《(精品)用Matlab求解差分方程问题.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(精品)用Matlab求解差分方程问题.ppt（34页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、用用Matlab求解差分方程问题求解差分方程问题一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程濒危物种的自然演危物种的自然演变和人工孵化和人工孵化问题 Florida沙丘沙丘鹤属于属于濒危物种，它在危物种，它在较好好自然自然环境下，年均增境下，年均增长率率仅为1.94%，而在中，而在中等和等和较差差环境下年均增境下年均增长率分率分别为-3.24%和和 -3.82%，如果在某自然保，如果在某自然保护区内开始有区内开始有100只只鹤，建立描述
2、其数量建立描述其数量变化化规律的模型，并作律的模型，并作 数数值计算。算。模型建立模型建立记第第k年沙丘年沙丘鹤的数量的数量为xk,年均增年均增长率率为r，则第第k+1年年鹤的数量的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2已知已知x0=100,在在较好，中等和好，中等和较差的自然差的自然环境下境下 r=0.0194,-0.0324,和和-0.0382 我我们利用利用Matlab编程，程，递推推20年后年后观察沙丘察沙丘鹤的的数量数量变化情况化情况Matlab实现实现首先建立一个关于首先建立一个关于变变量量n，r的函数的函数function x=sqh(n,r)a=1+r;x=100;f
3、or k=1:n x(k+1)=a*x(k);end在在command窗口里窗口里调调用用sqh函数函数 k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round(k,y1,y2,y3)利用plot 绘图观察数量变化趋势可以用不同可以用不同线型和型和颜色色绘图r g b c m y k w 分分别表示表示 红绿兰兰绿洋洋红黄黑白色黄黑白色：+o*.X s d 表示不同的表示不同的线型型 plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐在同一坐标标系下画系下画图图 plot(k,y2,:)plot(k,y2,-)
4、plot(k,y2,r)plot(k,y2,y)plot(k,y2,y,k,y1,:)plot(k,y2,k,y1,:)plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。人工孵化是挽救人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如危物种的措施之一，如果每年孵化果每年孵化5只只鹤放入保放入保护区，区，观察在中等察在中等自然条件下沙丘自然条件下沙丘鹤的数量如何的数量如何变化化Xk+1=aXk+5 ,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk+b ,a=1+rfunction x
5、=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;For k=1:nX(k+1)=a*x(k)+b;endk=(0:20);%一个行向量一个行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一个行向量也是一个行向量round(k,y 1 )对k,y1四舍五入，但四舍五入，但 是是 不改不改变变量的量的值 plot(k,y1)k y1 是行向量列向量都可以是行向量列向量都可以也可以也可以观察察200年的年的发展展趋势，以及在，以及在较差差条件下的条件下的发展展趋势，也可以考察每年孵，也可以考察每年孵化数量化数量变化的影响。化的影响。一一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其性常系数差分方程的解、平衡点
6、及其稳定性定性自然自然环境下境下,b=0人工孵化条件下人工孵化条件下令令xk=xk+1=x得得 差分方程的平衡点差分方程的平衡点k时，xkx,称平衡点是称平衡点是稳定的定的高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程 如果第如果第k+1时段段变量量Xk+1不不仅取决取决于第于第k时段段变量量Xk，而且与以前，而且与以前时段段变量有关，就要用高量有关，就要用高阶差分方程来描述差分方程来描述一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖一年生植物春季一年生植物春季发发芽，夏天开花，秋季芽，夏天开花，秋季产产种，没有腐种，没有腐烂烂，风风干，被人干，被人为为掠取的掠取的那些种子可以活那些种子可以活过过冬天，其中一
