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1、24.3 24.3 正多边形和圆正多边形和圆 下关一中初中部下关一中初中部 王敏王敏 人教版九年级上册人教版九年级上册1.1.了解正多边形和圆的有关概念了解正多边形和圆的有关概念.2.2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识解决问题之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识解决问题学习目标学习目标自学指导 认真看书认真看书105-107页，独立完成以下问页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？题，看谁做得又对又快？1 1、什么是正多边形、什么是正多边形?什么是边心距，中心角什么是边心距，中心角？2 2、正、正
2、n n边形的每一个内角是多少度？每一个边形的每一个内角是多少度？每一个中心角呢？中心角呢？问题问题1：n边形的内角和是边形的内角和是问题问题2：n边形的外角和是边形的外角和是一、一、温故知新温故知新 导入新课导入新课三条边相等，三个角也相三条边相等，三个角也相等（等（6060）.四条边都相等，四个角四条边都相等，四个角也相等（也相等（9090）.二、合作探究二、合作探究 教师释疑教师释疑探究一探究一:什么样的图形是正多边形？什么样的图形是正多边形？各边相等各边相等,各角也相等的多边形叫做各角也相等的多边形叫做 正多边形正多边形.三条边相等，三条边相等，三个角相等三个角相等（60度）。度）。四条
3、边相等，四条边相等，四个角相等四个角相等（900）。）。正三正三角形角形正方形正方形一、正多边形的定义一、正多边形的定义如果一个正多边形有如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形条边，那么这个正多边形 叫做叫做正正n边形边形。思考思考:菱形是正多边形吗菱形是正多边形吗?矩形呢矩形呢?菱形菱形,矩形都矩形都不是正多边形不是正多边形探究二：正探究二：正n边形与圆的关系边形与圆的关系1.把正把正n边形的边数无限增多边形的边数无限增多,就接近于圆就接近于圆.2.怎样由圆得到多边形呢？怎样由圆得到多边形呢？ABCD思考思考:把一个圆把一个圆4等分等分,并依次连并依次连 接这些点接这些点,得到正多边形吗
4、得到正多边形吗?弧相等弧相等弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆内接圆内接多边形是正多边形多边形是正多边形思考思考:把一个圆把一个圆5等分等分,并依次连接这些点并依次连接这些点,得到正多边形吗得到正多边形吗?证明：证明：AB=BC=CD=DE=EAABCDE AB=BC=CD=DE=EA BCE=CDA=3ABA=B同理同理 B=C=D=EA=B=C=D=E又又 顶点顶点A、B、C、D、E都在都在O上上 五边形五边形ABC
5、DE是是O的的 内接正五边形内接正五边形.定理定理1 1：把圆分成把圆分成n n（n3n3）等份：）等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的的内接正多边形内接正多边形.又又五边形五边形PQRST的各边都与的各边都与 O相切，相切，五边形五边形PQRST的是的是O外切正五边形。外切正五边形。证明：连结证明：连结OA、OB、OC，则：，则：OAB=OBA=OBC=OCBTP、PQ、QR分别是以分别是以A、B、C为切点的为切点的 O的切线的切线OAP=OBP=OBQ=OCQPAB=PBA=QBC=QCB又又AB=BCAB=BCPAB与与QBC是全等是全等 的等腰
6、三角形。的等腰三角形。P=Q PQ=2PA同理同理Q=R=S=T QR=RS=ST=TP=2PA ABCDEP PQ QR RS ST TO O定理定理2 2：经过各分点作圆的切线，以相邻切经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形外切正多边形.思考思考3:过圆的过圆的5等份点画圆的切线等份点画圆的切线,则以相邻切则以相邻切 线的交点为顶点的多边形是正多边形吗线的交点为顶点的多边形是正多边形吗?EFCD.O O中心角中心角半径半径R R边心距边心距r r正多边形的中心正多边形的中心:一个正多边形的一个正多边形的 外接圆的圆心外
7、接圆的圆心.正多边形的半径正多边形的半径:外接圆的半径外接圆的半径正多边形的中心角正多边形的中心角:正多边形的每一条正多边形的每一条 边所对的圆心角边所对的圆心角.正多边形的边心距：正多边形的边心距：中心到正多边形的中心到正多边形的 一边的距离一边的距离.二二.正多边形有关的概念正多边形有关的概念1.O是正是正 ABC的中心，它是的中心，它是 ABC的的_ 圆与圆与_圆的圆心。圆的圆心。2.OB叫正叫正ABC的的_,它是正它是正ABC的的_圆圆 的半径。的半径。3.OD叫作正叫作正ABC_,它是正它是正ABC的的_ 圆的半径。圆的半径。ABC.OD外接外接内切内切半径半径外接外接边心距边心距内
8、切内切4.BOC是正是正ABC的的_角角;中心中心BOC=_度度;BOD=_度度.12060巩固练习巩固练习5、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做 正方形正方形ABCD的的_6、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做 正方形正方形ABCD的的_ABCD.OE中心中心边心距边心距7、O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的 弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的_，它是正五边形它是正五边形ABCDE的的_圆的半径。圆的半径。8、AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的的_角，角，它的度数是它的度数是_DEABC.
