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1、自然数之数学归纳法0.数学归纳法的背景 数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一.它在数学各个分支里都有广泛应用.该法的实质在于:将一个无法(或很难)穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题:“p(1)真”和“若p(k)真,则p(k+1)真”,从而达到证明的目的.数学归纳法早期叫逐次归纳法(始见于英国数学家摩根)或完全归纳法(始见于德国数学家戴德金).但后来人们更喜欢用数学归纳法的名称.因为它更能体现论证的严格性和科学性,又不与逻辑学中的“归纳法”混淆.数学史上最早使用数学归纳法的人首推法国数学家帕斯卡,但他并未确立方法的理论依据.直到意大利数学家皮亚诺建立了自然数的理论,才标志着数学归纳法逻
2、辑基础的奠定.摩根(Morgan,1806-1871)英国著名数学家,所著的代数学是我国第一本代数学译本.负数的认识问题:摩根不承认负数.1831年,摩根在他的论数学的研究和困难中仍坚持认为负数是荒谬的.四色猜想:四色猜想是世界近代三大数学难题之一.1852年,刚从伦敦大学毕业的弗南西斯葛斯里在对英国地图着色时发现,对无论多么复杂的地图,只需用四种颜色就足够将相邻的区域分开.这个千万人屡见不鲜的有趣事实引起了他的注意,他感到这种现象决非偶然,可能隐藏着深刻的科学道理.他把他的想法告诉了他的哥哥弗德雷克.弗德雷克是著名数学家摩根的学生,他对这个问题极感兴趣,于是便设法证明.可是,尽管他绞尽脑汁,
3、仍百思不得其解,于是他以“四色定理”为名,请他的老师摩根证明.摩根也无法解决这个问题,于是德摩根写信请著名数学家哈密尔顿帮助解答,这位智慧超群的人也被这个简单的问题弄得一筹莫展,他冥思苦想了13年,直至逝世仍毫无结果.在1876年,当时很有名望的数学家凯莱在数学年会上把这个问题归纳为“四色猜想”提出,并征求问题的解答.于是“四色猜想”开始引人注目.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明.四色猜想的计算机证明,轰动了世界.它不仅解决了一个历时100多年的难题,而且有可能成为数学史上一系列新思维的
4、起点.不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法.戴德金(Dedekind,18311916),最伟大的德国数学家、理论家和教育家,近代抽象数学的先驱.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.戴德金分割:假设给定某种方法,把所有的有理数分为两个集合，A和B，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素,任何一种分类方法称为有理数的一个分割.对于任一分割,
5、必有3种可能,其中有且只有1种成立:1.A有一个最大元素a,B没有最小元素(例如A是所有1的有理数.B是所有1的有理数).2.B有一个最小元素b,A没有最大元素(例如A是所有1的有理数.B是所有1的有理数).3.A没有最大元素,B也没有最小元素(例如A是所有负的有理数,零和平方小于2的正有理数,B是所有平方大于2的正有理数).显然A和B的并集是所有的有理数,因为平方等于2的数不是有理数.注:A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中,与A和B的并集是所有的有理数矛盾.第3种情况,戴德金称这个分割为定义了一个无理数,或者简单的说这个分割是一个无理数
6、.前面2种情况中,分割是有理数.皮亚诺公理其中的第5条公理又叫做归纳公理,它是数学归纳法的依据.最小数定理自然数的任何非空集合A必有一个最小数,即这个数小于集合A中所有其他的数.证明:由于A不是空集,其中必含有一个自然数.我们在A中任取一个数m,因为从1到m共有m个自然数,所以在A中不大于m的数最多只有m个.显然在这有限个数中存在着最小的数,我们用l来代表它.那么,l就是A中最小的数.事实上,l对于A中不大于m的数来说,它是最小的;而A中其余的数都比m大,因而更比l大,所以l就是A中最小的数.1.数学归纳法的基本形式2.数学归纳法的证题技巧三个著名的无理数0.无理数的产生第一次数学危机初等无理
