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1、精选优质文档-倾情为你奉上数列的综合问题【2019年高考考纲解读】1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用能力【重点、难点剖析】一、利用Sn,an的关系式求an1数列an中,an与Sn的关系an2求数列通项的常用方法(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中,满足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可
2、用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列) 二、数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题三、数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型,它的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求
3、通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果【高考题型示例】题型一、 利用Sn,an的关系式求an例1、已知等差数列an中,a22,a3a58,数列bn中,b12,其前n项和Sn满足:bn1Sn2(nN*)(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn,求数列cn的前n项和Tn.解(1)a22,a3a58, 2d23d8,d1,ann(nN*)bn1Sn2(nN*),bnSn12(nN*,n2)由,得bn1bnSnSn1bn(nN*,n2),bn12bn(nN*,n2)b12,b22b1,bn是首项为2,公比为2的等
4、比数列,bn2n(nN*)【感悟提升】给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.【变式探究】已知数列an的前n项和Sn满足:a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)若an0,数列的前n项和为Tn,试问当n为何值时,Tn最小?并求出最小值解(1)由已知a1anS1Sn,可得当n1时,aa1a1,解得a10或a12,当n2时,由已知可得a1an1S1Sn1,得a1an.若a10,则an0,此时数列an的通项公式为an0.若a12,则2an,化简得an2an
5、1,即此时数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,故an2n(nN*)综上所述,数列an的通项公式为an0或an2n.(2)因为an0,故an2n.设bnlog2,则bnn5,显然bn是等差数列,由n50,解得n5,所以当n4或n5时,Tn最小,最小值为T4T510.题型二数列与函数、不等式的综合问题例2、已知函数f(x)ln(1x).(1)若x0时,f(x)0,求的最小值;(2)设数列an的通项an1,证明:a2nanln 2. 若,则当x0时,f(x)0时,f(x)ln(1x),令x,则ln,ln,ln,ln,ln.以上各式两边分别相加可得lnlnlnln,即lnlnln 2,a2nan
6、ln 2.【感悟提升】解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视 (2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件(3)不等关系证明中进行适当的放缩【变式探究】已知等比数列an的前n项和为Sn(nN*),满足S42a41,S32a31.(1)求an的通项公式;(2)记bnlog2(nN*),数列bn的前n项和为Tn,求证:2.(1)解设an的公比为q,由S4S3a4,S42a41得,2a42a3a4,所以2,所以q2.又因为S32a31,所以a12a14a18a11,所以a11,所以an2n1(nN*)(
7、2)证明由(1)知bnlog2(an1an)log2(2n2n1)2n1,所以Tnnn2,所以11120)(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示);(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围解设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2,(1)由已知,a14000.9m,a20.9m4000.920.9mm3241.9m.(2)a30.9m4000.930.92m0.9mm,an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm4000.9nm4000.9n10m0.9n10m.由已知nN*,an550,(1)当40010m0,即m40时,显然满足题意;
8、(2)当40010m0,即m40时,由指数函数的性质可得0.910m550,解得m190.综合得m40;(3)当40010m40时,由指数函数的性质可得10m550,解得m55,综合得40m55.综上可得所求m的范围是.【感悟提升】常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间n的总产值yN(1p)n.(2)银行储蓄复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和ya(1r)n.(3)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和ya(1nr)(4)分期付款模型:a为贷款总额,r为年
9、利率,b为等额还款数,则b. 【变式探究】2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f(n)为第 1 年至此后第 n(nN*)年的累计利润(注:含第 n 年,累计利润累计净收入累计投入,单位:千万元),且当 f(n)为正值时,认为该项目赢利(1)试求 f(n)的表达式;(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由解(1)由题意知,第1年至此后第n
10、(nN*)年的累计投入为82(n1)2n6(千万元),第1年至此后第n(nN*)年的累计净收入为12n1n1(千万元)f(n)n1(2n6)n2n7(千万元)(2)方法一f(n1)f(n),当n3时,f(n1)f(n)0,故当n4时,f(n)递增又f(1)0,f(7)721172140.该项目将从第8年开始并持续赢利答:该项目将从2023年开始并持续赢利方法二设f(x)x2x7(x1),则f(x)xln2,令f(x)0,得x5,x4.从而当x1,4)时,f(x)0,f(x)单调递增又f(1)0,f(7)721172140.该项目将从第8年开始并持续赢利答:该项目将从2023年开始并持续赢利题型
11、四与数列相关的综合问题 例4、设f(x)x22x,f(x)是yf(x)的导函数,若数列an满足an1f(an),且首项a11.(1)求数列an的通项公式;(2)数列an的前n项和为Sn,等比数列bn中,b1a1,b2a2,数列bn的前n项和为Tn,请写出适合条件TnSn的所有n的值.解(1)由f(x)x22x,得f(x)x2.an1f(an),且a11.an1an2则an1an2,因此数列an是公差为2,首项为1的等差数列.an12(n1)2n1.(2)数列an的前n项和Snn2,等比数列bn中,b1a11,b2a23,q3.bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn可化为n2.又nN*,n
12、1,或n2故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.【感悟提升】1.求解数列与函数交汇问题注意两点:(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集(或它的有限子集),在求数列最值或不等关系时要特别重视;(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明,多与数列的求和相联系,最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【变式探究】设数列an(n1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn2ana1,且a1,a21,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn1|成立的n的最小值.解(1)由已知Sn2ana1,有anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2).从而a22a1,a32a24a1.又因为a1,a21,a3成等差数列,即a1a32(a21),所以a14a12(2a11),解得a12,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故an2n. 专心-专注-专业