9、OF边心距边心距内切内切中心中心72度度9、图中正六边形、图中正六边形ABCDEF的中心角是的中心角是_;它的度数是它的度数是_;10、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？BAEFCD.OAOB60度度正正n n边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是_;_;中心角是中心角是_;_;正多边形的中心角与外角的大小关系是正多边形的中心角与外角的大小关系是_._.相等相等三、正多边形的角三、正多边形的角思考：正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形思考：正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？吗？3.正多边形都是
10、轴对称图形，一个正正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。边形的中心。四、正多边形的性质及对称性四、正多边形的性质及对称性4.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。它的中心就是对称中心。1、正多边形的各边相等、正多边形的各边相等2、正多边形的各角相等、正多边形的各角相等在在RtOPCRtOPC中中,OC=4,PC=2.,OC=4,PC=2.利用勾股定理利用勾股定理,可可得边心距得边心距【解析解析】如图，如图，正六边形正六边形ABCDEFABCDEF的中心角为
11、的中心角为6060，OBCOBC是是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l=46=24(m).=46=24(m).亭子地基的面积亭子地基的面积OABCDEFRPr【例题】【例题】有一个亭子有一个亭子,它的地基是半径为它的地基是半径为4m4m的正六边形的正六边形,求求地基的周长和面积地基的周长和面积(精确到精确到0.1m0.1m2 2).).【跟踪训练】【跟踪训练】分别求出半径为分别求出半径为R R的圆内接正三角形、的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积正方形的边长、边心距和面积.【解析】【解析】作等
12、边作等边ABCABC的的BCBC边上的高边上的高AD,AD,垂足为垂足为D D连接连接OBOB，则，则OB=ROB=R在在RtOBDRtOBD中中,OBD=30,OBD=30,在在RtABDRtABD中中,BAD=30,BAD=30,ABCDOAB=AB=S SABCABC=边心距边心距OD=OD=三、后教环节三、后教环节 突出重点突出重点 突破难点突破难点连接连接OBOB，OC OC 作作OEBCOEBC，垂足为，垂足为E E，OEB=90OEB=90，OBE=BOE=45OBE=BOE=45，RtOBERtOBE为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ABCDOE求出半径为求出半径为R R的圆
13、内接正方形的边长、边心距和面积的圆内接正方形的边长、边心距和面积.1.1.下列图形中：下列图形中：正五边形；正五边形；等腰三角形；等腰三角形；正八正八边形；边形；正正2n2n（n n为自然数）边形；为自然数）边形；任意的平行四边任意的平行四边形形.是轴对称图形的有是轴对称图形的有_,_,是中心对称图形的是中心对称图形的有有_,_,既是中心对称图形，又是轴对称图形的既是中心对称图形，又是轴对称图形的有有_._.2.2.两个正七边形的边心距之比为两个正七边形的边心距之比为3:43:4，则它们的边长比，则它们的边长比为为_，面积比为，面积比为_，外接圆周长比是，外接圆周长比是_，中，中心角度数比是心
14、角度数比是_._.3:43:49:169:163:43:41:11:1当堂检测当堂检测 巩固新知巩固新知3.3.正方形正方形ABCDABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O O叫做正方形叫做正方形ABCDABCD的的_4.4.正方形正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆O O的半径的半径OEOE叫做正方形叫做正方形ABCDABCD的的_5.5.若正六边形的边长为若正六边形的边长为1,1,那么正六边形的中心角是那么正六边形的中心角是_度，度，半径是半径是_，边心距是，边心距是 ，它的每一个内角是，它的每一个内角是_6.6.正正n n边形的一个外角度数与它的边形的一个外角度数与它的_角的度数相等角的度数
