《第五章 方差分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章 方差分析.ppt（97页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第五章 方方 差差 分分 析析三峡大学化学与生命科学学院1西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.1 方差分析的概念和基本原理方差分析的概念和基本原理5.1.1 5.1.1 自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解5.1.2 5.1.2 F F分布与分布与分布与分布与F F测验测验测验测验三峡大学化学与生命科学学院2西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作 上章介绍了一个或两个样本平均数的假设测验方法。本章将介绍k(k3)个样本平均数的假设测验方法，即方差分析方差分析(analysis of variance)。这种方法的基本特点是：将所有将所有k
2、k个个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方和，进而获得不同变异来异来源的自由度和平方和，进而获得不同变异来源的总体方差估计值。源的总体方差估计值。3西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。三峡大学化学与生命科学学院多组数据平均数之间的差异显著性则需要通过方差分多组数据
3、平均数之间的差异显著性则需要通过方差分析来完成，方差分析可以同时推断多组数据平均数之析来完成，方差分析可以同时推断多组数据平均数之间的差异显著性，即检验假设间的差异显著性，即检验假设H0:u1=u2=.=ua。方差分析是推断多组数据平均数之间差异显著性的方差分析是推断多组数据平均数之间差异显著性的一种统计方法，它是一种统计方法，它是u检验或检验或 t检验的扩展。检验的扩展。方差分析分为单因素方差分析和多因素方差分析。方差分析分为单因素方差分析和多因素方差分析。4西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作（一一）实实验验因因素素：需需要要在在实实验验中中加加以以考考察察的的因因素素称称为实验因素。
4、为实验因素。（二）（二）水平水平：实验因素按照质或量的不同所划分的：实验因素按照质或量的不同所划分的若干个等级称为若干个等级称为水平水平。每一个等级称为一个水平。每一个等级称为一个水平。（举例）（举例）只考察一个因素的实验称为只考察一个因素的实验称为单因素实验单因素实验；同时考察；同时考察两个或两个以上因素的实验称为两个或两个以上因素的实验称为多因素实验多因素实验三峡大学化学与生命科学学院5西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.1.1 自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解 方差方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方
5、和分解为各个必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分变异来源的相应部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。下面我们首先用一个例子来说明这一问题。三峡大学化学与生命科学学院6西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作例5.1以A、B、C、D4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，试分解其自由度和平方和。药剂苗高观察值总和Ti平均数 A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T=336=21三峡大学化学与生命科学学院7西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作1 1、总变异、总变异 把
6、表中的全部观察值作为一个组看待即把4个处理(4组、每组有4个观察值)合并成一组，共有24个观察值，根据前面讲过的计算平方和的公式，可以计算出总变异的平方和和自由度三峡大学化学与生命科学学院8西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作自由度DFT=nk-1=44-1=15。表中的每一个观察值，即包括有处理的效应(不同药剂对苗高的影响)又受到误差的影响。其中：称为矫正数矫正数，用C表示。三峡大学化学与生命科学学院9西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作2 2、误差效应、误差效应表中处理内(组内)各观察值之间，若不存在误差，则各观察值应该相等，由于误差是客观存在的，因而处理内(组内)各观察值之间必然
7、是有差异的，因此，可以用组内(处理内)的差异度量误差效应：三峡大学化学与生命科学学院10西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作药剂A内：药剂B内：药剂C内：药剂D内：三峡大学化学与生命科学学院11西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作从理论上讲，这4个误差平方和除以相应的自由度得的误差均方都可以作为总体误差方差的无偏估计值。但是，用它们的加权平均值来估计总体误差方差，则效果更佳。所以：每个组内(处理内)的自由度为：n-1=4-1=3,三峡大学化学与生命科学学院12西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作所以误差的自由度为：DFe=k(n-1)=4(4-1)=123 3、处理效应、处理效应如