7、部分能冬天，其中一部分能在第在第2年春季年春季发发芽，然后开花，芽，然后开花，产产种，其种，其中的另一部分中的另一部分虽虽未能未能发发芽，但如又能活芽，但如又能活过过一个冬天，一个冬天，则则其中一部分可在第三年其中一部分可在第三年春季春季发发芽，然后开花，芽，然后开花，产产种，如此种，如此继续继续，一年生植物只能活一年生植物只能活1年，而近似的年，而近似的认为认为，种子最多可以活种子最多可以活过过两个冬天，两个冬天，试试建立数建立数学模型研究学模型研究这这种植物数量种植物数量变变化的化的规规律，律，及它能一直繁殖下去的条件。及它能一直繁殖下去的条件。模型及其求解模型及其求解记一棵植物春季一棵植
8、物春季产种的平均数种的平均数为c,种子能种子能活活过一个冬天的一个冬天的(1岁种子种子)比例比例为b,活活过一个冬天没有一个冬天没有发芽又活芽又活过一个冬天的（一个冬天的（2岁种子）比例仍种子）比例仍为b,1岁种子种子发芽率芽率a1，2岁种子种子发芽率芽率a2。设c,a1,a2固定，固定，b是是变量，考察能一直繁殖的条件量，考察能一直繁殖的条件记第第k年植物数量年植物数量为Xk，显然然Xk与与Xk-1,Xk-2有关，由有关，由 Xk-1决定的部分是决定的部分是 a1bcXk-1,由由Xk-2决定的部分是决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk=a1bcXk-1 +a2b(1-a1)b
9、cXk-2 Xk=a1bcXk-1 +a2b(1-a1)bcXk-2实际实际上，就是上，就是Xk=pXk-1+qXk-2 我我们们需需要知道要知道x0,a1,a2,c,考察考察b不同不同时时，种子繁，种子繁殖的情况。在殖的情况。在这这里假里假设设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20这样这样可以用可以用matlab计计算了算了Xk=a1bcXk-1 +a2b(1-a1)bcXk-2Function x=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X1=x0;X2=p*(x1);for
10、k=3:nX(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);endK=(0:20);Y1=zwfz(100,21,0.18);Y2=zwfz(100,21,0.19);Y3=zwfz(100,21,0,20);Round(k,y1,y2,y3)Plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),Gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20)结果分析：Xk=pXk-1+qXk-2 (1)x1+px0=0 (2)对高高阶差分方程可以差分方程可以寻求形如求形如的解。代入的解。代入(1)式得式得称称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：差分方程的特征方程。差分方程的特征
11、根：方程方程(1)的解可以表的解可以表为C1,c2 由初始条件由初始条件x0,x1确定。确定。本例中，用待定系数的方法可以求出本例中，用待定系数的方法可以求出b=0.18时,c1=95.64,c2=4.36 ，这样实际上，上，植物能一直繁殖下去的条件是植物能一直繁殖下去的条件是b0.191线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组汽汽车租租赁公司的运公司的运营一家汽一家汽车租租赁公司在公司在3个相个相邻的城市运的城市运营，为方便方便顾客起客起见公司承公司承诺，在一个城市租，在一个城市租赁的汽的汽车可以在任意一个城市可以在任意一个城市归还。根据。根据经验估估计和市和市场调查，一个租一个租赁期内在期
12、内在A市租市租赁的汽的汽车在在A,B,C市市归还的比例分的比例分别为0.6,0.3,0.1;在在B市租市租赁的汽的汽车归还比例比例0.2,0.7,0.1;C市租市租赁的的归还比比例分例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开。若公司开业时将将600辆汽汽车平均分配到平均分配到3个城市，建立运个城市，建立运营过程中汽程中汽车数量在数量在3个城市个城市间转移的模型，并移的模型，并讨论时间充充分分长以后的以后的变化化趋势。0.60.3A B CA B CA B C假假设在在每个租每个租赁期开期开始能把始能把汽汽车都都租出去，租出去，并都在并都在租租赁期期末末归还0.10.70.20.10.60.30.
