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1、北京科技大学矩阵分解矩阵分解矩阵分解矩阵分解20112011年年9 9月月2929日日刘冀伟刘冀伟北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.13.1矩阵的矩阵的LULU分解分解定义定义定义定义3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 方阵方阵方阵方阵A A A A C C C Cn n n n n n n n，存在下三角形矩阵存在下三角形矩阵存在下三角形矩阵存在下三角形矩阵L L L L C C C Cn n n n n n n n，上三角形矩阵上三角形矩阵上三角形矩阵上三角形矩阵U U U U C C C Cn n n n n n n n，称称称称A A A A可做可做可做可做LULUL
2、ULU分解。分解。分解。分解。定理定理定理定理3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 A A A A C C C Cn n n n n n n n，rankA=nrankA=nrankA=nrankA=n，则，则，则，则A A A A可作可作可作可作LULULULU分解的充分解的充分解的充分解的充要条件是要条件是要条件是要条件是A A A A的的的的k k k k阶阶阶阶(k=1,2,(k=1,2,(k=1,2,(k=1,2,n-1),n-1),n-1),n-1)顺序主子式不为零。顺序主子式不为零。顺序主子式不为零。顺序主子式不为零。定理定理定理定理3.1.2 3.1.2 3.1.2
3、3.1.2 A A A A C C C Cn n n n n n n n，rankA=rnrankA=rnrankA=rnrankA=rn，A A A A的的的的k k k k阶阶阶阶(k=1,2,(k=1,2,(k=1,2,(k=1,2,r),r),r),r)顺序主子式不为零，则顺序主子式不为零，则顺序主子式不为零，则顺序主子式不为零，则A A A A可作可作可作可作LULULULU分解。分解。分解。分解。北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.13.1矩阵的矩阵的LULU分解分解定义定义定义定义3.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 方阵方阵方阵方阵A A A A C C C Cn
4、 n n n n n n n，rankA=nrankA=nrankA=nrankA=n；如果如果如果如果A=LUA=LUA=LUA=LU，其中，其中，其中，其中L L L L是对角线元素为是对角线元素为是对角线元素为是对角线元素为1 1 1 1的下三角形矩的下三角形矩的下三角形矩的下三角形矩阵阵阵阵，U U U U 是上三角形矩阵是上三角形矩阵是上三角形矩阵是上三角形矩阵，称称称称A A A A可做可做可做可做DoolitteDoolitteDoolitteDoolitte分解；分解；分解；分解；如果如果如果如果A=LUA=LUA=LUA=LU，其中，其中，其中，其中L L L L是下三角形矩
5、阵是下三角形矩阵是下三角形矩阵是下三角形矩阵，U U U U 是对角线是对角线是对角线是对角线元素为元素为元素为元素为1 1 1 1的上三角形矩阵的上三角形矩阵的上三角形矩阵的上三角形矩阵，称称称称A A A A可做可做可做可做CroutCroutCroutCrout分解；分解；分解；分解；如果如果如果如果A=LDVA=LDVA=LDVA=LDV，其中，其中，其中，其中L L L L是单位下三角矩阵是单位下三角矩阵是单位下三角矩阵是单位下三角矩阵，D D D D是对角是对角是对角是对角阵，阵，阵，阵，V V V V 是单位上三角矩阵是单位上三角矩阵是单位上三角矩阵是单位上三角矩阵，称称称称A
6、A A A可做可做可做可做LDVLDVLDVLDV分解；分解；分解；分解；北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.13.1矩阵的矩阵的LULU分解分解定理定理定理定理3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 A A A A C C C Cn n n n n n n n，rankA=nrankA=nrankA=nrankA=n，则，则，则，则A A A A有唯一的有唯一的有唯一的有唯一的LDVLDVLDVLDV分解分解分解分解的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是k k k k0000，k=1,2,k=1,2,k=1,2,k=1,2,n-1,n-1,n-1,n-1。此时对角矩阵。