8、果没有处理效应，表中各个处理(组)平均数来度量处理效应。从理论上讲均应该相等，因此可以用三峡大学化学与生命科学学院13西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作需要注意的是，系样本平均数的方差，为了进行正确的F 测验，必须使它们都是估的估值，而则是是的估值。因而，处理(组间)平方和计同一参数应为：三峡大学化学与生命科学学院14西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院15西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作本例中 平方和：602=504+98自由度：15=3+12因此误差平方和可以采用简单的办法计算SSe=SST-SSt=602-504=98。进而可得均方：三峡大学化
9、学与生命科学学院16西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作平方和与自由度的分解归纳为下表变异来源DFSSMS处理间(组间)k-1MSt误差(组内)k(n-1)MSe总变异kn-1将上述例子推广到一般，设有k组数据，每组皆具n个观察值，则资料共有nk个观察值，其数据分组如表6.1(P99)。三峡大学化学与生命科学学院17西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.1.2 F分布与分布与F测验测验一、一、F F 分布分布 在一个平均数为、方差为2的正态总体中随机抽取两个独立样本，分别求得和，将和的比值定义为F：其均方三峡大学化学与生命科学学院18西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作按上述方法
10、从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F值而作成一个F分布。它是具平均数F=1和取值区间为0,的一组曲线；而某一特定曲线的形状仅决定于参数1和2。F分布下一定区间的概率可从已制成的统计表中查出。附表5给出了各种1和2下右尾概率=0.05和=0.01三峡大学化学与生命科学学院19西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作二、二、F F 测验测验 在方差分析的体系中，F测验可用于检测某项变异因素的效应或方差是否存在。所以在计算F值时，总是将要测验的那一项变异因素的均方作分子，而以另一项变异(如误差项)作分母。时的临界F 值。其值是专供测验的总体方是否显著大于的总体方差差而设计的(H0：对HA：
11、)。三峡大学化学与生命科学学院20西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作F测验需具备的条件：(1)变数y遵循N(，2)；例6.3 在例6.1中算得药剂间均方=168.00，药剂内均方=8.17，具有自由度1=3，2=12。试测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？假设H0：对HA：=0.05和彼此独立。(2)三峡大学化学与生命科学学院21西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作查附表5在1=3，2=12时 F0.05=3.49，F0.01=5.95实得F F0.01 P0.01测验计算：三峡大学化学与生命科学学院22西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作将例6.1和例6.3的分析结果归纳在一
12、起，列出方差分析表如下：变异来源DFSSMSF显著F值药剂处理间3504168.0020.56F0.05=3.49药剂处理内(误差)12988.17F0.01=5.95总变异15602水稻药剂处理苗高方差分析表推断：否定H0：，接受HA：三峡大学化学与生命科学学院23西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.2 多重比较多重比较5.2.1 5.2.1 最小显著差数法最小显著差数法最小显著差数法最小显著差数法5.2.2 5.2.2 q q法法法法:DucanDucan法，法，法，法，LSRLSR法法法法5.2.3 5.2.3 新复极差法新复极差法新复极差法新复极差法5.2.4 5.2.4 多重
13、比较方法的选择多重比较方法的选择多重比较方法的选择多重比较方法的选择三峡大学化学与生命科学学院24西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.2.1 最小显著差数法最小显著差数法最小显著差数法最小显著差数法(least significant differrence，简称LSD法)三峡大学化学与生命科学学院25西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作例6.4 试以LSD法测验各种药剂处理的苗高平均数之间的差异显著性。由附表4，=12时，t0.05=2.179,t 0.01=3.055故 LSD0.05=2.1792.02=4.40(cm)LSD0.01=3.0552.02=6.17(cm)三峡
14、大学化学与生命科学学院26西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作处理苗高平均数差异显著性0.050.01D29B23A18C14不同药剂处理水稻苗高平均数比较(LSD法)abccAABBCC三峡大学化学与生命科学学院27西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.2.2 q 法法,Ducan法，法，LSR法法 q q 测验方法测验方法是将k个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差LSR值的。三峡大学化学与生命科学学院28西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作例6.5 试以q法测验各种药剂处理的苗高平均数之间的差异显著性。查附表7，得到
