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1、下学期 53实数与向量的积2 下学期 5.3实数与向量的积2 （其次课时） 一.教学目标 1.了解平面对量基本定理的证明.把握平面对量基本定理及其应用； 2.能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示. 二.教学重点：平面对量基本定理 教学难点：理解平面对量基本定理. 三.教学具预备 直尺、投影仪. 四.教学过程 1.设置情境 上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来.这个非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？假如是这样的话，对平面上任一向量的讨论就可以化归为对基向量的讨论了. 2.探
2、究讨论 师：向量 与非零向量 共线的充要条件是什么？ 生：有且仅有一个实数 ，使得 师：如何作出向量 ？ 生：在平面上任取一点 ，作 ， ，则 师：对！我们知道向量 是向量 与 的合成， 、 也可以看做是由向量 的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？ 平面对量基本定理：假如 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 我们把不共线的向量 、 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底. 说明：实数 ， 的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理. 对该定理重在使用. 下面看例题 【例1】已知向量 、 ，求作 . 【
3、例2】如图所示， 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，用 、 表示 、 、 和 ？ 解：在 中 说明：这些表示方法很常用，要熟记 用向量法争论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是 、 ，由它可以“生”成 ， ，. 【例3】如图所示，已知 的两条对角线 与 交于 ， 是任意一点，求证 证明： 是对角线 和 的交点 ， .在 中， 同理： 相加可得： 注：本题也可以取基本向量 ， ， ， ，利用三角形中线公式（向量），得 两种表示方式： 得 证毕. 【例4】如图所示 、 不共线， （ ），用 ， 表示 . 解 说明：本题是个重要题型：设 为平面上任一点. 则： 、 、 三点共
4、线 或令 ， 则 、 、 三点共线 （其中 ） 当 时， 常称为 的中线公式（向量式）. 3.演练反馈 （1）命题 ：向量 与 共线；命题 ：有且只有一个实数 ，使 ；则 是 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 （2）已知 和 不共线，若 与 共线，则实数 的值等于_. （3）如图 中，点 是 的中点，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 ，求 的值. 参考答案： （1）B （2） （3）解：（如图）设 ， ，则 ， ， 、 、 和 、 、 分别共线，存在 、 ，使 ， . 故 ，而 . 由基本定理得 ，即 4.总结提炼 （1）当平面内取定一组基底 ， 后，任一向量 都被 、 惟一确定，其含义是存在惟一这数对 ，使 ，则必有 且 . （2）三点 、 、 共线 （其中 且 ） 五.板书设计