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1、8.2正态总体均值和方差的假正态总体均值和方差的假设检验设检验F 检验检验 用用 F分布分布一般说来，一般说来，按照检验所用的统计量的分布按照检验所用的统计量的分布,分为分为U 检验检验 用正态分布用正态分布t 检验检验 用用 t 分布分布检验检验用用分布分布这一节我们讨论正态总体的参数的假设这一节我们讨论正态总体的参数的假设检验问题检验问题假设检验步骤假设检验步骤(四部曲四部曲)1.1.根据实际问题所关心的内容根据实际问题所关心的内容,建立建立H H0 0与与H H1 12.2.在在H H0 0为真时为真时,选择合适的统计量选择合适的统计量V V给定显著性水平给定显著性水平,确定确定拒绝域拒
2、绝域3.3.确确定拒绝域形式定拒绝域形式4.根据样本值计算根据样本值计算,并作出相应的判断并作出相应的判断.一、正态总体均值的检验一、正态总体均值的检验1、2已知的情形已知的情形U检验检验构造统计量构造统计量 根据给定的检验水平根据给定的检验水平，查查表确定分位数表确定分位数在在H0成立的条件下成立的条件下例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时,切割每段金属棒切割每段金属棒的平均长度为的平均长度为10.5cm,标准差是标准差是0.15cm,今从一今从一批产品中随机的抽取批产品中随机的抽取15段进行测量段进行测量,其结果如其结果如下下:假定切割的长度假定切割的长度X服从正态分布服从正态
3、分布,且标准且标准差没有变化差没有变化,试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?解解因为因为要假设检验要假设检验查表得查表得故接受故接受H0，认为该机工作正常，认为该机工作正常2、2未知的情形未知的情形 t检验检验由由 P|t|t/2(n 1)=,得检验水平为得检验水平为 的拒绝域为的拒绝域为|t|t/2(n 1)例例2 某种片剂药物中成分某种片剂药物中成分A的含量规定为的含量规定为10，现抽验该药物一批成品中的五个片剂，测得其现抽验该药物一批成品中的五个片剂，测得其中成分中成分A的含量分别为的含量分别为0.1090，0.0945，0.1038，0.0961，0.0992，假设该药物中成分，
4、假设该药物中成分A的含量的含量X服从正态分布，问在服从正态分布，问在5的显著性水平下，抽的显著性水平下，抽验结果是否与片剂中成分验结果是否与片剂中成分A的含量为的含量为10要求要求相符？相符？解解依题意，该批药物中成分依题意，该批药物中成分A的含量的含量X服从服从正态分布正态分布N(，2)，其中，其中，2均为未知。均为未知。问题化为在问题化为在0.05的显著性水平下的检的显著性水平下的检验假设验假设H0:=0.10,H1:0.10n5，计算可得样本均值和样本方差，计算可得样本均值和样本方差检验统计量为检验统计量为计算得计算得t0.1970查表得查表得t/2(4)=t0.025(4)=2.776
5、4由于由于|t|0.1970 t/2(4)=2.7764故没有理由拒绝故没有理由拒绝H0，即认为该批药物片剂中，即认为该批药物片剂中成分成分A的含量与规定含量的含量与规定含量10没有显著差异。没有显著差异。3、两个正态总体均值差的检验两个正态总体均值差的检验 t 检验检验 我们可以用我们可以用t检验法检验具有检验法检验具有相同方差相同方差2（未知）的两个总体均值差的假设。给（未知）的两个总体均值差的假设。给定显著性水平定显著性水平，设，设 是来自正态是来自正态总体总体 的样本，的样本，是来自正态是来自正态总体总体 的样本，且设两样本独立，的样本，且设两样本独立，分别记它们的样本均值为分别记它们
