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1、高二数学高二数学 选修选修 2-2 第二章第二章 推理与证明推理与证明2023/4/7孝高 蒋志方12.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程重要思维过程.数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推主要靠合情推理理.复习v合情推理得到的结论是不可靠的，合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？哪些呢？例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+
2、c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。理导
3、出所要的结论。.综合法综合法由因导果由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立明的结论成立.(又称顺推证法又称顺推证法)探索求知探索求知注：用注：用P P表示已知条件表示已知条件,已有的定义已有的定义,定理定理,公理等公理等.Q.Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为则综合法可用框图表示为:P Q1Qn QQ2 Q3Q1 Q2探索求知探索求知例例2：求证不等式：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立注：
4、从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件的条件。证明：证明：要证要证即证即证故不等式成立故不等式成立.只需证只需证只需证只需证2.分析法分析法探索求知探索求知从证明的结论出发从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直直至最后至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件件(已知已知,定理定理,定义定义,公理等公理等).这种证明的方法叫做分析法这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）（又称倒推证法）执果索因执果索因 注：用注：用Q Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为则分析法可用框图表示为:
5、得到一个明显成立的条件Q P1P1 P2P2 P3【分析法分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。个明显成立的条件。要证：要证：只要证：只要证：只需证：只需证：显然成立显然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 结论成立结论成立格格 式式解解:要证要证只需证只需证展开展开,只需证只需证只需证只需证 21252125因为因为 2125210，求证，求证:3a32b33a2b2ab2【解析】【解析】(法一法一)综合法综合法:3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2
6、b2(ba)(3a22b2)(ab).因为因为ab0，所以，所以ab0，3a22b20，所以所以(3a22b2)(ab)0，所以所以3a32b33a2b2ab2成立成立.No.1 middle school，my love！综合法与分析法综合法与分析法 (法二法二)分析法分析法:要证要证3a32b33a2b2ab2，只需证只需证3a2(ab)2b2(ab)0，只需证只需证(3a22b2)(ab)0，因为因为ab0，所以，所以ab0，所以所以3a22b22a22b20，所以原不等式成立所以原不等式成立.No.1 middle school，my love！综合法与分析法综合法与分析法直接证明(回顾小结)分析法分析法 解题方向比较明确，解题方向比较明确，利于寻找解题思路；利于寻找解题思路；综合法综合法 条理清晰，易于表述。条理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法寻求寻求思路，再用思路，再用综合法综合法有条理地有条理地表述解题过程表述解题过程分分析析法法综综合合法法概念概念【巩固练习】【巩固练习】