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1、2.1 2.1 曲线与方程曲线与方程第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 两两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是的方程是这就是说：这就是说：如果点如果点M(x0，y0)是这条直线上的任意是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即即 x0=y0，那么它的坐标那么它的坐标(x0，y0)就就是方程是方程 x-y=0 的解；的解；反过来，如果反过来，如果(x0，y0)是方程是方程 x-y=0 的解，即的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条的点到两轴的
2、距离相等，它一定在这条平分线上。平分线上。这样，我们就说这样，我们就说 x-y=0是这条直线的方程，是这条直线的方程，这条直线叫做方程这条直线叫做方程 x-y=0的直线。的直线。引入引入曲线与方程的关系曲线与方程的关系 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,yf(x,y)=0)=0的实数解建的实数解建立了如下关系：立了如下关系：1)1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2)2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做那么这
3、个方程叫做曲线的方程曲线的方程；这条曲线叫做；这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线。新课新课（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏由曲线与方程的定义可知，由曲线与方程的定义可知，如果曲线如果曲线C的方的方程是程是 f(x，y)=0，那么点那么点
4、P0(x0，y0)在在曲曲线线C 上的上的 充要条件是充要条件是f(x0，y0)=0.纯粹性纯粹性完备性完备性说明说明例例1判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由（1）过点过点A（3，0）且垂直于且垂直于x轴的直线为轴的直线为x=3（2）到）到x轴距离为轴距离为2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2（3）到两坐标轴距离乘积等于到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1对对错错错错认识概念认识概念变式训练：变式训练：写出下列半圆的方程写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500 xxxx条件甲：条件甲：“曲线曲线C C上的点的坐标都是
5、方程上的点的坐标都是方程f(xf(x，y)=0 y)=0 的解的解”，条条件件乙乙：“曲曲线线C C是是方方程程f f(x(x，y)=0 y)=0 的的曲曲线线”，则则甲甲是是乙乙的的()(A)(A)充分非必要条件充分非必要条件 (B)(B)必要条件必要条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)非充分也非必要条件非充分也非必要条件B若命题若命题“曲线曲线C C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(xf(x，y)=0 y)=0”是是正确的，正确的，则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是()()(A)(A)方方程程f(xf(x，y)=0 y)=0 所所表表示示的的曲曲线线是是C C (
6、B)(B)坐标满足坐标满足 f(xf(x，y)=0 y)=0 的点都在曲线的点都在曲线C C上上(C)(C)方方 程程 f(xf(x，y)=0y)=0的的 曲曲 线线 是是 曲曲 线线 C C的的 一一 部部 分分 或或 是是 曲曲 线线C C (D)(D)曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x，y)=0y)=0的曲线的一部分或是全部的曲线的一部分或是全部D例例2 设设A,B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段求线段AB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。ABlM(x,y)解析几何：用坐标法研究几何图形的知识形成的学科。解析几何：用坐标法研究几何图形的知识形成
7、的学科。求曲线的方程求曲线的方程变式练习：已知线段变式练习：已知线段ABAB的长为的长为6 6，求线段，求线段ABAB的垂直的垂直平分线的方程。平分线的方程。分析：分析：（建系设点）（建系设点）2 2、写适合条件、写适合条件p p的点的点M M的集合的集合P=M|P(M)P=M|P(M)；（列式）（列式）3 3、用坐标表示条件、用坐标表示条件P(M)P(M)，列方程，列方程f(x,yf(x,y)=0)=0；4 4、化方程、化方程f(x,yf(x,y)=0)=0为最简形式；为最简形式；（化简）（化简）5 5、说明以此方程的解为坐标的点都在曲线上。、说明以此方程的解为坐标的点都在曲线上。1 1、根
8、据已知建立合适的直角坐标系，并用有序实、根据已知建立合适的直角坐标系，并用有序实数对数对(x,yx,y)表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M M的坐标；的坐标；求曲线的方程的一般步骤：求曲线的方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简建系、设点、列式、化简求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简例例3 3：已知一条直线：已知一条直线l l和它上方的一个点和它上方的一个点F F，点，点F F到到l l的距离的距离是是2 2，一条曲线也在，一条曲线也在l l的上方，它上面的每一点到的上方，它上面的每一点到F F的距离的距离减去到减去到l l的距离的差都
9、是的距离的差都是2 2，求这条曲线方程。，求这条曲线方程。x xF Fl lMMy y解：如图建立直角坐标系，则解：如图建立直角坐标系，则F(0,2)F(0,2)，设，设M(x,yM(x,y)(y0)(y0)是所求曲线上任一点，由已知得：是所求曲线上任一点，由已知得：|MF|-|MB|=2|MF|-|MB|=2B B y0 x0 y0 x0求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简 练习练习1 1：已知两定点：已知两定点ABAB的距离为的距离为4 4，点，点M M到这两个定点的距到这两个定点的距离的平方和为离的平方和为1010，求点，求点M M的轨