7、此时对角矩阵。此时对角矩阵。此时对角矩阵的元素满足的元素满足的元素满足的元素满足d d d d1 1 1 1=1 1 1 1，d d d dk k k k=k k k k/k-1k-1k-1k-1,k=1,2,k=1,2,k=1,2,k=1,2,n-1,n-1,n-1,n-1。定理定理定理定理3.1.4 3.1.4 3.1.4 3.1.4 A A A A C C C Cn n n n n n n n，rankA=nrankA=nrankA=nrankA=n，则，则，则，则A A A A有唯一的有唯一的有唯一的有唯一的DoolitteDoolitteDoolitteDoolitte或或或或Cro
8、utCroutCroutCrout分解的充要条件是分解的充要条件是分解的充要条件是分解的充要条件是k k k k0000，k=1,2,k=1,2,k=1,2,k=1,2,n-1,n-1,n-1,n-1。北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.13.1矩阵的矩阵的LULU分解分解计算问题计算问题计算问题计算问题：设：设：设：设A A A A C C C Cn n n n n n n n，rankA=nrankA=nrankA=nrankA=n北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.13.1矩阵的矩阵的LULU分解分解DoolitteDoolitteDoolitteDoolitte分解的计算公式分
9、解的计算公式分解的计算公式分解的计算公式北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.2 3.2 矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解定义定义定义定义3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 方阵方阵方阵方阵A A A A C C C Cmmmm n n n n，rankA=rrankA=rrankA=rrankA=r，若存在；，若存在；，若存在；，若存在；F F F F C C C Cmmmm r r r r，G G G G C C C Cr r r r n n n n，st.A=FGst.A=FGst.A=FGst.A=FG，则称此分解为，则称此分解为，则称此分解为，则称此分解为A A A A的满
10、秩分解。的满秩分解。的满秩分解。的满秩分解。定理定理定理定理3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 方阵方阵方阵方阵A A A A C C C Cmmmm n n n n，rankA=rrankA=rrankA=rrankA=r，则，则，则，则A A A A的满秩分解总的满秩分解总的满秩分解总的满秩分解总是存在的。是存在的。是存在的。是存在的。计算方法：计算方法：计算方法：计算方法：方法一：方法一：方法一：方法一：F F F F是是是是P P P P的前的前的前的前r r r r列，列，列，列，G G G G是是是是QQQQ的前的前的前的前r r r r行。行。行。行。北京科技大学自动
11、化北京科技大学自动化3.2 3.2 矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解方法二：方法二：方法二：方法二：例：求例：求例：求例：求A A A A的的的的LULULULU分解分解分解分解北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.3 3.3 矩阵的矩阵的QRQR分解分解定义定义定义定义3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 设设设设u u u u C C C Cn n n n是单位向量，即是单位向量，即是单位向量，即是单位向量，即u u u uT T T Tu=1u=1u=1u=1，则称则称则称则称H=I-uuH=I-uuH=I-uuH=I-uuT T T T为为为为HouseholderHouseh
12、olderHouseholderHouseholder矩阵矩阵矩阵矩阵。定理定理定理定理3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 方阵方阵方阵方阵H HH H C C C Cn n n n n n n n是是是是HouseholderHouseholderHouseholderHouseholder矩阵，则：矩阵，则：矩阵，则：矩阵，则：H HH HH HH H=H(Hermite=H(Hermite=H(Hermite=H(Hermite矩阵矩阵矩阵矩阵)H HH HH HH HH=I(H=I(H=I(H=I(酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵)H HH H2 2 2 2=I(=I(=I(=I(
13、对合矩阵对合矩阵对合矩阵对合矩阵)H HH H-1-1-1-1=H(=H(=H(=H(自逆矩阵自逆矩阵自逆矩阵自逆矩阵)detH=-1detH=-1detH=-1detH=-1diag(Idiag(Idiag(Idiag(Ir r r r,H),H),H),H)是是是是n+rn+rn+rn+r阶阶阶阶HouseholderHouseholderHouseholderHouseholder矩阵矩阵矩阵矩阵北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.3 3.3 矩阵的矩阵的QRQR分解分解定理定理定理定理3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 设设设设z z z z C C C Cn n n
