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1、二次函数与二次函数与一元二次方程的联系一元二次方程的联系本课内容本节内容1.4 画出二次函数画出二次函数 的图象，你能的图象，你能从图象中看出它与从图象中看出它与x 轴的交点吗？轴的交点吗？二次函数二次函数 与一元二次方程与一元二次方程 有怎样的关系？有怎样的关系？y=x2-2x-3y=x2-2x-3x2-2x-3=0探究探究 如如下下图图所示所示，二次函数二次函数 的图象与的图象与x 轴轴的交点坐标分别是的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）.由交点坐标由交点坐标可知，当可知，当x=-1时，时，y=0，即即 ，也就是说，也就是说，x=-1是一元二次方程是一元二次方程 的一个根的一个根.y=
2、x2-2x-3x2-2x-3=0 x2-2x-3=0 同理，当同理，当x=3 时，时，y=0，即，即 ，也就是说，也就是说，x=3是一元二次方程是一元二次方程 的一个根的一个根.x2-2x-3=0 x2-2x-3=0 一般地，一般地，如果二次函数如果二次函数 的图象与的图象与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么那么一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根x=x1，x=x2.y=ax2+bx+c 观察二次函数观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2 的图象的图象（如（如下下图），分别说出一元二次方程图），分别说出
3、一元二次方程x2-6x+9=0和和 x2-2x+2=0 的根的情况的根的情况.动脑筋动脑筋 二次函数二次函数y=x2-6x+9的图象与的图象与x 轴有重合的两个交点，其坐标都轴有重合的两个交点，其坐标都是是（3，0），而一元二次方程而一元二次方程 x2-6x+9=0 有两个相等的实根：有两个相等的实根：x1=3，x2=3.二次函数二次函数y=x2-2x+2 的图象的图象与与x 轴没有交点，而一元二次方轴没有交点，而一元二次方程程x2-2x+2=0 没有实数根没有实数根.一般地，二次函数一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与的图象与x轴轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个的位置关
4、系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况：有两个不相等的实根、的根的三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实数根有两个相等的实根和没有实数根.反过来，由一元反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与次函数的图象与x 轴的位置关系轴的位置关系.从上面的分析可以看出，从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程关系密切关系密切.那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？那么解一元二次方程能不
5、能借助二次函数呢？求一元二次方程求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根就是求二次函数的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在在y=0 时，自变量时，自变量x 的值，也就是二次函数的值，也就是二次函数图象与图象与x 轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根数的图象来求一元二次方程的根.由于作图或观察的由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的误差，由图象求得的根，一般是近似的.例例1 求一元二次方程求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值的根的近似值 (精确到精确到0.1).).举举例例分析分析 一元二次方程一元二次方
6、程x2-2x-1=0的根就是抛物线的根就是抛物线 y=x2-2x-1与与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，然后因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与从图上找出它与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作这种解一元二次方程的方法叫作图象法图象法.作出函数作出函数y=x2-2x-1的图象，如下图所示：的图象，如下图所示：解解 设二次函数设二次函数y=x2-2x-1.可以发现抛物线与可以发现抛物线与x轴的一个交点在轴的一个交点在-1和和0之间，之间，另一个交点在另一个交点在2和和3之间之间.y=x2-2x-1 通过观察或测量，可得抛物
7、线与通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交轴的交点的横坐标约为点的横坐标约为-0.4或或2.4，即一元二次方程，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为的实数根为x1-0.4或或x22.4.y=x2-2x-1 我们还可以借助计算器来分析所求方程的我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根实数根.将二次函数将二次函数y=x2-2x-1在在-1 至至0 范围内范围内的部分的部分x 值所对应的值所对应的y 值列表如下：值列表如下：x-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10y21.611.240.890.560.25-0.04-0.31-0.56-0.79-1 可
8、以发现，当可以发现，当x=-0.5 时，时，y=0.250；而当；而当x=-0.4 时，时，y=-0.040.结合图象可以看出，使结合图象可以看出，使y=0 的的x 的值一定在的值一定在-0.5 与与-0.4之间，即之间，即-0.5x-0.4.x-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10y21.611.240.890.560.25-0.04-0.31-0.56-0.79-1同理，借助计算器，我们可以确定一元二次方同理，借助计算器，我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为程的另一个实数根为x=2.4.题目只要求精确到题目只要求精确到0.1，这时取，这时取x=-
9、0.4 或或x=-0.5 作为所求的根均满足要求作为所求的根均满足要求.但当但当x=-0.4 时，时，y=-0.04，比当比当x=-0.5 时，时，y=0.25 更接近于更接近于0，因此选，因此选x=-0.4.例例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中运行，其中x 是铅球是铅球 离初始位置的水平距离离初始位置的水平距离，y是铅球离地面是铅球离地面 的高度的高度.举举例例（1）当铅球离地面的高度为）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置时，它离初始位置 的水平距离是多少？的水平距离是多少？解解 由抛物线的表达式得由抛物线的表达式得x2-6x+5
10、=0，即即解解得得x1=1，x2=5.即当铅球离地面的高度为即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置时，它离初始位置的水平距离是的水平距离是1m 或或5m.你能结合图你能结合图示示指出为什么在不同指出为什么在不同的水平距离，铅球的水平距离，铅球的高度均为的高度均为2.1m？（2）铅球离地面的高度能否达到）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置，它离初始位置 的水平距离是多少？的水平距离是多少？解解 由抛物线的表达式得由抛物线的表达式得x2-6x+9=0，即即解解得得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置时，它离初始位置的水平距离是的水
11、平距离是3m.（3）铅球离地面的高度能否达到）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？为什么？解解 由抛物线的表达式得由抛物线的表达式得x2-6x+14=0，即即因为因为=（-6）2-4114=-200，所以方程无实数根所以方程无实数根.所以铅球离地面的高度不能达到所以铅球离地面的高度不能达到3m.从例从例2 可以看出，已知二次函数可以看出，已知二次函数y=ax2+bx+c的某一的某一个函数值个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程次方程ax2+bx+c=M，这样，二次函数与一元二次方程，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了就紧密地联
12、系起来了.1.试判断下列抛物线试判断下列抛物线与与x轴的交点情况：轴的交点情况：练习练习（1）y=x2-x-2；（2）y=9x2+12x+4；答案：两个交点答案：两个交点.（3）y=x2-2x+3.答案：一个交点答案：一个交点.答案：没有答案：没有交点交点.2.用图象法求一元二次方程用图象法求一元二次方程x2+x-1=0的根的的根的 近似值（精确到近似值（精确到0.1）.答：答：x1-1.6，x20.6.3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市 后，公司经历了从亏损到赢利的过程后，公司经历了从亏损到赢利的过程.如图，已知如图，已知 刻画了该公
13、司年初以来累积利润刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）（万元）与销售时间与销售时间x（月份）之间的关系（月份）之间的关系.试根据图象提供试根据图象提供 的信息，回答下列问题：的信息，回答下列问题：万元万元月份月份（1）该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？万元万元月份月份答：答：该公司亏损期是该公司亏损期是4个月个月；4月末开始赢利月末开始赢利.（2）求截止到几月末公司累积利润可达到）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；万元；万元万元月份月份解：解：化简，得化简，得解得解得x1=-6(舍去舍去)，x2=10.即截止到即截止到10月末公司累积利润可达到月末公司累积利润可达到30万元万元.（3）该公司第）该公司第8个月末所获利润是多少？个月末所获利润是多少？万元万元月份月份解：公司第解：公司第8个月末所获利润为个月末所获利润为结结 束束