10、迹方程。的轨迹方程。练习练习2 2：ABCABC一边的两个端点是一边的两个端点是B(0B(0，6)6)和和C(0C(0，-6)-6)，另，另两边斜率的积为两边斜率的积为4/94/9，求，求A A点的轨迹方程。点的轨迹方程。练习练习3 3：已知：已知O O为直角坐标系原点，为直角坐标系原点，M M为圆为圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3=3上的上的动点，试求动点，试求MOMO中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。xMyO(直接法直接法)(直接法直接法)(坐标转移法相关点坐标转移法相关点)课堂练习课堂练习小结小结作业作业1 1、求曲线的轨迹方程一般分、求曲线的轨迹方程一般分为几步？为几步？2
11、 2、求曲线的轨迹方程你会了、求曲线的轨迹方程你会了几种方法？几种方法？P37 AP37 A组组3 3题题 B B组组1 1题题 小结作业小结作业2.1 2.1 曲线与方程曲线与方程第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 曲线的方程和方程的曲线的概念：曲线的方程和方程的曲线的概念：在直角坐标系中，如果某曲线在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一上的点与一个二元方程个二元方程f(x,y)=0的实数解满足下列关系：的实数解满足下列关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.这个方程叫
12、做曲线的方程；这个曲线叫做这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线方程的曲线.复习回顾复习回顾（建系设点）（建系设点）2 2、写适合条件、写适合条件p p的点的点M M的集合的集合P=M|P(M)P=M|P(M)；（列式）（列式）3 3、用坐标表示条件、用坐标表示条件P(M)P(M)，列方程，列方程f(x,yf(x,y)=0)=0；4 4、化方程、化方程f(x,yf(x,y)=0)=0为最简形式；为最简形式；（化简）（化简）5 5、说明以此方程的解为坐标的点都在曲线上。、说明以此方程的解为坐标的点都在曲线上。1 1、根据已知建立合适的直角坐标系，并用有序实、根据已知建立合适的直角坐标系，
13、并用有序实数对数对(x,yx,y)表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M M的坐标；的坐标；求曲线的方程的一般步骤：求曲线的方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简建系、设点、列式、化简求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：练习练习1.BAB1.1.直接法直接法:动点运动的规律简单、明确，易于表达，可动点运动的规律简单、明确，易于表达，可将条件直接写成关于将条件直接写成关于“x,y”的关系式的关系式例例1长为长为2a（a是正常数）的线段是正常数）的线段AB的两端点的两端点A，B分别分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点中点 M的轨迹的轨迹变式：求平
14、面内到两个定点、变式：求平面内到两个定点、B的距离之比等于的动的距离之比等于的动点的轨迹方程点的轨迹方程 这个方法又叫相关点法或坐标转移法即利用动点这个方法又叫相关点法或坐标转移法即利用动点P(x,y)是定曲线是定曲线F(x,y)=0上的动点，另一动点上的动点，另一动点P(x，y)依赖于依赖于P(x,y)，那么可寻求关系式，那么可寻求关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程后代入方程F(x,y)=0中，得到动点中，得到动点P的轨迹方程的轨迹方程2.2.代入法代入法例例2:已知点已知点A(2，0)，点，点P在圆在圆x2+y2=1上，上，AP的中点为的中点为Q，求点求点Q的轨迹方程的轨迹
15、方程变式：变式：已知已知ABC，A(一一2，0)，B(0，一，一2)，第三个顶点，第三个顶点c在曲线在曲线y=3x2-1上移动，求上移动，求ABC的重心的轨迹方程的重心的轨迹方程3、参数法、参数法根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的坐标坐标x和和y，间接地把坐标，间接地把坐标x和和y联系起来，得到用参数表示联系起来，得到用参数表示的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程例例3 3 过原点的直线与圆过原点的直线与圆x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0相交于相交于A
16、 A、B B两点，求弦两点，求弦ABAB的中点的中点MM的轨迹方程。的轨迹方程。例例4 4 过原点的直线与圆过原点的直线与圆x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0相交于相交于A A、B B两点，求弦两点，求弦ABAB的中点的中点MM的轨迹方程。的轨迹方程。(参数法参数法)解：设过原点的直线为解：设过原点的直线为y=y=kxkx，弦，弦ABAB的中点的中点M(x,yM(x,y)把把y=y=kxkx代入代入x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0得：得：x x2 2+(kxkx)2 2-6x+5=0-6x+5=0即即:(1+k:(1+k2 2)x)x2 2-6x+5=
17、0-6x+5=0消去消去k k得：得：y y2 2=3x-x=3x-x2 2MM的轨迹方程为的轨迹方程为y y2 2=3x-x=3x-x2 2（x5/3x5/3）。）。又中点又中点MM在圆的内部，在圆的内部，例例4：在边长为：在边长为a的正方形的正方形ABCD中，中，AB、BC边上各有一边上各有一 个动点个动点Q、R，且，且|BQ|=|CR|，试求直线，试求直线AR与与DQ的的 交点交点P的轨迹方程的轨迹方程解析解析:建立直角坐标系后，注建立直角坐标系后，注意到意到|BQ|=|CR|，即，即|AQ|=|BR|而而P为两直线为两直线AR与与DQ的交点的交点因而应引进参数，用参数法求因而应引进参数
18、，用参数法求其轨迹方程其轨迹方程4、交轨法、交轨法在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再题，常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程消去参数求出所求轨迹的方程求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简 练习练习1 1：已知两定点：已知两定点ABAB的距离为的距离为4 4，点，点M M到这两个定点的距到这两个定点的距离的平方和为离的平方和为1010，求点，求点M M的轨迹方程。的轨迹方程。练习练习2 2：ABCABC一边的两个端点是一边的两个端点是B(0B(0，6)6)和和C(0C(0，-6)-6)，另，另两边斜率的积为两边斜率的积为4/94/9，求，求A A点的轨迹方程。点的轨迹方程。练习练习3 3：已知：已知O O为直角坐标系原点，为直角坐标系原点，M M为圆为圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3=3上的上的动点，试求动点，试求MOMO中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。xMyO(直接法直接法)(直接法直接法)(坐标转移法相关点坐标转移法相关点)课堂练习课堂练习