处取得极小
16、值，m32，3 分 函数 f(x)的解析式为：f(x)32xsinx；4 分（2）令 g(x)12x2mxsinx，则 g(0)0，g(x)xmcosx，令 h(x)g(x)则 h(x)1sinx0，h(x)在 R 上是增函数，6 分 当 m1 时，x0，h(x)h(0)1m0，即 g(x)0，g(x)在0,+)上是增函数，g(x)g(0)0，f(x)12x2恒成立；8 分 当 m1 时，h(0)1m0，h(m2)m2mcos(m2)0，存在 x0(0,m+2)，9 分 使得 h(x0)0，且 x(0,x0)时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)在(0,x0)单调递减，且 g(x)g(0)，
17、即 f(x)12x2，不符合题意 11 分 综上知：m 的取值范围是：(,1 12 分 22（12 分）【答案】见解析.数学参考答案 第 6 页（共 6 页）【解析】（1）由题意可知：“2-1 椭圆群”的方程为：221(0)4xyttt 24344ttet，e32；2 分（2）由题意得，C1：2222xyab2t2(ab0)；C2：2222xyabt2(ab0)，当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB：2xt a，若2xt a，则22,At at b，又OQOAOB,所以22(),()Qt at b，代入 C1中，得()2()22，即 221；若2xt a，同理可得 221；4 分 当直线 A
18、B 斜率存在时，设直线 AB：ykxm，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由OQOAOB,得 Q(x1x2,y1y2)，由22222ykxmxytab可得；b2x2a2(kxm)2t2a2b2，即：(b2a2k2)x22a2kmxa2(m2t2b2)0(2a2km)24(b2a2k2)a2(m2t2b2)0，化简得：m2t2(b2a2k2)，6 分 由222222ykxmxytab可得；b2x2a2(kxm)22t2a2b2，即：(b2a2k2)x22a2kmxa2(m22t2b2)0，x1x222222222amt bba k，x1x222222a kmba k，8 分 y1y2(kx1m
19、)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2222222222bmt a kba k b2x1x2a2y1y2222222222a bmt bba k2222222222a bmt a kba k222222222222a bmt bt a kba k0,10 分 因为点 Q 在椭圆 C1上，所以，2122xxa2122yyb2t2，整理，得 2(b2x12a2y12)2(b2x22a2y22)2(b2x1x2a2y1y2)2t2a2b20 又A(x1,y1)，B(x2,y2)在 C1上，b2x12a2y12b2x22a2y222t2a2b2，2t2a2b2(221)0 而：2t2a2b20，11 分 所以 2210，即 221 综上所述，22为定值，且 22112 分