6、的样本均值为 ，样本方差，样本方差为为 。其中。其中 均为未知。现在来均为未知。现在来求检验问题：求检验问题：的拒绝域的拒绝域对于给定的检验水平对于给定的检验水平,构造统计量，构造统计量，特别地，当特别地，当0时，假设检验时，假设检验H0：1=2，H1：1 2是经常遇到的情况。是经常遇到的情况。当当H0为真时为真时 当方差当方差1222已知时，用已知时，用U检验法，构造检验法，构造统计量统计量取显著性水平取显著性水平得拒绝域为得拒绝域为二、正态总体方差的检验二、正态总体方差的检验1、单个总体的情况单个总体的情况2检验检验 设总体设总体 未知，未知，是是来自总体来自总体X的样本，现要检验假设（显
7、著性的样本，现要检验假设（显著性水平为水平为）由上由上分位点的定义可知分位点的定义可知得显著性水平为得显著性水平为 的拒绝域为的拒绝域为例例3 由以往管理生产过程的大量资料表明某自由以往管理生产过程的大量资料表明某自动机床产品的某个尺寸动机床产品的某个尺寸X服从正态分布，其标服从正态分布，其标准差为准差为010.00毫米，并且把毫米，并且把010.00毫米定毫米定为机床精度的标准。为控制机床工作的稳定性，为机床精度的标准。为控制机床工作的稳定性，定期对其产品的标准差进行检验：每次随机地定期对其产品的标准差进行检验：每次随机地抽验抽验9件产品，测量结果为件产品，测量结果为x1,x2,x9。试制定
8、。试制定一种规则，以便能根据样本标准差一种规则，以便能根据样本标准差s的值判断的值判断机床的精度（即标准差）有无变化（显著性水机床的精度（即标准差）有无变化（显著性水平为平为0.05）？）？解解依题意，所考虑的产品指标依题意，所考虑的产品指标X服从正态服从正态分布。要根据分布。要根据s的值检验假设的值检验假设当当H0为真时，为真时，2服从自由度为服从自由度为8的的2分布分布对于对于0.05，查表得查表得则拒绝域为则拒绝域为求检验统计量为求检验统计量为即即 每当测得每当测得s的值小于的值小于5.220或大于或大于14.805时，时，就认为机床的精度发生了变化。应引起注意，就认为机床的精度发生了变
9、化。应引起注意，并分析原因。并分析原因。2、两个总体方差齐性（相等）的假设检验两个总体方差齐性（相等）的假设检验F检验检验 设总体设总体X服从正态分布服从正态分布N(112),总体总体Y服服从正态分布从正态分布N(2，22),其中其中1，2未知。未知。是来自总体是来自总体X的样本，的样本，是来自总体是来自总体Y的的样本，并且两样本相互独立。样本，并且两样本相互独立。检验假设检验假设构造统计量，构造统计量，当当H0为真时为真时当当H0为真时为真时由上由上分位点的定义可知分位点的定义可知得显著性水平为得显著性水平为 的拒绝域为的拒绝域为例例4 有两批同类型电子元件，从两批电子元有两批同类型电子元件
10、，从两批电子元件中各抽取若干作电阻测试，测得结果如下件中各抽取若干作电阻测试，测得结果如下（单位：（单位：）第一批第一批 0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137，0.139第二批第二批 0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141假定电子元件的电阻服从正态分布，取显著性假定电子元件的电阻服从正态分布，取显著性水平水平0.05，问，问（1）两批电子元件的电阻的方差有无显著差）两批电子元件的电阻的方差有无显著差异？异？（2）两批电子元件的平均电阻是否相等？）两批电子元件的平均电阻是否相等？解解依题意，两总体依题意，两总体X和和Y服从正态分布
11、服从正态分布未知未知计算可知计算可知（1）需检验假设）需检验假设因而因而对给定的对给定的0.05，查表得，查表得对给定的对给定的0.05，查表得，查表得于是于是由于由于故接受故接受H0，即认为两批电子元件的电阻的，即认为两批电子元件的电阻的方差无显著差异。方差无显著差异。（2）由（）由（1）的结论有）的结论有假设检验假设检验计算可知计算可知对给定的对给定的0.05，查表得，查表得由于由于所以接受所以接受H0，即认为两批电子元件的平均，即认为两批电子元件的平均电阻没有显著差异。电阻没有显著差异。习题课习题课 各种情况的正态总体参数的检验总结于下各种情况的正态总体参数的检验总结于下原假设原假设 H