15、当DF=12时，p=2,3,4的q值三峡大学化学与生命科学学院29西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作LSR值Pq 0.05q 0.01LSR0.05LSR0.0123.084.324.406.1833.775.045.397.2144.205.506.017.87处理苗高平均数差异显著性0.050.01D29aAB23 b ABA18 c BCC14 c C不同药剂处理水稻苗高平均数比较(q法)三峡大学化学与生命科学学院30西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.2.3 新复极差法新复极差法 新复新复极差法极差法，又称最短显著极差法(shortest significant rang
16、e)，与q法相似。计算LSR值查的是SSR值(附表6)而不是q表。LSRLSR 值值PSSR 0.05SSR 0.01LSR0.05LSR0.0123.084.324.406.1833.234.554.626.5143.334.684.766.69三峡大学化学与生命科学学院31西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.2.4 多重比较方法的选择多重比较方法的选择1、试验事先确定比较的标准，凡是与对照相比较，或与预定要比较的对象比较，一般可选用最小显著差数法；2、根据否定一个正确的H0和接受一个不正确的H0的相对重要性来决定。三峡大学化学与生命科学学院32西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制
17、作方差分析的基本步骤：方差分析的基本步骤：（1）分解平方和与自由度；（2）F测验；（3）平均数的多重比较。三峡大学化学与生命科学学院33西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.3 方差分析的线性模型与期望均方方差分析的线性模型与期望均方5.3.1 5.3.1 方差分析的线性数学模型方差分析的线性数学模型方差分析的线性数学模型方差分析的线性数学模型5.3.2 5.3.2 期望均方期望均方期望均方期望均方三峡大学化学与生命科学学院34西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.3.1 方差分析的线性数学模型方差分析的线性数学模型 方差分析是建立在一定的线性可加模型的基础上的。所谓线性可加模型是
18、指总体每一个变量可按其变异的原因分解成若干个线性组成部分，它是方差分析的基础。三峡大学化学与生命科学学院35西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作表6.1数据的线性模型可表示为：式中，为总体平均数，i为试验处理效应，ij为随机误差具有N(0，2)。三峡大学化学与生命科学学院36西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作 在以样本符号表示时，样本的线性组成为：是的无偏估计值，三峡大学化学与生命科学学院37西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院38西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.3.2 期望均方期望均方 在线性可加模型中，由于对i有不同解释产生了固定模型(I
19、)和随机模型(II)。一、固定模型一、固定模型(fixed model(fixed model)指试验的各处理都抽自特定的处理总体，其处理效应i=(i-)是一个固定的常量，我们的目的就在于研究i，所测验的假设是H0：i=0或H0：i=。三峡大学化学与生命科学学院39西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作一般的栽培和饲养试验，如肥料试验、药效试验、密度试验、饲料试验、品种试验等均属于固定模型。例以5个水稻品种作大区比较试验，每品种作3次取样，测定其产量，所得数据为单向分组资料。本试验需明确各品种的效应，故为固定模型，方差分析和期望均方的参数列入下表：三峡大学化学与生命科学学院40西南科技大学生
20、命科学与工程学院周海廷制作5个水稻品种产量的方差分析与期望均方表变异来源DFSSMS期望均方（EMS）：固定模型品种间品种内41087.624.021.92.40固定模型的处理效应（本例为品种效应）i属于固定效应，固定效应的方差用表示。固定模型的F测验三峡大学化学与生命科学学院41西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作二、随机模型二、随机模型(random model)(random model)指试验中的各处理皆是抽自N(0，)的一组随机样本，因而处理效应i是随机的，它会因试验的不同而不同；故我们的目的不在于研究i而在于研究i的变异度。随机模型在遗传、育种和生态的研究试验方面有较广泛的用处
21、。三峡大学化学与生命科学学院42西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作例研究籼粳杂交F5代系间单株干草重的遗传变异，随机抽取76个系进行试验，每系随机取2个样品测定干草重（g/株）。因这76个系是随机抽取的样本，要从这些样本来估计F5代系间单株干草重的遗传变异，故这是随机模型。其方差分析的结果如下：变异来源DFMS期望均方（EMS）：固定模型系统间系统内757672.7917.77三峡大学化学与生命科学学院43西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作随机模型的F 测验本例中系统内 MS 估计了2，因而；系统间MS估计了因而三峡大学化学与生命科学学院44西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
