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1、第第6 6章章 因素模型与套利定价理论因素模型与套利定价理论第第 一节一节 因素模型因素模型 一、单因素模型的起因 假定公司收益的不确定性只有以上两种来源，即对所有公司都有影响的宏观经济因素和单个公司特有的因素，这样就可以把公司的持有期收益率写成如下形式：其中，为该证券在持有期期初时的期望收益率，为持有期间非预期的宏观经济事件对证券收益率的影响，为非预期的公司特有事件对证券收益率的影响。2将非预期的宏观经济因素记为F，并假设不同公司对该因素有不同的敏感度，记为 i，上式演变成：公司收益率的方差为：不同公司收益率之间的协方差为：二、单指数模型 Sharpe用股票指数的收益率代替了单因素模型中的宏
2、观影响因素，称为单指数模型：写成风险溢价或者超额收益的形式，可以得到：或者写成4求出股票i的收益和市场指数收益之间的协方差为如果对（6-4）两边取期望，我们可以得到 三、多因素模型两因素模型为例，假设宏观经济风险主要来源于经济周期和利率的变化。这样以来，我们就能用 GDP的增长率和利率水平来衡量系统性风险。任何股票的收益率将同时受到这两个因素以及公司自身特有因素的影响，可以将其写成:其中，为因子载荷。第第 二节二节 套利与套利组合套利与套利组合7套利，粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况下，获取正收益的投资行为。套利过程中所构造的投资组合就被称为套利组合。具体来说，套利机会可以
3、分为两类，第一类套利我们又称为强套利（Strong Arbitrage），它是指投资组合在期初有严格负的价格，但是却能在未来提供非负的收益。第二类套利是指投资组合在期初的价格为零，但是在未来却能获得非负且不等于零的收益。例 61 假设经济中有 A、B、C、D四只股票，每个股票在一期时的收益受到一期时的通货膨胀率和利率水平的影响。下面给出了各股票在不同经济形势下的收益状况：假设每种经济形势发生的概率都等于 25，而且在零期每种股票的价格都等于 1 元，那么在这种价格水平下，市场是否存在套利组合？二、套利的几何意义图6-1 在阴影区域的投资组合价格为负 图6-2 两个证券在不同状态下的收益状况图6
4、-3 不存在套利机会的情况 图6-4 存在第二类套利机会的市场 图6-5 存在强套利机会的市场 三、一价定律、价格的正定性与无套利一价定律（Law of One Price）是指对于任意两个投资组合，如果它们在未来每种状态下的收益都是相同的，那么这两个投资组合在当前的价格也应该相等。一价定律意味着零收益的证券其价格也必定等于零。当市场中不存在套利机会时，一价定律必然得到满足，否则可以通过卖空高价证券然后买入低价且有相同收益的证券进行套利。无套利成立所需的另外一个条件是所有在未来每种状态下都有正收益的投资组合其价格都要大于零。定理定理61 当价格函数同时满足一价定律和严格正定当价格函数同时满足一
5、价定律和严格正定性的时候，市场是无套利的，反之亦然。性的时候，市场是无套利的，反之亦然。第一，套利行为是使市场达到有效的一个重要手段。第二，套利限制（Limit of Arbitrage）基本面风险（Fundamental Risk）噪音交易者风险（Noise Trader Risk）某些套利的执行成本过高（Implementation Cost）第第 三节三节 套利定价理论及其检验套利定价理论及其检验16一、APT的推导Ross（1976）提出了套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，APT）：假定：1、市场中所有参与者对资产收益率有相同的信念，且都能用上式的因素模型
6、来表示。2、市场中风险资产的个数n远远大于系统性风险的种类数k。3、市场中不存在套利机会。表示投资在第i种资产上的资金在总财富中的比例通过 的选择可以使投资组合满足：（1）每个资产上的投资金额在总财富中的比例都很小，即 ；（2）投资组合中包含足够多的资产，即n足够大；（3）的取值能够使投资组合对所有系统性风险的敏感度都等于零。二、“纯因素”组合的构造假定市场中有足够多的证券，由于可以利用分散化的方法构造出一些只受系统性风险影响的投资组合，因此，下面的例子中就不考虑风险资产的非系统性风险。例62 假设经济中有两种系统性风险 F1和 F2。证券 A和B 对这两种风险的敏感度如下表所示：三、套利定价
7、理论与资本资产定价模型的比较 相同点：（1）二者在理念上很相似，都主张在市场达到均衡时，个别证券的预期报酬率可由无风险报酬率加上风险溢价来决定。（2）二者都说明了风险与报酬之间的理性原则更多的系统性风险，更高的预期报酬。（3）当只有一个共同因素（如市场收益率）能影响证券的收益时，两个理论是一致的。不同点：（1）APT对资产回报率的分布不需要进行任何假设。（2）APT对投资者效用函数的假设更为简单，它只需要投资者满足餍足和风险规避两个基本特性。（3）CAPM纯粹从市场投资组合的观点来探讨风险与报酬的关系，认为经济体系中的全面性变动（即市场风险）才是影响个别证券预期报酬率的主要且惟一因素；而APT则认为不止一个经济因素会对个别证券的报酬产生影响。（4）CAPM所借用的市场组合实际上是不存的，因此只能借用单一股价指数来评估市场风险与报酬；而 APT 则不需要市场组合，只要设定若干个“因素”加入模型即可用于预测。（5）APT的一个弱点在于，没有一个既定的理论来说明影响资产收益率的因素具体有哪些。在使用过程中，大家对这些因素并没有一个统一的选择。这给APT的应用带来一定的不利。