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1、 Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2 数值微分数值微分3.2.1 引例:人口增长率问题引例:人口增长率问题3.2.2 基本内容基本内容3.2.3 用用Matlab作数值微分作数值微分 3.2.4 实验实验 Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics 3.2.1 引例:人口增长率问题引例:人口增长率问题已知已知20世纪美国人口统计数据如下,试计算世纪美国人口统计数据如下,试计算 表表1 1中中
2、这些年份的人口增长率。这些年份的人口增长率。表表 3.1 20世纪美国人口统计数据世纪美国人口统计数据若记若记 时刻的人口为时刻的人口为 ,则人口(相对)增长率,则人口(相对)增长率 为为 ,表示每年人口增长的比例。表示每年人口增长的比例。年份年份1900191019201930194019501960197019801990人口人口()76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4 Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.2 基本内容基本
3、内容 数数值值微微分分是是用用离离散散方方法法近近似似地地计计算算函函数数y=f(x)在在某某点点 x=的的导导数数值值,通通常常当当函函数数以以下下列列两两种种情情况况给给出时,才有必要采用数值的方法求函数的导数值。出时,才有必要采用数值的方法求函数的导数值。(1)函数函数f(x)以离散点列给出时,而要求我们给以离散点列给出时,而要求我们给 出导数值;出导数值;(2)函数函数f(x)过于复杂。过于复杂。Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.2 基本内容基本内容导数的定义:导数的定义:其
4、中其中h(0)为小的增量。为小的增量。自然想到的简单方法:自然想到的简单方法:取极限的近似值,即差商取极限的近似值,即差商 Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.2 基本内容基本内容(3-1)图图3.1 向前差商公式的几何意义向前差商公式的几何意义 向前差商向前差商x0 x0+h Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.2 基本内容基本内容 由由Taylor展开展开 因此,有误差因此
5、,有误差 Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.2 基本内容基本内容 (3-2)图图3.2 向后差商公式的几何意义向后差商公式的几何意义 误差为:误差为:向后差商向后差商x0-hx0 Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.2 基本内容基本内容 图图3.3 中心差商的几何意义中心差商的几何意义 误差:误差:(3-3)中心差商中心差商x0-hx0 x0+h Harbin Univers
6、ity of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.3 用用MatlabMatlab作数值微分作数值微分X是向量,则是向量,则diff(X)返回返回X(2)-X(1)X(3)-X(2)X(n)-X(n-1);X是矩阵,则是矩阵,则diff(X)返回各列的差分矩阵返回各列的差分矩阵 X(2:m:)-X(1:m:)。将将X作作n次递归差分。次递归差分。微分和差分函数微分和差分函数diff包括数值差分和符号微分。包括数值差分和符号微分。其数值差分的主要调用格式如下:其数值差分的主要调用格式如下:diff(X)Diff(X,n)Harb
7、in University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.4 实验实验 对对3.2.13.2.1中人口增长率问题进行实验。中人口增长率问题进行实验。记记1900年为年为k=1,1910,1990年依次为年依次为k=2,3,10;相应地,人口记为相应地,人口记为 每每10年增长率为年增长率为用向前差商公式求出前用向前差商公式求出前9090年的增长率:年的增长率:Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.4 实验实验
8、用向后差商公式求用向后差商公式求19901990年的增长率:年的增长率:计算程序如下:计算程序如下:x=76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;%先求出前先求出前90年的增长率(向前差分)年的增长率(向前差分)h=1:9 t(h)=x(h);y=diff(x);Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.4 实验实验 z=y./(10.*t);%再求出再求出1990年的增长率(向后差分)年的增长率(向后差分)r=(x(
9、10)-x(9)/(10*x(10);r=z r;%变成百分比变成百分比 r=r./100;结果为:结果为:年年1900191019201930194019501960197019801990(%)2.111.581.570.691.441.901.381.101.100.99 表表3.2 20世纪美国人口相对增长率世纪美国人口相对增长率 Harbin University of Science and TechnologyExperiments in Mathematics3.2.4 实验实验20世纪美国人口增长率总的来说在下降,世纪美国人口增长率总的来说在下降,但是有起伏;但是有起伏;30年代和二次大战时期人口增年代和二次大战时期人口增 长率显著下长率显著下降,战后又迅速上升;降,战后又迅速上升;80年代和年代和90时代人口增长率稳定在时代人口增长率稳定在1%。可见可见