22、这是测验处理效应的变异度，而不是测验处理效应本身。本例F72.79/17.77=4.09F0.05，说明单株干草重存在遗传变异。三峡大学化学与生命科学学院45西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.4 单向分组资料的方差分析单向分组资料的方差分析5.4.1 5.4.1 组内观察值数目相等的单向分组内观察值数目相等的单向分组内观察值数目相等的单向分组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析组资料的方差分析组资料的方差分析组资料的方差分析5.4.25.4.2组内又分亚组的单向分组资组内又分亚组的单向分组资组内又分亚组的单向分组资组内又分亚组的单向分组资料的方差分析料的方差分析料的方差分析料的方
23、差分析三峡大学化学与生命科学学院46西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.4.1 组内观察值数目相等的单向分组资料的方组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析差分析每组具n个观察值的k组数据的符号表组别观察值(yij,i=1,2,k;j=1,2,n)总和 平均 均方1y11y12y1jy1nT12y21y22y2jy2nT2：iyi1yi2yijyinTi：kyk1yk2ykjyknTk T=yij=y 三峡大学化学与生命科学学院47西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作 变 异 来 源自由度DF平方和SS均方MSF期望均方EMS固定模型随机模型处理间k-1误 差 k(n-1)总变异
24、nk-1组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析三峡大学化学与生命科学学院48西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.4.2组内又分亚组的单向分组资料的方差分析组内又分亚组的单向分组资料的方差分析组别亚组观察值亚组总和Tij亚组均数组总和Ti组均数1：T12：T2：i1yi11yi12yi1kyi1nTi1Ti2yi21yi22yi2kyi2nTi2：jyij1yij2yijkyijnTij：myim1yim2yimkyimnTim：lTi三峡大学化学与生命科学学院49西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作 设一系统分组资料共有l组，每组内有m个亚组，每一亚组内有n个观察值，则该资料共
25、有lmn个观察值。其观察值的线性模型为：将该线性模型变型得：三峡大学化学与生命科学学院50西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作等式的左边是总效应，它是由右边的(1)组间变异；(2)同一组内亚组间变异；(3)同一亚组内各重复观察值间的变异所构成。其自由度和平方和的估计如下：1、总变异自由度DFT=lmn-1三峡大学化学与生命科学学院51西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作2、组间(处理间)变异 自由度DFt=l-13、同一组内亚组间的变异 自由度三峡大学化学与生命科学学院52西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作4、亚组内变异 自由度三峡大学化学与生命科学学院53西南科技大学生命科学与
26、工程学院周海廷制作二级系统分组资料的方差分析变异来源DFSSMSF期望均方(EMS)混合模型随机模型组间l-1组内亚组间l(m-1)亚组内 lm(n-1)总变异lmn-1三峡大学化学与生命科学学院54西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作例6.12在温室内以4种培养液(l=4)培养某种作物，每种3盆(m=3)，每盆4株(n=4)，一个月后测定其株高生长量(mm),结果如下表，试作方差分析。培养液ABCD总和盆号A1A2A3B1B2B3C1C2C3D1D2D3生长量50354550555585657060606555354045604560707055856540304050506590807
27、0354585354050455055856570707575盆总和Tij180140175190215220320280280220265290T=2725培养液总和Ti495625880775培养液平均41.352.173.364.6三峡大学化学与生命科学学院55西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作一、自由度和平方和分解一、自由度和平方和分解总自由度DFT=lmn-1=(434)-1=47培养液间自由度DFt=l-1=4-1=3培养液内盆间自由度DFe1=l(m-1)=4(3-1)=8盆内株间自由度DFe2=lm(n-1)=43(4-1)=36三峡大学化学与生命科学学院56西南科技大学