12、0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域 0 0条件条件 0 0各种情况的正态总体参数的检验总结于下各种情况的正态总体参数的检验总结于下原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域 例例1 1 某厂生产一种电子元件，其使用命服从正态分某厂生产一种电子元件，其使用命服从正态分布布 ,某日从该厂生产的一批这种电子元件中某日从该厂生产的一批这种电子元件中随机抽取随机抽取16个，测得样本均值个，测得样本均值 ，假定电子元，假定电子元件寿命的方差不变，问能否认为该日生产的这批电子元件寿命的
13、方差不变，问能否认为该日生产的这批电子元件的寿命均值为件的寿命均值为?解：解：可取统计量可取统计量 ，在在 成立时，成立时，由由 已知，已知，的拒绝域为的拒绝域为利用样本观察值，得利用样本观察值，得 ，1.对对 ，有，有 ，拒绝拒绝 ，接受，接受 .2.对对 ，有，有 ，接受接受 ，拒绝，拒绝 .注：注：对不同的检验的显著性水平对不同的检验的显著性水平 ，同一，同一 个问题可能会得到不同的检验结果。个问题可能会得到不同的检验结果。因此，因此，假设检验必须先给定显著性水假设检验必须先给定显著性水 平平 .例例2 2 已知某炼铁厂的铁水含碳量已知某炼铁厂的铁水含碳量 服服从正态分布，从正态分布，均
14、值均值 .某日随某日随机测得机测得7 7炉铁水，算得平均含碳量，炉铁水，算得平均含碳量，,样本标准差样本标准差 .以显著以显著性水平性水平 检验这天铁水含碳量检验这天铁水含碳量的均值是否显著变化？的均值是否显著变化？由题意，应取统计量设 H0:=4.40；H1:对 查表得，,而接受 ，铁水含碳量有显著变化。解解 根据题意检验假设可设为 自动车床加工某种零件，其直径 （单位：）服从正态分布，要求 .某天开工后，随机抽取30件,算得样本方差为 ，检验这天加工的零件是否符合要求?(取显著性水平 ）解解 根根拒据题目要求，本题检验假设为据题目要求，本题检验假设为 H0:2=0.09；H1:.则取统计量
15、为则取统计量为 例例3 3 拒绝域为由样本值算得所以，接受 .即认为零件直径的方差符合要求。例例4 4 某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，分别抽取分别抽取1010个灯泡进行寿命试验。计算得个灯泡进行寿命试验。计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460(2460(h h)，样本标准差为样本标准差为56(56(h h););采用新工采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为艺后灯泡寿命的样本均值为2550(2550(h h)，样样本标准差为本标准差为48(48(h h)。设灯泡的寿命服从正态设灯泡的寿命服从正态分布，由此检验采用新工艺前后灯泡寿命分布，由此检验采用新工艺前后灯泡寿命的方差有无显著变化？的方差有无显著变化？（取显著性水平（取显著性水平 ）01.0=a 解解 设采用新工艺前、后的灯泡寿命分别设采用新工艺前、后的灯泡寿命分别 用用 ,表示表示 .检验假设为检验假设为取统计量),(2xxNX),(2yyNY22220yxyxH=；：22yxSSF=在 成立时，对显著性水平 ，查表得 的拒绝域为，或由由样本值得样本值得于是，所以,接受 ,拒绝 ,即可以认为采用新工艺前、后灯泡寿命的方差不变。