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1、 热学第热学第2章作业章作业:2.1、2.2、2.5、2.7、2.23 第第2章章 气体动理论气体动理论(Kinetic theory of gases)理想气体分子模型假设理想气体分子模型假设:P36 371.关于个别分子力学性质的假设关于个别分子力学性质的假设:1)分子可视为质点分子可视为质点:分子本身线度比分子间距离小很多分子本身线度比分子间距离小很多;2)除碰撞以外除碰撞以外,分子之间、分子与器壁之间无相互作用分子之间、分子与器壁之间无相互作用;3)以上的碰撞是完全弹性碰撞以上的碰撞是完全弹性碰撞(动量守恒、动能守恒动量守恒、动能守恒);4)分子的运动遵从经典力学规律。分子的运动遵从经
2、典力学规律。2.关于分子集体的统计性假设关于分子集体的统计性假设:1)每个分子速度不同每个分子速度不同,由于碰撞分子速度不断变化由于碰撞分子速度不断变化;2)平衡态时平衡态时,忽略重力影响忽略重力影响,分子按位置的分布是均匀的分子按位置的分布是均匀的;3)平衡态时平衡态时,分子速度分子速度(对质心系对质心系)按方向的分布是均匀的。按方向的分布是均匀的。(1)理想气体为大量的、自由的、作无规则热运动的弹理想气体为大量的、自由的、作无规则热运动的弹性质点的集合。性质点的集合。统计规律对大量分子才有意义。统计规律对大量分子才有意义。(2)对大量分子对大量分子,每个速度分量平方的统计平均值相等每个速度
3、分量平方的统计平均值相等,即即对第对第 i 个分子个分子:思考思考:2.1 2.1 理想气体压强和温度理想气体压强和温度理想气体压强和温度理想气体压强和温度(Pressure and temperature of idea gases)(Pressure and temperature of idea gases)目的目的:讨论理想气体压强、温度与分子热运动的关系。讨论理想气体压强、温度与分子热运动的关系。一、理想气体压强公式一、理想气体压强公式所有分子按速度分组所有分子按速度分组,用用vi 表示第表示第i 组组分子速度分子速度,ni为第为第i 组分子数密度组分子数密度,首首先计算第先计算第i
4、 组分子对器壁组分子对器壁 S面的碰撞面的碰撞,Sxyz 注意注意:是相对于是相对于系统质心参考系的系统质心参考系的分子分子(m)与与 S碰撞时碰撞时动量的变化动量的变化:分子分子对对 S的的冲量冲量:在时间间隔在时间间隔 t内内,与与 S面发生碰撞的分子数目为面发生碰撞的分子数目为:(3)S第第i 组分子在组分子在 t内对器壁内对器壁 S面的总冲量为面的总冲量为:各种速度的所有分子在各种速度的所有分子在 t内对器壁内对器壁 S面的总冲量为面的总冲量为:因因vix0的的那些那些分子求和分子求和,又由于分子的杂乱性又由于分子的杂乱性,vix0的的分子分子数应各占总数之半数应各占总数之半,有有由由
5、动量定理动量定理,所有分子在所有分子在 t内对器壁内对器壁 S面的面的冲力冲力:(4)所有分子对器壁所有分子对器壁 S面的压强为面的压强为:压强公式压强公式分子平均平动动能分子平均平动动能(微观量微观量)(5)1)气体的宏观性质气体的宏观性质(P)是微观运动的是微观运动的统计平均统计平均效果效果;2)压强公式是一个统计规律压强公式是一个统计规律;思考思考:推导压强公式的过程中推导压强公式的过程中,哪些地方用了统计假设哪些地方用了统计假设?说明说明:说明说明:1)上式适用于平衡态下一定质量的理想气体上式适用于平衡态下一定质量的理想气体;(6)P=nkT2)温度是大量分子热运动的集体表现温度是大量
6、分子热运动的集体表现,具有统计意义具有统计意义;3)温度的微观意义温度的微观意义:a)热力学温度是分子平均平动动能的量度热力学温度是分子平均平动动能的量度;b)温度是气体分子热运动激烈程度的量度温度是气体分子热运动激烈程度的量度;思考思考:1)如果容器内只有几个分子如果容器内只有几个分子,能否用能否用 计算它们的平均平动动能计算它们的平均平动动能?2)把盛有气体的密封绝热容器放在作匀速直线运动把盛有气体的密封绝热容器放在作匀速直线运动 的汽车上的汽车上,则气体的温度与汽车静止时是否相同则气体的温度与汽车静止时是否相同?若汽车突然刹车若汽车突然刹车,容器内的温度是否变化容器内的温度是否变化?二、