28、生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院57西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院58西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作2 2、培养液间差异培养液间差异二、二、F F 测验测验1 1、盆间差异、盆间差异假设H0：，求得：F=157.81/89.06=1.77此F值小于1=8,2=36 F0.05=2.22,所以接受H0假设，求得：三峡大学化学与生命科学学院59西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作推断：该试验同一培养液内盆间的生长量无显著差异；而不同培养液间的生长量有极显著的差异。F=2375.25/157.81=15.05此F值大于1=3,2
29、=8F0.01=7.59,故否定，接受。三峡大学化学与生命科学学院60西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作变异来源DFSSMSFF0.05F0.01培养液间37126.562375.5215.054.077.59培养液内盆间81262.50157.811.772.223.04盆内株间363206.2589.06总变异4711595.31方差分析表三峡大学化学与生命科学学院61西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三、各培养液平均数间的比较三、各培养液平均数间的比较pSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.264.7411.8317.2133.395.0012.311
30、8.1543.475.1412.6018.664种培养液的LSR值(新复极差测验)三峡大学化学与生命科学学院62西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作4种培养液植株生长量(mm)的差异显著性培养液平均生长量差异显著性0.050.01C73.3aAD64.6a ABB52.1 b BC A41.3 b C三峡大学化学与生命科学学院63西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.5 两向分组资料的方差分析两向分组资料的方差分析5.5.1 5.5.1 组合内只有单个观察值的两向组合内只有单个观察值的两向组合内只有单个观察值的两向组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析分组资料的方差分析分组资料
31、的方差分析分组资料的方差分析5.5.2 5.5.2 组合内有重复观察值的两向组合内有重复观察值的两向组合内有重复观察值的两向组合内有重复观察值的两向分组资料的方差分析分组资料的方差分析分组资料的方差分析分组资料的方差分析三峡大学化学与生命科学学院64西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.5.1 组合内只有单个观察值的两向分组资组合内只有单个观察值的两向分组资料的方差分析料的方差分析设有A和B两个因素，A因素有a个水平，B因素有b个水平，每一处理组合仅有一个观察值，则全试验共有ab个观察值，其资料类型如下表：A因素B因素TiB1B2BbA1y11y12y1bT1.A2y21y22y2bT2
32、.：Aaya1ya2yabTa.T.jT.1T.2T.bT.三峡大学化学与生命科学学院65西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作观察值的线性模型为：因此，总变异可分解成A因素效应、B因素效应和误差效应三个部分。其自由度和平方和的分解如下表：变异来源DFSSMSF混合模型EMS(A固定，B随机)A因素a-1B因素b-1误 差(a-1)(b-1)总变异ab-1三峡大学化学与生命科学学院66西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作注意：这种类型资料，其误差项是误差与互作的混合项。因此只有AB不存在互作时，才能正确估计误差。另外，为提高试验的精确性。误差自由度不能小于12。三峡大学化学与生命科学学院
33、67西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作例5.13采用5种生长素处理豌豆，未处理为对照，待种子发芽后，分别每盆中移植4株，每组6盆，每盆一个处理，试验共有4组24盆，并按组排列于温室中，使同组各盆的环境条件一致。当务盆见第一朵花时记录4株豌豆的总节间数，结果见下表，试作方差分析。三峡大学化学与生命科学学院68西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作处理（A）组（B）总和Ti.平均IIIIIIIV未处理（CK）6062616024360.8赤霉素6565686526365.8动力精6361616024561.3吲哚乙酸硫酸腺嘌呤马来酸64626167656263626261646525525
34、325063.863.362.5总和T.j375382377375T1509三峡大学化学与生命科学学院69西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作(1)自由度和平方和的分解三峡大学化学与生命科学学院70西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作变异来源DFSSMSFF0.05F0.01组间35.451.821处理间565.8713.174.562.904.56误差1543.302.89总变异23114.62方差分析表（2）F测验组间效应：假设F1.48/2.89 1三峡大学化学与生命科学学院71西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作推断：组间环境条件无显著差异，不同生长素处理有显著差异。处理间
