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1、1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数（1 1）内江铁中高中数学组内江铁中高中数学组 李大春李大春 2018.11.21 初中我们已经学习过初中我们已经学习过锐角三角函数锐角三角函数，知道它们，知道它们都是以锐角都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了为自变量，以比值为函数值，定义了角角的的正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切的三角函数的三角函数.一、复习回顾一、复习回顾一、一、复习回顾复习回顾 设设锐角锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合，始边与重合，始边与x轴的非负半轴轴的非负半轴重合重合,那么那么的终边在第一象限，在的终边在第一象限，在的终边上任意一点的终边上任意一点P(a
2、,b)(除开顶点除开顶点O),它与原点它与原点(即顶点即顶点)的距离是的距离是r(r0),那么那么根据初中所学过的三角函数的定义，有根据初中所学过的三角函数的定义，有 O Oxyr(1)(1)正弦正弦:sin=;:sin=;(2)(2)余弦余弦:cos=;:cos=;(3)(3)正切正切:tan=.:tan=.P P(a,b)ba二、新课引入二、新课引入 由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位的位置改变而改变，所以通常取置改变而改变，所以通常取r=1的位置。的位置。P(P(a,b)0 0 xyM MA(1,0)A(1,0)1 1 设设锐角锐角的顶
3、点与原点的顶点与原点O重合，始边与重合，始边与x轴的非负半轴轴的非负半轴重合重合,那么那么的终边在第一象限，在的终边在第一象限，在的终边上的点的终边上的点P(a,b)与与原点原点(即顶点即顶点)的距离是的距离是1,那么根据初中所学过的三角函数那么根据初中所学过的三角函数的定义，有的定义，有(1)(1)正弦正弦:sin=:sin=b;(2)(2)余弦余弦:cos=:cos=a;(3)(3)正切正切:tan=.:tan=.我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆单位圆.二、二、新课引入新课引入 角的范围已经推广，那么对任一角角的范围已经推广，那么对
4、任一角是否也能是否也能像锐角一样定义三角函数呢？像锐角一样定义三角函数呢？本节课我们研究当角本节课我们研究当角是一个任意角时，其三是一个任意角时，其三角函数的定义角函数的定义 二、新课引入二、新课引入三、探究新知三、探究新知(1)任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.设设是任意一个角是任意一个角,的的终边终边与单位圆交于点与单位圆交于点P(P(x,y),),那么那么 (1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y;(2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x;(3)(3)正切正切:tan=(:tan=(x0
5、).0).P(P(x,y)0 0 xyA(1,0)A(1,0)正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆单位圆上上的点的的点的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们为函数值的函数，我们将它们统称为统称为三角函数三角函数。三角函数三角函数 sinsin coscostantan定义域定义域三、探究新知三、探究新知(1)任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 角的概念推广后，实际上是把角的集合与实数角的概念推广后，实际上是把角的集合与实数集集R之间建立了之间建立了一一对应一一对应的关系：的关系：正实数正实数零零负实数负实数三、探究新知三
6、、探究新知(1)任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 故故 三角函数可以看成是自变量为三角函数可以看成是自变量为实数（弧度数实数（弧度数或角度数）或角度数）的函数的函数角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角实数集实数集R例例1.求求 的正弦、余弦和正切值：的正弦、余弦和正切值：解：解：在直角坐标系中，作在直角坐标系中，作（如图），（如图），得得 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 四、知识应用四、知识应用四、知识应用四、知识应用变式训练变式训练1 1 的正弦、余弦、正切值分别为（的正弦、余弦、正切值分别为（）A.-1 A.-1 不存在不存在 1 1 B.1 -1 0
7、B.1 -1 0C.-1 0 C.-1 0 不存在不存在D.D.不存在不存在 -1 0-1 0 xyO特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值sincostan四、知识应用四、知识应用 例例2.已知角已知角终边上经过点终边上经过点P0(-3,-4),求角求角的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.P P0 0(-3,-4)(-3,-4)0 0 xyM M0 0P(P(x,y)M M如图，设角如图，设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(x,y)，解：解：分别过点分别过点P、P0作作x轴的垂线轴的垂线MP，M0P0，则则 且且四、知识应用四、知识应用一般地一般地，设角，设角终边上任意一点终
8、边上任意一点(异于原点异于原点)P P(x,y),),它到它到原点原点(顶点顶点)的距离为的距离为r00（不一定等于（不一定等于1 1），则，则sinsin=;cos=;cos=;tan=;tan=.=.归纳：归纳：三角函数的三角函数的等价定义等价定义：四、知识应用四、知识应用 解法解法2：点点P0(-3,-4),到原点的距离为到原点的距离为故由三角函数的等价定义知：故由三角函数的等价定义知：.P P0 0(-3,-4)(-3,-4)0 0 xyM M0 0四、知识应用四、知识应用四、知识应用四、知识应用变式训练变式训练2 2 已知角已知角 终边上经过点终边上经过点P(-12,5),求角求角
9、的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解：点解：点P P(-12,5),(-12,5),到原点的距离为到原点的距离为故由三角函数的等价定义知：故由三角函数的等价定义知：五、探究新知（五、探究新知（2 2）三角函数值的符号 均为正均为正sinsintantanx0 0ycoscos口诀：口诀：“一全、二正、三切、四余一全、二正、三切、四余”(1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y;(2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x;(3)(3)正切正切:tan=(:tan=(x0).0).六、想一想六、想一想七、课堂小结七、课堂小结 通过本节课的学习体会到任意角三角函数用单位圆上点的坐标（或其等价定义）表示更简单、方便，明白了三角函数的本质，知道如何确定三角函数值在各象限的符号1.教材习题教材习题1.2 A组组 2、6、7（书上）（书上）2.乐学乐学1.2.1（1）八、课后作业八、课后作业