7、二、与温度与温度T 的关系、温度的微观意义的关系、温度的微观意义 2.2 2.2 能量均分定理能量均分定理能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能理想气体内能理想气体内能 (EquipartitionEquipartition theorem and internal energy of ideal theorem and internal energy of ideal gases)gases)一、自由度一、自由度(degree of freedom)i1.决定一个物体空间位置的独立坐标数称为自由度。决定一个物体空间位置的独立坐标数称为自由度。质点质点:(x,y,z)i=3 刚体刚
8、体:质心质心(x,y,z)轴的取向轴的取向(,)中任意二中任意二个个 绕轴转动绕轴转动()平动自由度平动自由度 t=3转动自由度转动自由度 r=3i=t+r=6(7)目的目的:讨论分子热运动能量如何分配和理想气体内能的计算。讨论分子热运动能量如何分配和理想气体内能的计算。分子热运动的能量分子热运动的能量:分子的平动、转动和振动能量。分子的平动、转动和振动能量。xyz2)双原子分子双原子分子(CO、H2、O2、N2)看成一线段看成一线段:刚性双原子分子刚性双原子分子:i=5 (x,y,z),(,)中任意中任意二个二个3)多原子分子多原子分子(H2O、CO2、NH3、CH4):i=6当温度很高时分
9、子为非刚性分子当温度很高时分子为非刚性分子(又叫弹性分子又叫弹性分子),要要加振动自由度加振动自由度s,s=n(n-1)/2,其中其中n为原子个数。为原子个数。i=t+r(8)自由度公式自由度公式:i=t+r+s刚性多原子分子看成刚体刚性多原子分子看成刚体:2.气体分子的自由度气体分子的自由度:i=3 (x,y,z)1)单原子分子单原子分子(He、Ne)看成质点看成质点:He 刚性分子自由度刚性分子自由度:OHHHH二、能量按自由度均分定理二、能量按自由度均分定理(9)能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理:在温度为在温度为T 的平衡态下的平衡态下,气体分子的能量按自由度气体分子的能量按自由
10、度均分均分,每个自由度的平均能量为每个自由度的平均能量为kT/2。分子平均平动动能分子平均平动动能:分子在每一个平动自由度上所具有的动能分子在每一个平动自由度上所具有的动能:分子在每一个转动自由度上所具有的动能同样如此。分子在每一个转动自由度上所具有的动能同样如此。思考思考:1)对个别分子对个别分子,能均分定理是否成立能均分定理是否成立?2)分子自由度上的能量通过什么过程实现均分的分子自由度上的能量通过什么过程实现均分的?kT/2:理想气体平衡态时分子每个自由度上平均能量。理想气体平衡态时分子每个自由度上平均能量。3kT/2:分子平均平动动能。分子平均平动动能。ikT/2:刚性分子平均动能刚性
11、分子平均动能(不包括振动能量不包括振动能量)。三、理想气体内能三、理想气体内能气体的内能气体的内能:气体分子热运动能量气体分子热运动能量+分子之间的势能分子之间的势能M kg理想气体理想气体(不计分子之间的势能不计分子之间的势能)内能内能:M kg理想气体理想气体(刚性分子刚性分子i=t+r)内能内能:(10)每个分子热运动的平均动能每个分子热运动的平均动能说明说明 1)理想气体的内能是状态理想气体的内能是状态的单值函数的单值函数;2)内能的变化只与始末状态有关内能的变化只与始末状态有关,而与过程无关而与过程无关;3)内能是内能是微观量的统计平均值。微观量的统计平均值。(11)例例1:储有氧气
12、的容器以速率储有氧气的容器以速率v=100m/s运动运动,假设该容器假设该容器 突然停止突然停止,全部定向运动的动能变为气体分子热运全部定向运动的动能变为气体分子热运 动的动能动的动能,求求容器中氧气的温度将会上升多少容器中氧气的温度将会上升多少?解解:容器中氧气定向动能容器中氧气定向动能:容器中氧气容器中氧气(理想气体理想气体,刚性分子刚性分子)内能变化内能变化:例例2:容器内某理想气体的温度容器内某理想气体的温度T=273K,压强压强P=101.3Pa,密度密度 =1.25g/m3,求求:1)气体的摩尔质量气体的摩尔质量,是何种气体是何种气体?2)气体分子运动的方均根速率气体分子运动的方均
