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1、总纲目录教材研读考点突破栏目索引复数的四则运算总纲目录教材研读考点突破栏目索引总纲目录总纲目录教材研读1.复数的有关概念考点突破2.复数的几何意义3.共轭复数的概念考点二复数的运算考点一复数的有关概念考点三复数的几何意义4.复数的模5.复数的加法与减法6.复数的乘法与除法总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读1.复数的有关概念复数的有关概念(1)形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.复数通常用字母z表示,即z=a+bi,其中a与b都是实数,a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,bR),当且仅当b=0时,它是实数;当b0时,它是虚数;当a=0且且b0时,它是纯虚数.(2
2、)复数的相等如果a,b,c,d都是实数,那么教材研读教材研读a+bi=c+dia=c且b=d;a+bi=0a=0且且b=0.总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读2.复数的几何意义复数的几何意义建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.3.共轭复数的概念共轭复数的概念当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的 共 轭 复 数 用表示,即
3、若z=a+bi(a,b R),则=a-bi.4.复数的模复数的模(1)定义:复数z=a+bi(a,bR)对应的向量的模叫做z的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=.(2)性质:|z1z2|=|z1|z2|,=,|zn|=|z|n,|=|z|.总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读5.复数的加法与减法复数的加法与减法(1)复数加减法的运算法则(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a,b,c,dR).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)复数加减法的几
4、何意义a.复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量分别为、,设=+,则复数z1+z2是向量所对应的复数.b.复数减法的几何意义若复数z1、z2对应的向量分别为、,则复数z1-z2是向量所对应的复数.总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读6.复数的乘法与除法复数的乘法与除法设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).(1)复数的乘法z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;交换律:z1z2=z2z1;结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(2)复数的除法(a+bi)(c+di)=+i(c+di0).
5、7.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中kN*.总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读1.(2017江苏徐州高三年级摸底考试)已知复数z满足z(1-i)=2,其中i为虚数单位,则z的实部为.答案答案11解析解析由z(1-i)=2,得z=1+i,则z的实部是1.总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读2.复数z=(其中i是虚数单位),则复数z的共轭复数为.答案答案1-i解析解析z=1+i,从而=1-i.1-i3.(2017江苏扬州高三考前调研测试)若复数z满足(2-i)z=1+i(i是虚数单位),则复数z在复平面上对应的点在第象限.答案答案一解析解析复数z=+i
6、在复平面上对应的点在第一象限.一一总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读4.(2017江苏苏中地区四校高三12月联考)设复数z=a+bi(a,bR,i是虚数单位),若z(2-i)=i,则a+b的值为.答案答案解析解析由z(2-i)=i,得z=-+i,由复数相等的概念得a=-,b=,则a+b=.总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读5.(2017江苏南京、盐城高三年级第二次模拟考试)若复数z满足z(1-i)=2i(i 是 虚 数 单 位),是z的共轭复数,则z=.答案答案2解析解析由z(1-i)=2i,得z=-1+i,从而=-1-i,所以z=(-1+i)(-1-i)=1+1=2.2总纲目录教
7、材研读考点突破栏目索引教材研读6.(2017江苏南京高三年级学情调研测试)设复数z满足(z+i)i=-3+4i(i为虚数单位),则z的模为.答案答案2解析解析由(z+i)i=-3+4i,得z=-i=(-3+4i)(-i)-i=4+2i,则|z|=2.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破考点一复数的有关概念考点一复数的有关概念考点突破考点突破典例典例1(1)(2017江苏南京、盐城高三年级第一次模拟考试)设复数z满足z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为.(2)若复数为纯虚数,则实数a=.(3)(2017江苏南通高三考前练习)设复数z=(2+i)2(i为虚数单位),则z的共轭复数为
8、.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破解析解析(1)由z(1+i)=2,得z=1-i,则z的虚部是-1.(2)=+i为纯虚数,则=0且0,故a=2.答案答案(1)-1(2)2(3)3-4i(3)复数z=(2+i)2=3+4i,则z的共轭复数是=3-4i.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破方法技巧方法技巧处理有关复数概念的问题,首先要找准复数的实部与虚部,若复数为非标准的代数形式,则应通过代数运算化为标准代数形式:z=a+bi(a,bR,i为虚数单位),然后根据定义解题.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破1-1(2017江苏南通高三第一次调研测试)复数z=(1+2i)2,其中i为
9、虚数单位,则z的实部为.答案答案-3-3解析解析复数z=(1+2i)2=-3+4i的实部为-3.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破1-2若复数z=+i为纯虚数(i是虚数单位),则tan=答案答案-解析解析由复数z是纯虚数得则tan=-.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破考点二复数的运算考点二复数的运算典例典例2(1)(2017江苏扬州高三第一学期期末检测)设=a+bi(i为虚数单位,a,bR),则ab=.(2)(2017江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)已知i为虚数单位,复数z1=3+yi(yR),z2=2-i,则=1+i,则y=.答案答案(1)0(2)1解析解析(1)复数=i
10、=a+bi,则a=0,b=1,ab=0.(2)z1=(1+i)z2,3+yi=(1+i)(2-i)=3+i,则y=1.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破方法技巧方法技巧复数的四则运算法则:复数的加法、减法类似于合并同类项,将含有虚数单位i的和不含i的分别合并即可;复数的乘法类似于多项式乘法;复数的除法是分子、分母同时乘分母的共轭复数,实质是分母实数化.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破2-1已知i为虚数单位,是复数z的共轭复数,若z=cos+isin,则=.答案答案-i-i解析解析复数z=+i,则=-i=-i.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破考点三复数的几何意义考点三复数的
11、几何意义典例典例3(1)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,其中i是虚数单位,它们在复平面内对应的点分别为A,B,C,若=+(,R),则+的值是.(2)已知复数z=x+yi(x,yR,i为虚数单位),且|z-2|=,则的最大值为.(3)复数z=(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破答案答案(1)1(2)(3)-2a解析解析(1)由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=+得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),解得+=1.(2)因为|z-2|=,即|(x-
12、2)+yi|=,所以(x-2)2+y2=3,其表示以(2,0)为圆心,为半径的圆,而表示圆上的点(x,y)与原点连线的斜率,令k=,则y=kx,当直线与圆相切时,斜率最大或最小.由=,得k2=3,k=,的最大值为.(3)复数z=+i的共轭复数=-i,它在复平面内对应的点在第三象限,则解得-2a.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破方法技巧方法技巧复数几何意义的理解及应用(1)复平面上的点Z、复数z及向量之间的相互联系,即Z(a,b)z=a+bi(a,bR,i为虚数单位).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简单化.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破3-1(2018江苏徐州阶段检测)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,若z1=1-2i,i是虚数单位,则的虚部为.答案答案-解析解析复数z1=1-2i,z2=-1-2i,则=-i的虚部是-.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破3-2复数z的共轭复数记为,且(3-4i)z=1-i(i是虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于第象限.答案答案四解析解析复数z=+i,则=-i在复平面内对应的点在第四象限.四四总纲目录教材研读考点突破栏目索引夯基提能作业第四节复数第四节复数