14、n是单位向量，则对任意是单位向量，则对任意是单位向量，则对任意是单位向量，则对任意x x x x C C C Cn n n n，存在，存在，存在，存在HouseholdHouseholdHouseholdHousehold矩阵矩阵矩阵矩阵H HH H，使得，使得，使得，使得Hx=Hx=Hx=Hx=z z z z，其中，其中，其中，其中|=x|=x|=x|=x 2 2 2 2，且，且，且，且x x x xH HH Hz z z z为实数。为实数。为实数。为实数。定理定理定理定理3.3.3 3.3.3 3.3.3 3.3.3 方阵方阵方阵方阵A A A A C C C Cn n n n n n n
15、 n，有有有有A=QRA=QRA=QRA=QR，其中，其中，其中，其中QQQQ为酉矩阵，为酉矩阵，为酉矩阵，为酉矩阵，R R R R为上三角矩阵。为上三角矩阵。为上三角矩阵。为上三角矩阵。北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.4 3.4 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解定义定义定义定义3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 设设设设A,BA,BA,BA,B C C C Cmmmm n n n n是两个复矩阵，若存在酉矩阵是两个复矩阵，若存在酉矩阵是两个复矩阵，若存在酉矩阵是两个复矩阵，若存在酉矩阵U U U U，V V V V使得使得使得使得U U U UH HH HAV=BAV=B
16、AV=BAV=B，则称，则称，则称，则称A A A A与与与与B B B B是酉相抵是酉相抵是酉相抵是酉相抵(酉等价酉等价酉等价酉等价)的。的。的。的。定义定义定义定义3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 设设设设A A A A C C C Cmmmm n n n n是复矩阵，是复矩阵，是复矩阵，是复矩阵，B=AB=AB=AB=AH HH HA A A A为为为为HermiteHermiteHermiteHermite矩矩矩矩阵，阵，阵，阵，B B B B特征值的平方根称为特征值的平方根称为特征值的平方根称为特征值的平方根称为A A A A的奇异值。的奇异值。的奇异值。的奇异值。定理
17、定理定理定理3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 B=AB=AB=AB=AH HH HA A A A的特征值非负。的特征值非负。的特征值非负。的特征值非负。定义定义定义定义3.4.3 3.4.3 3.4.3 3.4.3 设设设设A A A A C C C Cn n n n n n n n是复矩阵，称是复矩阵，称是复矩阵，称是复矩阵，称A A A A为正规矩阵，如果为正规矩阵，如果为正规矩阵，如果为正规矩阵，如果有有有有AAAAAAAAH HH H=A=A=A=AH HH HA A A A。SchurSchurSchurSchur引理引理引理引理 方阵方阵方阵方阵A A A A C C
18、 C Cn n n n n n n n，则存在酉矩阵则存在酉矩阵则存在酉矩阵则存在酉矩阵U U U U使得使得使得使得A A A A酉酉酉酉相似相似相似相似于于于于上三角矩阵。上三角矩阵。上三角矩阵。上三角矩阵。北京科技大学自动化北京科技大学自动化3.4 3.4 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解定理定理定理定理3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 方阵方阵方阵方阵A A A A C C C Cn n n n n n n n，则则则则A A A A是正规矩阵的充要条件是是正规矩阵的充要条件是是正规矩阵的充要条件是是正规矩阵的充要条件是A A A A酉相似于一个对角阵。酉相似于一个对角阵
19、。酉相似于一个对角阵。酉相似于一个对角阵。定理定理定理定理3.4.3 3.4.3 3.4.3 3.4.3 方阵方阵方阵方阵A A A A C C C Cmmmm n n n n，则存在酉矩阵则存在酉矩阵则存在酉矩阵则存在酉矩阵P,QP,QP,QP,Q使得使得使得使得其中其中其中其中D=diag(d1,d2,D=diag(d1,d2,D=diag(d1,d2,D=diag(d1,d2,dr),dr),dr),dr)，d1d2 d1d2 d1d2 d1d2 dr0 dr0 dr0 dr0，d1,d2,d1,d2,d1,d2,d1,d2,dr,dr,dr,dr是是是是A A A A的奇异值，的奇异值，的奇异值，的奇异值，r=rankAr=rankAr=rankAr=rankA