13、根速率?3)气体分子的平均平动动能和转动动能气体分子的平均平动动能和转动动能?4)单位体积内气体分子的总平动动能单位体积内气体分子的总平动动能?5)0.3mol该气体的内能该气体的内能?解解:1)由由故该气体是故该气体是N2或或CO(12)2)由温度公式由温度公式3)气体分子的平均平动动能气体分子的平均平动动能:气体分子的平均转动动能气体分子的平均转动动能:(13)4)设设Et为单位体积内气体分子的总平动动能为单位体积内气体分子的总平动动能5)0.3mol该气体的内能该气体的内能:(14)解解:(15)例例3:二个容器中分别贮有氦气和氧气二个容器中分别贮有氦气和氧气,己知氦气的压己知氦气的压强
14、是氧气的强是氧气的1/2,氦气的容积是氧气的氦气的容积是氧气的2倍倍,求求氦气内能氦气内能是氧气的多少倍是氧气的多少倍?W W兰媚尔实验兰媚尔实验(装置置于真空之中装置置于真空之中)P分子源分子源SWW 狭缝屏狭缝屏淀积屏淀积屏分子筛分子筛 2.3 2.3 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律(Maxwell speed distribution law of gases)(Maxwell speed distribution law of gases)(16)目的目的:平衡态下平衡态下,理想气体分子按速率是如何分布的理想气体分子按速率是如何分布的?
15、一、分子按速率分布的实验测定一、分子按速率分布的实验测定即只有速率为即只有速率为:的分子才能通过。的分子才能通过。改变改变 或或 可让不同速率的分子通过可让不同速率的分子通过;原理原理:速率筛每旋转一周速率筛每旋转一周,分子通过分子通过W,到达屏上到达屏上,但不但不是所有速率的分子都能通过分子筛的是所有速率的分子都能通过分子筛的,只有满足关系只有满足关系:由于由于W、W总有一定的宽度总有一定的宽度,相当于相当于 有一定的宽度有一定的宽度,因此到达屏上的分子的速率也有一速率区间因此到达屏上的分子的速率也有一速率区间(vv+v),实验时改变分子筛的角速度实验时改变分子筛的角速度 ,就可以根据淀积屏
16、上的就可以根据淀积屏上的分子数目分子数目,测出不同速率间隔内测出不同速率间隔内(v v+v)的分子数的分子数占占分子总数的百分比分子总数的百分比(又叫区间分子数比率又叫区间分子数比率)。(17)某气体分子处于某气体分子处于0平衡态时平衡态时速率区间速率区间(m/s)分子数占分子总数的百分比分子数占分子总数的百分比 N/N(18)小于小于 100 1.4100150 2.8150200 5.6200250 7.2250300 9.0300350 10.2350400 11.5400450 10.8450500 9.6500550 8.4550600 7.0600650 5.9650700 4.7
17、 700750 3.9750以上以上 2.0上页实验数据的图示化上页实验数据的图示化:从图中可以看出从图中可以看出:1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数占分子每个小长方形面积代表某速率区间的分子数占分子 总数的百分比总数的百分比 N/N 2)所有小面积的和恒等于一所有小面积的和恒等于一,即即 N/N=1(叫归一化叫归一化)3)当速率区间当速率区间 v0时时,小矩形面积的端点连成一函数小矩形面积的端点连成一函数 曲线曲线(图中红线图中红线)f(v),称称f(v)为分子速率分布函数为分子速率分布函数。(19)N/N二、速率分布定律二、速率分布定律一定量气体处于平衡态一定量气体处于平衡态(总分
18、子数总分子数N,温度温度T,分子质量分子质量m)速率在速率在 区间的分子数区间的分子数速率在速率在 区间分子数占分子总数区间分子数占分子总数的百分比的百分比(又叫区间分子数比率又叫区间分子数比率)。速率分布定律速率分布定律(20)1.速率分布定律速率分布定律 N/N2.速率分布函数速率分布函数:f(v)物理意义物理意义:速率在速率在 v 附近的单位速率区间的分子数占附近的单位速率区间的分子数占 分子总数的百分比分子总数的百分比。3.速率分布函数必须满足归一化条件速率分布函数必须满足归一化条件:4.用处用处:a)己知己知 f(v)可求任一速率区间的分子数比率可求任一速率区间的分子数比率如区间较小