7、数复合无理数代数数和e的出现现在无理数定义 “有理数”中的“有理”一词,英文是Rational.这个词本来有两个含义,其一是“比”,其二是“合理”.照数学上的原义,分数可以表示成两个整数之比,整数也可以看作是这个整数与1的比,把“有理数”叫做“比数”应该是很贴切的.由于无理数不能表示为两个整数的比,因此可以把“无理数”叫做“非比数”.可是,日本学者在十九世纪翻译西方的数学书时,把这个词译成了“有理数”.后来,在中日文化交流中,中国又从日本引进了“有理数”和“无理数”这两个词,长期应用到现在,没法改,也没必要改了.1.公元263年,我国三国时期的著名数学家刘徽首创利用圆内接正多边形的面积接近于圆
8、的面积的方法来计算圆周率.当时刘徽算到内接正3072边形的面积,并求出3.1416.为纪念他,后人将之称为徽率.公元460年,我国南朝数学家祖冲之,采用刘徽割圆术方法,一直算到圆内接正12288多边形的面积,并求出3.1415926.1593年,荷兰数学家罗梅,也采用刘徽割圆术方法,计算到圆内接正230多边形的面积,并求得的准确值到小数点后第15位.1946年,曼切斯顿大学的费林生把计算到小数点后808位.后来,由于计算机的问世,才使得小数点后808位成了人工计算值的最高纪录.目前最新结果是,日本东京的金田正康已将计算到小数点后133554000位.1777年,法国数学家蒲丰宣布了一个惊人的发
9、现:不需要用复杂的计算,只要你有足够的耐心,就能从一个投针的游戏中得出的近似值.2.e 在今天的银行业里,e是对银行家最有帮助的一个数.人们可能会问,像e 这样的数是怎样又以何种方式与银行业发生关系呢?要知道后者是专门跟“元”和“分”打交道的!假如没有e的发现,银行家要计算今天的利息就要花费大量的时间,无论是逐日逐日地算复利,还是持续地算复利都无法避免.所幸的是,e的出现助了一臂之力.和e 这两个数的背景是很不一样的.与几何相联系;e与某种数量增减相联系,例如上述存款本息的增长以及生物繁殖等,亦可说,e是与分析相联系的.e与的来源和背景不同,表现形式也不同,它们的小数表示也如此不同:=3.14
10、1 592 653 589 793 238 46 e=2.718 281 828 459 045 235 36 尽管如此,人们却在探寻人类最初碰到的这两个具有极其特殊地位的超越数之间有什么联系.首先人们看到一些现象:e与这两数的上述表示式中,第13位数同是9,第17 位数同是2,第18 位同是3,第21 位同是6,第34 位又同是2.人们甚至猜测每隔10 位数就会出现一个数相同.还有人猜测在的数字中必有e的前n位数字,在e的数字中必有的前n位数字.见张楚廷.数学文化.北京:高等教育出版社,2000.3.古希腊人已知道黄金比率.黄金比率在希腊的建筑物中起着非常重要的作用.很多艺术家相信,在所有的
11、矩形中,长宽之比为 的矩形的比例“最令人满意”,所以这个数在各种美学理论中起到了主要作用.令人惊奇的是,一些植物的叶片排列也显示出黄金比率.它有很多有趣的数学特性.超然数证明e与是超然数并非易事,相对来说e容易一点,对于的超然性的证明则更难.1873 年法国数学家埃尔米特证明e是一个超然数,九年后德国的林德曼证明也是一个超然数.这种证明彻底地解决了“化圆为方”这一古老的问题.这可以说是人类最初具体认识到的两个超然数,虽然很久很久以前就知道有这样两个数(当初也并不是用符号e 和来表示的),但知道它们的超然性才不过一二百年的历史,这一认识是重要的历史跨越.几何三大难题尺规作图解法 古希腊人说的直尺,指的是没有刻度的直尺.他们在大量的画图经历中感觉到,似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形,因而,古希腊人就规定,作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行,并称之为尺规作图法.到了大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题.三等分角问题:将任一个给定的角三等分.立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍.化圆为方问题:求作一个正方形,使它面积和已知圆的面积相等.