15、相等中心中心边心距边心距60601 1120120中心中心7.7.将一个正五边形绕它的中心旋转将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转至少要旋转 度度,才能与原来的图形位置重合才能与原来的图形位置重合.7272ABCDE8.求证求证：正五边形的对角线相等。正五边形的对角线相等。已知：已知：ABCDE是正五边形，是正五边形，求证：求证：DB=CE1 1正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距正多边形的中心角，正多边形的边心距2 2正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多正多边形的半径、正
16、多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系边形的边心距之间的等量关系通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：五、课堂小结五、课堂小结刘徽是公元三世纪世刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，界上最杰出的数学家，他在公元他在公元263年撰写年撰写的著作的著作九章算术注九章算术注以及后来的以及后来的海岛海岛算经算经，是我国最宝，是我国最宝贵的数学遗产，从而贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学奠定了他在中国数学史上的不朽史上的不朽地位地位。我国古代的刘徽他为了圆周率的计算一直我国古代的刘徽他为了圆周率的计算一直潜心钻研着。潜心钻研着。一次，刘徽看到石匠在加工石头，觉得
17、一次，刘徽看到石匠在加工石头，觉得很有趣就仔细观察了起来。很有趣就仔细观察了起来。一斧一斧地凿下去，一块方形石料就被加工成了一根圆柱一斧一斧地凿下去，一块方形石料就被加工成了一根圆柱。“哇！原本一块哇！原本一块方石，经石匠师方石，经石匠师傅凿去四角，就傅凿去四角，就变成了八角形的变成了八角形的石头。再去八个石头。再去八个角，又变成了十角，又变成了十六边形。六边形。”谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发了刘徽智慧的火花。他想：了刘徽智慧的火花。他想：“石匠加工石料的方法，石匠加工石料的方法，可不可以用在圆周率的研究上呢？可不可以用在圆周率的研究
18、上呢？”于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去，于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去，一试果然有效。他发明了亘古未有的一试果然有效。他发明了亘古未有的“割圆术割圆术”。他沿着割圆术的思他沿着割圆术的思路，从圆内接正六路，从圆内接正六边形算起，边数依边形算起，边数依次加倍，相继算出次加倍，相继算出正正12边形，正边形，正24边形边形直到正直到正192边形的面积，边形的面积，得到圆周率兀的近得到圆周率兀的近似值为似值为157/50(3.14)；后来，；后来，他又算出圆内接正他又算出圆内接正3072边形的面积，边形的面积，从而得到更精确的从而得到更精确的圆周率近似值：兀圆周率近似值：兀3927
19、/1250(3.1416)。这里蕴含了无限细分，逐渐逼近的极限思想这里蕴含了无限细分，逐渐逼近的极限思想刘徽首创刘徽首创“割圆术割圆术”的方法，可以说他是中国古的方法，可以说他是中国古代极限思想思想的杰出代表，不仅为代极限思想思想的杰出代表，不仅为200年后祖年后祖冲之圆周率的计算提供了思想方法与理论依据，冲之圆周率的计算提供了思想方法与理论依据，也对中国古代的数学研究产生了很大影响。也对中国古代的数学研究产生了很大影响。经过不断的反复精确运算，经过不断的反复精确运算，祖冲之又进一步通过祖冲之又进一步通过1228812288边形得出圆周率在边形得出圆周率在3.14159263.1415926和
20、和3.14159273.1415927之间，是当时全世界最精之间，是当时全世界最精确的圆周率数值。确的圆周率数值。祖冲之与圆周率祖冲之与圆周率在生活中，我们也要善于观察、勤于思考，在生活中，我们也要善于观察、勤于思考，养成爱动脑的好习惯。你们也有可能成为数养成爱动脑的好习惯。你们也有可能成为数学家哦！学家哦！六、家庭作业六、家庭作业1、必做 p108-109页 4、6题2、选作 109页 拓广探究8题3、预习【预习】六【预习】六.画正多边形的方法画正多边形的方法1.1.用量角器等分圆用量角器等分圆2.2.尺规作图等分圆尺规作图等分圆(1)(1)正四、正八边形的尺规作图正四、正八边形的尺规作图(2)(2)正六、正三正六、正三 、正十二边形的尺规作图、正十二边形的尺规作图(3)(3)按照一定比例按照一定比例,画一个停车让行的交通标画一个停车让行的交通标 志的外缘志的外缘停停(4)(4)用量角器作五角星；用量角器作五角星；