19、如区间较小(300m/s305m/s):如区间较大如区间较大(v1v2):(21)b)己知己知f(v)求统计速率求统计速率三、麦克斯韦速率分布定律三、麦克斯韦速率分布定律(对理想气体对理想气体,平衡态平衡态)气体分子分布在区间气体分子分布在区间vv+dv的的分子数比率为分子数比率为:2.Maxwell速率分布函数速率分布函数(22)麦克斯韦麦克斯韦(MaxwellJ.C.,1831-1879)英英国物理学家国物理学家,数学家数学家1.Maxwell速率分布定律速率分布定律(参考书中参考书中P53-55)f(v)vo1)最可几速率最可几速率(又叫最概然速率又叫最概然速率)vp (Most pro
20、bable speed)定义定义:f(v)的极大值对应的速的极大值对应的速率率 称为最可几速率称为最可几速率。意义意义:分布在分布在vp附近的分子数占分子总数的比率最大。附近的分子数占分子总数的比率最大。2)任一速率区间曲线下面积任一速率区间曲线下面积 f(v)ov3)曲线下总面积曲线下总面积(23)dv3.速率分布曲线速率分布曲线四、求三个统计速率四、求三个统计速率1.求求得得:f(v)vo f(v)voT 相相同同(24)相同相同2.求平均速率求平均速率:vv+dv 区间分子数为区间分子数为dN个个,因为因为dv很小很小,dN个个分子速率均视为分子速率均视为vdN个分子速率之和个分子速率之
21、和:vdN所有分子速率之和所有分子速率之和:平均速率平均速率:dN=Nf(v)dv(25)3.求方均根速率求方均根速率:所有分子速率平方之和所有分子速率平方之和:(26)研究分子速率分布用研究分子速率分布用研究分子平均平动动能用研究分子平均平动动能用研究分子平均自由程用研究分子平均自由程用五五*、一定量气体处于平衡态时分子按能量分布定律、一定量气体处于平衡态时分子按能量分布定律代入上式代入上式(27)意义意义:分子动能介于分子动能介于EkEk+dEk区间的分子数比率区间的分子数比率例例4:试试求求0时氧气时氧气,氢气的方均根速率、平均速率、氢气的方均根速率、平均速率、最可几速率最可几速率。解解
22、:(28)思考思考:将将H2、O2的方均根速率与地球表面的逃逸速的方均根速率与地球表面的逃逸速 率率(11.2km/s)比较比较,你会得出什么结论你会得出什么结论?例例5:如图所示如图所示,两条曲线分别为氢和氧在相同温度下两条曲线分别为氢和氧在相同温度下的麦氏速率分布曲线。的麦氏速率分布曲线。求求:1)哪条代表氢哪条代表氢,哪条代表氧哪条代表氧?2)氢分子的最可几速率氢分子的最可几速率,3)氧分子的方均根速率氧分子的方均根速率,4)氧分子最可几速率附近单氧分子最可几速率附近单位速率区间内的分子数占氧分子总数的百分比位速率区间内的分子数占氧分子总数的百分比?f(v)v(ms-1)o100021解
23、解:1)最可几速率最可几速率T相同时相同时,有有vp,H vp,O曲线曲线1代表氢代表氢2)由图得由图得 vp,O1000m/s(29)3)4)由图可知由图可知:氧分子最可几速率氧分子最可几速率附近单位速率区间内的分子数附近单位速率区间内的分子数占氧分子总数的百分比为占氧分子总数的百分比为(30)f(v)v(ms-1)o100021例例6:写出写出v1v2速率区间分子平均速率速率区间分子平均速率该区间分子速率之和该区间分子速率之和:该区间分子数该区间分子数:(31)解解:思考思考:的物理意义的物理意义?思路思路:1)明确速率分布函数明确速率分布函数 的物理意义的物理意义;2)观察被积函数的物理
24、意义和积分区间观察被积函数的物理意义和积分区间;3)注意这是在平衡态下对大量分子的统计规律。注意这是在平衡态下对大量分子的统计规律。例例7:有有N个粒子组成的系统的速率分布为个粒子组成的系统的速率分布为 dN=Cdv (0vv0,C为恒量为恒量)dN=0 (v0 v)求求(1)作速率分布曲线作速率分布曲线,(2)由由N 和和v0定出定出C (3)粒子的平均速率和方均根速率。粒子的平均速率和方均根速率。解解:(1)由题意可知速率分布函数为由题意可知速率分布函数为(0vv0 )(v0v )C/N(32)(2)由归一化条件由归一化条件:(3)同理可得同理可得(33)2.4 2.4 气体分子平均自由程
