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1、主要内容主要内容典型例题典型例题第二章矩阵及其运算第二章矩阵及其运算习题课习题课矩矩阵阵特特殊殊矩矩阵阵概概念念定定义义方方阵阵行行（列列）矩矩阵阵同同型型矩矩阵阵和和相相等等矩矩阵阵零零矩矩阵阵单单位位矩矩阵阵转转置置矩矩阵阵（反反）对对 称称 矩矩 阵阵幂幂等等矩矩阵阵对对合合矩矩阵阵正正交交矩矩阵阵伴伴随随矩矩阵阵对对角角矩矩阵阵上上（下下）三三角角矩矩阵阵方方阵阵的的运运算算逆逆矩矩阵阵定定义义相相关关定定理理及及性性质质分块分块矩阵矩阵方方阵阵的的幂幂方方 阵阵 的的行行 列列 式式矩矩阵阵相相乘乘数数乘乘矩矩阵阵运算及其性质运算及其性质矩矩阵阵相相加加矩阵的定义矩阵的定义对对(1)
2、(1)式，当式，当m=nm=n时，时，A A称为称为n n阶方阵。阶方阵。方阵列矩阵行矩阵方阵列矩阵行矩阵两两个个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。它们是同型矩阵。同型矩阵和相等矩阵同型矩阵和相等矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O O。主对角线上的元素都是主对角线上的元素都是1 1，其它元素都是，其它元素都是0 0的的n n阶方阵，叫做阶方阵，叫做n n阶单位阵，简记作阶单位阵，简记作E E。零矩阵单位矩阵零矩阵单位矩阵运算规律运算规律交换律交换律A+B=B+A结合律结合律(A+B)+C=A+(B+C)矩阵相
3、加矩阵相加运算规律运算规律数乘矩阵数乘矩阵矩阵相乘矩阵相乘运算规律运算规律n阶方阵的幂阶方阵的幂方阵的运算方阵的运算方阵的方阵的行列式行列式运算规律运算规律转置矩阵转置矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵对称矩阵对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵幂等矩阵对合矩阵对合矩阵正交矩阵正交矩阵对角矩阵对角矩阵上三角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵。三角矩阵。下三角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵。三角矩阵。伴随矩阵伴随矩阵定义定义 设设A A为为n n阶方阵，如果存在矩阵阶方阵，如
4、果存在矩阵B B，使使AB=BA=EAB=BA=E，则称矩阵则称矩阵A A是可逆的（或非奇异是可逆的（或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵的、非退化的、满秩的），且矩阵B B称为称为A A的逆矩阵。的逆矩阵。逆矩阵逆矩阵相关定理及性质相关定理及性质矩阵的分块，主要目的在于简化矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证。运算及便于论证。分分块块矩阵的运算规则与普通矩阵矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似。的运算规则相类似。分块矩阵分块矩阵例例计算计算一、矩阵的运算一、矩阵的运算解解解解由此得由此得例例例例解解方法一方法一用定义求逆阵用定义求逆阵二、有关逆矩阵的运算及证明二、有关逆矩阵的运算
5、及证明注注：依定义求依定义求A的的逆，实质上是求解逆，实质上是求解n个系数相同而常数项分别为单位矩阵的个系数相同而常数项分别为单位矩阵的各列的各列的n元元方程组方程组。方法二方法二注注：此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵不适用。的矩阵不适用。例例解矩阵方程解矩阵方程AX=BAX=B，XA=BXA=B，AXB=CAXB=C，其其中中A A、B B均为可逆矩阵。均为可逆矩阵。分析分析矩阵方程矩阵方程解解AX=BAX=BXA=BXA=BAXB=CAXB=C证证例例 三、矩阵的分块运算三、矩阵的分块运算同理可同理可得：得：设设A A，B B均可逆，对分块矩阵均可逆，对分块矩阵D D：例例 6解解（）根据分块矩阵的乘法，得）根据分块矩阵的乘法，得（）由（）可得）由（）可得第二章测试题第二章测试题1、填空题、填空题2、设、设A，B均为均为n阶方阵，且阶方阵，且 证明证明A可逆，并求其逆可逆，并求其逆.3、设、设n阶实方阵阶实方阵 ,且且 证明证明A可逆可逆.4、解下列矩阵方程、解下列矩阵方程5、求下列矩阵、求下列矩阵6、设、设 求求B.7、设、设n阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为 ,证明证明:8、用分块矩阵的乘法，计算矩阵的乘积、用分块矩阵的乘法，计算矩阵的乘积AB：9、利用逆矩阵求解线性方程组、利用逆矩阵求解线性方程组