13、1模型及其求解模型及其求解记记第第k个租个租赁赁期末公司在期末公司在ABC市的汽市的汽车车数量数量分分别为别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第（也是第k+1个租个租赁赁期开始各个城市租出去的汽期开始各个城市租出去的汽车车数量），很数量），很容易写出第容易写出第k+1个租个租赁赁期末公司在期末公司在ABC市的市的汽汽车车数量数量为为(k=0,1,2,3)用矩用矩阵表示表示用用matlab编程，程，计算算x(k),观察察n年以后的年以后的3个城市的个城市的汽汽车数量数量变化情况化情况function x=czqc(n)A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0
14、.6;x(:,1)=200,200,200;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看如果直接看10年或者年或者20年年发展展趋势，可以直接在命令窗，可以直接在命令窗口（口（commond window）作，而不是必）作，而不是必须编一个函数一个函数A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;n=10;for k=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);end round(x)作图观察数量变化趋势 k=0:10;plot(k,x)，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gte
15、xt(x3(k)可以看到可以看到时间充分充分长以后以后3个城市汽个城市汽车数量数量趋于于180，300，120可以考察可以考察这个个结果与初始条件是否有关果与初始条件是否有关若最开始若最开始600辆汽汽车都在都在A市，可以看到市，可以看到变化化时间充分充分长以后，各城市汽以后，各城市汽车数量数量趋于于稳定，与初始定，与初始值无关无关直接输入x（:,1）的值即可x(:,1)=600,0,0;round(x);plot(k,x),grid按年龄分组的种群增长野生或野生或饲饲养的养的动动物因繁殖而增加，因自然死亡物因繁殖而增加，因自然死亡和人和人为为屠屠杀杀而减少，不同年而减少，不同年龄动龄动物的繁
16、殖率，物的繁殖率，死亡率有死亡率有较较大差大差别别，因此在研究某一种群数量，因此在研究某一种群数量的的变变化化时时，需要考，需要考虑虑年年龄龄分分组组的种群增的种群增长长。将种群按年将种群按年龄龄等等间间隔的分成若干个年隔的分成若干个年龄组龄组，时时间间也离散化也离散化为时为时段，段，给给定各年定各年龄组龄组种群的繁殖种群的繁殖率和死亡率，建立按年率和死亡率，建立按年龄龄分分组组的种群增的种群增长长模型，模型，预测预测未来各年未来各年龄组龄组的种群数量，并的种群数量，并讨论时间讨论时间充充分分长长以后的以后的变变化化趋势趋势。模型及其求解模型及其求解设种群按年种群按年龄等等间隔的分成隔的分成n
17、个年个年龄组，记i=1,2,，n,时段段记作作k=0,1,2,且年且年龄组区区间与与时段段长度相等度相等(若若5岁为一个年一个年龄组，则5年年为一一个个时段段)。以雌性个体。以雌性个体为研究研究对象象记在在时段段k第第i年年龄组的数量的数量为xi(k);第第i年年龄组的的繁殖率繁殖率为bi，表示每个个体在一个，表示每个个体在一个时段内繁殖段内繁殖的数量；第的数量；第i年年龄组死亡率死亡率为di，表示一个，表示一个时段段内死亡数与内死亡数与总数的比，数的比，si=1-di是存活率。是存活率。注意：第注意：第k时段的第段的第i年年龄组活活过来的，是第来的，是第k+1时段的第段的第i+1年年龄组Xi
18、+1(k+1)=sixi(k)i=1，2,n-1,k=0,1,各年各年龄组在第在第k时段繁殖的数量和是第段繁殖的数量和是第k+1时段的段的第第1年年龄组X1(k+1)=k=0,1,记在在时段段k种群各年种群各年龄组的数量的数量为X(k)=x1(k),x2(k),xn(k)这样，有，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,给定在定在0时段，各年段，各年龄组的初始数量的初始数量x(0)就可以就可以预测任意任意时段段k,各年各年龄组的数量的数量设一种群分成一种群分成5个年个年龄组，繁殖率繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率存活率s1=0.5,s2=0.8,s3
19、=0.8,s4=0.1各年各年龄组现有数量都是有数量都是100只，只，用用matlab计算算x(k)b=0,0.2,1.8,0.8,0.2;s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);L=b;s,zeros(4,1);x(:,1)=100*ones(5,1);n=30;for k=1:nx(:,k+1)=L*x(:,k);end round(x)k=0:30;subplot(1,2,1),plot(k,x),grid将将x(k)归一化后的向量一化后的向量记做做x(k),称称为种群种群按年按年龄组的分布向量的分布向量，即各年，即各年龄组在在k时段在数量上占段在数量上占总数的百分比。数的百分比。y=diag(1./sum(x);%sum(x)对列求和列求和Z=x*y Subplot(1,2,2),plot(k,z),grid结果分析：果分析：时间充分充分长以后，种群按年以后，种群按年龄组的分布的分布x(k)趋向向稳定。定。