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1、精选优质文档-倾情为你奉上第三节二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点一二项式定理1定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫作二项式定理2通项Tk1Cankbk为展开式的第k1项易误提醒(1)二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k1项(2)(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒(3)通项是Tk1Cankbk(k0,1,2，n)其中含有Tk1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素自测练习1.6的
2、展开式中常数项为_解析：由题意可知常数项为C(2x)2460.答案：602.8的展开式中的有理项共有_项解析：Tr1C()8rrrCxr为4的倍数，故r0,4,8共3项答案：3知识点二二项式系数与项的系数1二项式系数与项的系数(1)二项式系数二项展开式中各项的系数C(k0,1，n)叫作二项式系数(2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念2二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即CC增减性当k时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得
3、最大值，最大值为Cn或Cn3.各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCCC2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在Tk1Cankbk中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tk1项的系数指化简后除字母以外的数，如a2x，b3y，Tk1C2nk3kxnkyk，其中C2nk3k就是Tk1项的系数自测练习3(2015高考四川卷)在(2x1)5的展开式中，含x2的项的系数是_(用数字填写答案)解析：由二项展开式的通项Tr1C(2x)5r(1)r(r0,1，5)知，当r
4、3时，T4C(2x)53(1)340x2，所以含x2的项的系数是40.答案：404C3C5C(2n1)C_.解析：设SC3C5C(2n1)C(2n1)C，S(2n1)C(2n1)C3CC，2S2(n1)(CCCC)2(n1)2n，S(n1)2n.答案：(n1)2n考点一二项展开式中特定项与系数问题|1(2016海淀模拟)3的展开式中的常数项为()A12 B12C6 D6解析：由题意可得，二项展开式的通项为Tr1C(x2)3rr(2)rCx63r，令63r0，得r2，3的展开式中的常数项为T21(2)2C12，故选A.答案：A2(2015高考安徽卷)7的展开式中x5的系数是_(用数字填写答案)解
5、析：由题意知，展开式的通项为Tr1C(x3)7rrCx214r，令214r5，则r4，T5Cx535x5，故x5的系数为35.答案：353若n展开式中含有x2项，则n的最小值是_解析：n的展开式的通项是Tr1Cnr(x)rC(1)rxrn.依题意得，关于r的方程rn2，即r有正整数解；又2与5互质，因此n2必是5的倍数，即n25k，n5k2，n的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可考点二二项式系数性质与各项系数和问题|(1)若n展开式中只有第6项的
6、二项式系数最大，则展开式的常数项是()A360 B180C90 D45(2)若a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4，则a2a3a4_.解析(1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n10，通项公式为Tr1C()10rrC2rx5r，所以r2时，常数项为180.(2)x4(x1)14C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C，对照a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4得a2C，a3C，a4C，所以a2a3a4CCC14.答案(1)B(2)14(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方
7、法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令xy1即可(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大(2015成都一中模拟)设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为()A2 B1C1 D2解析：令等式中x1可得a0a1a2a11(11)(1)92，故选A.答案：A考点三多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中，常常
8、涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题2几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题3三项展开式中的特定项(系数)问题探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1(2016商丘月考)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A74 B121C74 D121解析：展开式中含x3项的系数为C(1)3C(1)3C(1)3C(1)3121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2(2015高考全国卷)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_
9、.解析：法一：直接将(ax)(1x)4展开得x5(a4)x4(64a)x3(46a)x2(14a)xa，由题意得1(64a)(14a)32，解得a3.法二：(1x)4展开式的通项为Tr1Cxr，由题意可知，a(CC)CCC32，解得a3.答案：3探究三三项展开式中特定项(系数)问题3(2015高考全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20C30 D60解析：(x2xy)5(x2x)y5的展开式中只有C(x2x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为CC30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别
10、得到特定的项，再求和即可(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值是_思维点拨要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x1，可求得奇数项与偶数项系数之和解析令x1，得a0a1a2a3a4(2)4，令x1，得a0a1a2a3a4(2)4.故(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a2a4a1a3)(a0a2a4a1
11、a3)(2)4(2)4(34)41.答案1方法点评赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，1.一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪练习若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.解析：令x1，则a0a1a2a1236，令x1，则a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，则a01，a2a4a121364.答案：364A组考点能力演练1若n的展开式中的所有二项式系数之和为512，则
12、该展开式中常数项为()A84B84C36 D36解析：由二项式系数之和为2n512，得n9.又Tr1(1)rCx183r，令183r0，得r6，故常数项为T784.故选B.答案：B2已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3C2 D1解析：(1x)5中含x与x2的项为T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系数为105a5，a1.答案：D3(2016青岛模拟)设(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x2 B20x3C21x3 D35x3解析：(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，则(11)
13、na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，(1x)6的展开式系数最大项为T4Cx320x3.答案：B4(2016西城一模)若m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是()A21 B21C7 D7解析：2m128，m7，展开式的通项Tr1C(3x)7rrC37r(1)rx7，令7r3，解得r6，的系数为C376(1)621，故选A.答案：A5(2016广州调研)已知a2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为()A10 B10C80 D80解析：a2cosdx2sin2，展开式的通项为Tr1C(2)rx103r，令103r1，则r3，T4C(2)
14、3x80x.答案：D6.6的展开式中常数项为_解析：6的通项为Tk1Cx6kkkCx62k，令62k0，得k3，故展开式中常数项为.答案：7(2015高考天津卷)在6的展开式中，x2的系数为_解析：二项式6展开式的第r1项为Tr1Cx6rrxrCrx62r，令62r2，解得r2，故x2的系数为C2.答案：8若(12x)2 015a0a1xa2x2a2 015x2 015，则_.解析：当x00时，左边1，右边a0，a01当x时，左边0，右边a0011答案：19已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求正数a的值解：5展开式的通项
15、Tr1C5rr5rCx，令205r0，得r4，故常数项T5C16，又(a21)n展开式的各项系数之和为2n，由题意，得2n16，n4.(a21)4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而C(a2)254，a.10(1)求证：122225n1(nN*)能被31整除；(2)求SCCC除以9的余数解：(1)证明：122225n125n132n1(311)n1C31nC31n1C31C131(C31n1C31n2C)，显然C31n1C31n2C为整数，原式能被31整除(2)SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)2.C98C97C是整数，S被9除的余数为7.B组高考题型
16、专练1(2014高考湖北卷)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a()A2 B.C1 D.解析：Tr1C(2x)7rr27rCar.令2r73，则r5.由22Ca584得a1，故选C.答案：C2(2014高考四川卷)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A30 B20C15 D10解析：在(1x)6的展开式中，含x2的项为T3Cx215x2，故在x(1x)6的展开式中，含x3的项的系数为15.答案：C3(2015高考湖北卷)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A29 B210C211 D212解析：因为(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以CC，解得n10，所以二项式(1x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为21029.答案：A4(2015高考广东卷)在(1)4的展开式中，x的系数为_解析：由题意得Tr1C()4r(1)r(1)rCx，令1，得r2，所以所求系数为(1)2C6.答案：65(2013高考浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.解析：展开式通项为Tr1C()5rrC(1)rxr.令r0，得r3，当r3时，T4C(1)310.故A10.答案：10专心-专注-专业