25、气体分子平均自由程气体分子平均自由程气体分子平均自由程(自学自学自学自学)(Mean free path of gas molecular)(Mean free path of gas molecular)一、平均自由程一、平均自由程每秒内分子与其它分子碰撞的平均次数每秒内分子与其它分子碰撞的平均次数:(34)1.自由程自由程:任意二次连续碰撞之间分子自由移动的距离。任意二次连续碰撞之间分子自由移动的距离。2.平均自由程平均自由程:二次连续碰撞之间所可能经过的各段自二次连续碰撞之间所可能经过的各段自 由程的平均值由程的平均值 。3.平均碰撞频率平均碰撞频率:AdddA ddd二、平均碰撞频率、
26、平均自由程公式二、平均碰撞频率、平均自由程公式1.平均碰撞频率公式平均碰撞频率公式:1s内该分子与其它分子内该分子与其它分子平均平均碰撞次数碰撞次数=以以d为半径为半径,为高的为高的圆圆柱体内柱体内的的分子数分子数。该体积内分子数该体积内分子数:碰撞截面碰撞截面:=d 2设分子设分子A直径为直径为d,相对于相对于气体质心的气体质心的平均速平均速率为率为 其它分子不动其它分子不动,为分子为分子A相对于其它分子的平均速率。相对于其它分子的平均速率。(35)2.分子有效直径分子有效直径:如标准状态下如标准状态下,空气分子空气分子:(36)3.分子平均自由程分子平均自由程d 0 r f排斥排斥吸引吸引
27、r0讨论讨论:当当 容器线度容器线度 l 时时,(容器线度容器线度)平均自由程取平均自由程取:例例8:热水瓶胆的两壁间距热水瓶胆的两壁间距 l=0.4cm,其间充满其间充满t=27、P=1 Pa 的的N2,N2 分子的有效直径分子的有效直径 d=3.710-10m,问氮气分子的平均自由程是多少？问氮气分子的平均自由程是多少？解解:此计算值大于热水瓶胆的两壁间距，所以氮气分子此计算值大于热水瓶胆的两壁间距，所以氮气分子的平均自由程为的平均自由程为 0.4 cm。(37)气体动理论气体动理论(The Kinetic Theory of Gases)基本要求基本要求 1.了解气体分子热运动图像了解气
28、体分子热运动图像,建立理想气体微观模型。建立理想气体微观模型。了解从提出模型了解从提出模型,进行统计平均进行统计平均,建立宏观量与微观建立宏观量与微观 量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。2.熟练掌握理想气体状态方程。熟练掌握理想气体状态方程。3.能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概 念。了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。念。了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。熟练掌握压强公式、温度公式的推导过程及其统计熟练掌握压强公式、温度公式的推导过程及其统计 规律的意义。规律的意义。(38)
29、从微观观点出发从微观观点出发,在模型假设基础上在模型假设基础上,运用统计方法研运用统计方法研究热力学系统宏观量与微观量的平均值之间的关系。究热力学系统宏观量与微观量的平均值之间的关系。4.通过理想气体的刚性分子模型通过理想气体的刚性分子模型,理解分子热运动能理解分子热运动能 量的统计规律量的统计规律能量按自由度均分定理。熟练掌握能量按自由度均分定理。熟练掌握 分子平均平动动能、平均转动动能和理想气体内能分子平均平动动能、平均转动动能和理想气体内能 的计算。的计算。5.理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分 布曲线的物理意义。掌握气体分子热运动的
30、算术平布曲线的物理意义。掌握气体分子热运动的算术平 均速率、最可几速率和方均根速率的定义、公式和均速率、最可几速率和方均根速率的定义、公式和 有关计算。有关计算。6.理解掌握平均自由程和平均碰撞频率的概念、公式理解掌握平均自由程和平均碰撞频率的概念、公式 和计算。和计算。(39)气体分子热运动描述气体分子热运动描述状态参量状态参量(P,V,T)速率分布律速率分布律:归一化归一化:宏观表述宏观表述微观意义微观意义理想气体方程理想气体方程:温度公式温度公式:压强公式压强公式:理想气体内能公式理想气体内能公式:能量均分定理能量均分定理:分子每个自由度能量分子每个自由度能量麦氏麦氏速率分布函数速率分布函数:三种三种速率速率平均速率平均速率:方均根速率方均根速率:最概然最概然速率速率: