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1、 赵赵 薇薇导热数值解法基础导热数值解法基础Numerical Solutions to Heat Conduction Problems 辽宁工业大学 土木建筑工程学院 2010现代科学研究的三大基本方法及其关系现代科学研究的三大基本方法及其关系理论分析Analytical数值模拟Numerical实验研究Experimental导热数值解法基础导热数值解法基础分析解精确分析解精确几何形状及边界条件简单情况几何形状及边界条件简单情况实验条件复杂实验条件复杂费用昂贵费用昂贵弥补两者的缺点弥补两者的缺点分类分类有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法2空调送风方案对比AB34-1 建
2、立离散方程的方法建立离散方程的方法导热数值解法基础导热数值解法基础 把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场、温度场、浓度场等），用有限个离散点（称为节点，node）上的值的集合来代替；通过一定的方法建立起这些离散点上变量之间关系的代数方程（称为离散方程，discretization equation）；求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似解（也称为数值解）。对于导热问题：求解对象为导热物体的温度场1.物理问题数值解的基本思想物理问题数值解的基本思想4导热数值解法基础导热数值解法基础建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点方程（方程离散化）设温度场的迭代初值求解
3、离散方程是否收敛？解的分析改进初场是否Taylor级数展开法；热平衡法；控制容积积分法等直接求解；迭代求解建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点方程（方程离散化）设温度场的迭代初值求解离散方程是否收敛？解的分析改进初场是否热流量分析；热应力分析等2.物理问题数值求解的过程物理问题数值求解的过程5导热数值解法基础导热数值解法基础节点节点(node)所求未知量的位置，包括内节点和边界节点所求未知量的位置，包括内节点和边界节点步长步长(step)相邻节点的距离相邻节点的距离控制容积控制容积(control volume)/微元体微元体实施守恒定律的最小几何单位实施守恒定律的最小几何单位
4、界面界面(interface)控制容积的分界位置控制容积的分界位置网格线网格线(grid lines)沿坐标方向相邻节点连接成的曲线簇沿坐标方向相邻节点连接成的曲线簇元素元素3.区域离散化区域离散化6导热数值解法基础导热数值解法基础International Journal of Numerical Methods in Fluids,1998,28:1371-1387.网格越密，节点越多，不连续节点温度的集合越逼近分析解。但是解题花费时间越多。当网格足够细密以至于再进一步加密网格已对数值计算结果基本上没有影响时，所得到的数值解称为网格独立解（网格独立解（grid-independent so
5、lutions）7导热数值解法基础导热数值解法基础4.建立离散方程的方法建立离散方程的方法 基本思想为用差商代替导数，用线性代数方程代替导热微分方程。建立离散方程的方法基本上有两种：泰勒级数展开法和热平衡法。热平衡法是学习的重点。(1)泰勒级数展开法泰勒级数展开法 应用泰勒级数展开式，把导热微分方程中的各阶导数用相应的差分表达式来代替。用节点(i,j)的温度来表示节点(i+1,j)的温度时：(1)8导热数值解法基础导热数值解法基础4.建立离散方程的方法建立离散方程的方法(1)泰勒级数展开法泰勒级数展开法合并上式右边第三项及以后各项，整理得式中，表示二阶导数和更高阶导数之和，称为截断误差也表明未
6、写出的级数余项中 的最低阶数为1。当 趋近于零，趋近于零，此时可用 代替截断误差小于或等于 。（2）式是节点(i,j)一阶导数的向前差分表达式向前差分表达式。(2)9导热数值解法基础导热数值解法基础4.建立离散方程的方法建立离散方程的方法类似的，用节点(i,j)的温度来表示节点(i-1,j)的温度时：合并上式右边第三项及以后各项，整理得（4）式是节点(i,j)一阶导数的向后差分表达式向后差分表达式。将（1）式减（3）式，得节点(i,j)一阶导数的中心差分表达中心差分表达式式：(3)(4)(5)误差最小误差最小10导热数值解法基础导热数值解法基础4.建立离散方程的方法建立离散方程的方法（1）式加
7、（3）式，得节点(i,j)二阶导数的中心差分表达式中心差分表达式类似的，节点(i,j)对y的二阶导数的中心差分表达式为中心差分表达式为对于常物性，无内热源二维稳态导热微分方程，节点（i,j）的离散方程为：(6)(7)(8)11导热数值解法基础导热数值解法基础4.建立离散方程的方法建立离散方程的方法(2)热平衡法热平衡法学习重点学习重点对于节点P（i,j）所代表的微元体，在x,y方向分别与四个节点相邻。由于节点之间间距很小，可认为温度分布是线性的。根据傅里叶定律，L和P之间的到热量为：同理可得：12导热数值解法基础导热数值解法基础4.建立离散方程的方法建立离散方程的方法以常物性，无热源二维稳态导
8、热为例，对节点P所代表的微元体写热平衡式 将上面各式带入得节点（i,j）的离散方程为：可见，热平衡法导出的离散方程与泰勒级数展开法导出的离可见，热平衡法导出的离散方程与泰勒级数展开法导出的离散方程是散方程是一致一致的。的。热平衡法直接将能量守恒原理以及傅里叶定律应用于节点所热平衡法直接将能量守恒原理以及傅里叶定律应用于节点所代表的控制容积。这种方法物理概念清晰，推导过程简捷。代表的控制容积。这种方法物理概念清晰，推导过程简捷。建议使用建议使用。131、内节点离散方程、内节点离散方程以常物性、无内热源的二维稳态导热为例，对于物体内任意点P(i,j)，它的离散方程为若网格划分均匀，那么对于物体内每
9、个节点，可逐个写出它们的离散方程，从而得到一组离散方程。导热数值解法基础导热数值解法基础4-2 稳态导热的数值计算稳态导热的数值计算142、边界节点离散方程、边界节点离散方程边界节点收边界条件的制约和影响，因此上述得到的方程对边界节点不适用。下面分别讨论不同边界条件下离散方程的建立a.第一类边界条件第一类边界条件边界节点的温度给定，可以直接以数值形式写入与边界节点相邻内节点离散方程中。b.第二类边界条件第二类边界条件导热数值解法基础导热数值解法基础152、边界节点离散方程、边界节点离散方程c.第三类边界条件第三类边界条件已知对流换热系数和周围流体温度，这时带入上式得导热数值解法基础导热数值解法
10、基础上述讨论了直边界上节点离上述讨论了直边界上节点离散方程的建立，直边界上节散方程的建立，直边界上节点代表半个微元体。此外还点代表半个微元体。此外还有三种边界点。有三种边界点。16导热数值解法基础导热数值解法基础xyqwqw(1)直边界上的节点(2)相当于1/2个微元体(3)根据控制容积的能量守恒定律可得边界节点离散方程的建立方法边界节点离散方程的建立方法(m,n)17导热数值解法基础导热数值解法基础xyqwqw(2)外部角点相当于1/4个微元体根据控制容积的能量守恒定律可得边界节点离散方程的建立方法边界节点离散方程的建立方法(m,n)18导热数值解法基础导热数值解法基础xyqwqw(3)内部
11、角点相当于3/4个微元体根据控制容积的能量守恒定律可得边界节点离散方程的建立方法边界节点离散方程的建立方法(m,n)19导热数值解法基础导热数值解法基础边界热流密度的三种情况(a)绝热边界(b)热流密度为确定值 q qw w直接带入(c)对流边界边界节点离散方程的建立方法边界节点离散方程的建立方法204-2 稳态导热的数值计算稳态导热的数值计算导热数值解法基础导热数值解法基础3、节点离散方程组的求解、节点离散方程组的求解边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。对于常物性的稳态导热问题，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外(t0)，其余(m-1)n 个节点均可建立离散方
12、程，共有(m-1)n个线性方程，则构成一个封闭的线性代数方程组。(m+1,n)(m,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)neswmnt0h3tfh2tfh1tf21导热数值解法基础导热数值解法基础分为如下两类(1)直接解法(direct method)通过有限次运算获得代数方程精确解，如矩阵求逆、高斯消元法等。所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题。(2)迭代解法(iteration method)利用某种递推格式反复迭代构造一个无穷序列，使其收敛于方程组的解。先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。如简单迭代（Ja
13、cobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代等。两个问题：递推格式、收敛判定两个问题：递推格式、收敛判定22线性方程组:上角标k为计算序号，计算时先给出ti 的初值ti(0)，然后用上式进行迭代。求解步骤如下：导热数值解法基础导热数值解法基础高斯高斯-赛德尔迭代赛德尔迭代已知线性方程组迭代格式为23线性方程组:热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法高斯高斯-赛德尔迭代赛德尔迭代设一三元方程组为：其中(i=1,2,3;j=1,2,3)及aij、bi是已知的系数（均不为零）及常数。首先，将三元方程变形为关于t1 t2 t3的显式形式（迭代方程）：24线性方程组:热传导问题的数值解法热传导问题的数值解
14、法高斯高斯-赛德尔迭代赛德尔迭代然后，假设一组解（迭代初场），记为：并代入迭代方程求得第一 次解 。每次计算均用最新值代入。接下来，以新的初场重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。迭代是否收敛的判据：迭代能否收敛的判据：允许偏差；取10-310-625导热数值解法基础导热数值解法基础4-3 非稳态导热的数值计算非稳态导热的数值计算非稳态项源项扩散项 稳态与非稳态维数有无内热源26热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法xki(i,k)NK以常物性、无内热源、一维非稳态导热为例：将物体沿x方向按间距x划分为N段，得到N+1个空间节点；沿方向按间距划分为K段，得到K+
15、1个时间节点。空间网格线与时间网格线的交点，如（i,k）代表了时间空间区域的一个节点位置，相应的温度记为：1.时间时间空间区域的离散化空间区域的离散化027热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法将函数t分别在节点（i,k+1）和（i,k-1）对点（i,k）作泰勒级数展开，有于是有1.时间时间空间区域的离散化空间区域的离散化(1)(2)一阶导数向前差分 一阶导数向后差分 28热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法若将(1)(2)式相减，得一阶导数的三种差分格式均有使用，本文主要采用向前差分格式。1.时间时间空间区域的离散化空间区域的离散化一阶导数的中心差分 29热传导问题的数值解法热传导问题
16、的数值解法2.一维非稳态导热的显示格式一维非稳态导热的显示格式(中心节点中心节点)一维非稳态、无内热源导热微分方程为非稳态项取向前差分，扩散项取中心差分，带入上式，有改写为显示格式的优点是计算量小，缺点是可能出现震荡解。显示格式的优点是计算量小，缺点是可能出现震荡解。30热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法3.一维非稳态导热的隐式格式一维非稳态导热的隐式格式(中心节点中心节点)非稳态项取向后差分，扩散项取中心差分，带入微分方程，有改写为隐式格式的优点是不会出现震荡解，缺点是计算量大。隐式格式的优点是不会出现震荡解，缺点是计算量大。上式完全可以等价地写为31热传导问题的数值解法热传导问题的数
17、值解法4.边界节点的离散方程边界节点的离散方程边界节点宜采用边界节点宜采用热平衡法热平衡法来建立离散方程来建立离散方程已知第三类边界条件(h,tf)，对控制容积应用能量守恒定律可得整理得(a)(b)32热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法5.稳定性分析稳定性分析可改写为(1)对于中心节点的显示格式离散方程在显示格式中，为了加快计算进程而调整 的大小时，必须使(d)式中tik的系数大于或至少等于零，即(d)一维问题显示格式中心节点的限制条件33热传导问题的数值解法热传导问题的数值解法5.稳定性分析稳定性分析同样有(2)对于边界节点的显示格式离散方程显然，这一要求比中心节点的限制更严格。因此，对以第三类边界条件的问题，采用边界节点的限制条件。而对第一类和第二类边界条件，则只有中心节点的限制条件。(c)即一维问题显示格式边界节点的限制条件34导热数值解法基础导热数值解法基础4.内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的建立方法导数差分表示式截断误差备注i点向前差分i点向后差分i点中心差分i点中心差分35