35、效应：假设F13.17/2.89=4.56（3）处理间比较此例有预先指定的对照，故用LSD 法。三峡大学化学与生命科学学院72西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作查得15时，t0.05=2.131，t0.01=2.947LSD0.05=1.2022.131=2.56,LSD0.01=1.202 2.947=3.54处理平均数与对照的差数对照（CK）赤霉素动力精吲哚乙酸硫酸腺嘌呤马来酸60.865.861.363.863.362.55.0*0.53.0*2.51.7三峡大学化学与生命科学学院73西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5.5.2 组合内有重复观察值的两向分组资料的组合内有重复
36、观察值的两向分组资料的方差分析方差分析 设有A、B两个试验因素，A因素有a 个水平，B因素有b个水平，共有ab个处理组合，每个组合有n个观察值，则该资料共有abn个观察值。如果试验按完全随机设计，则其资料类型如下表：三峡大学化学与生命科学学院74西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作A因素B因素总和Ti.平均B1B2BbA1y111y121y1b1T1.y112y122y1b2y11ny12ny1bnTij.T11.T12.T1b.A2y211y221y2b1T2.y212y222y2b2y21ny22ny2bnTij.T21.T22.T2b.Aaya11ya21yab1Ta.ya12ya2
37、2yab2ya1nya2nyabnTij.Ta1.Ta2.Tab.T.j.T.1.T.2.T.b.T.三峡大学化学与生命科学学院75西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作线性模型为：各变异来源的自由度和平方和的估计为：变异来源DFSSMS处理组合ab-1 A因素a-1 B因素b-1 AB互作(a-1)(b-1)试验误差ab(n-1)总变异abn-1三峡大学化学与生命科学学院76西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作例6.14施用A1、A2、A33种肥料于B1、B2、B33种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合种3盆，得产量结果(g)如下表，试作方差分析。变异来源MS期望均方(EMS)固定模型
38、随机模型混合模型(A随机、B固定)A因素B因素AB互作试验误差期望均方三峡大学化学与生命科学学院77西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作肥料种类(A)盆土壤种类(B)总和Ti.平均B1(油沙)B2(二合)B3(白僵)A1121.419.617.6169.218.8221.218.816.6320.116.417.5Tij.62.754.851.7A2112.013.013.3118.213.1214.213.714.0312.112.013.9Tij.38.338.741.2A3112.814.212.0122.013.6213.813.614.6313.713.314.0Tij.40.3
39、41.140.6总和T.j.141.3134.6133.5T=409.4平均15.715.014.8三峡大学化学与生命科学学院78西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作1、自由度和平方和的分解三峡大学化学与生命科学学院79西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作2、F 测验将上述结果及自由度录于方差分析表中，以固定模型作F测验三峡大学化学与生命科学学院80西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作变异来源DFSSMSFF0.01处理8202.5825.2227.283.71肥料间2179.3889.6996.656.01土类间23.961.982.136.01 肥料土类419.244.815.
40、184.58试验误差1816.700.928总变异26219.28三峡大学化学与生命科学学院81西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作3、平均数的比较(1)各处理组合平均数的比较p23456789SSR0.052.973.123.213.273.323.353.373.39SSR0.014.074.274.384.464.534.594.644.68LSR0.051.651.731.781.821.851.861.871.88LSR0.012.262.372.442.482.522.552.582.60各处理组合平均数的LSR值三峡大学化学与生命科学学院82西南科技大学生命科学与工程学院周海
41、廷制作各处理平均数的新复极差测验各处理平均数的新复极差测验处理组合平均数(g)差异显著性0.050.01A1B120.9aAA1B218.3 b BA1B317.2 b BA2B313.7 c CA3B213.7 c CA3B313.5 c CA3B113.4 c CA2B212.9 c CA2B112.8 c C三峡大学化学与生命科学学院83西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作(2)各肥类平均数的比较pSSR 0.05SSR 0.01LSR 0.05LSR 0.0122.974.070.951.3033.124.271.001.37肥料种类平均数差异显著性0.050.01A118.8aA
42、A313.6 b BA213.1 b B肥类平均数的LSR测验三峡大学化学与生命科学学院84西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院总结：两因素方差分析总结：两因素方差分析假设有假设有A、B两个实验因素，两个实验因素，A因素有因素有a个水平，个水平，B因素有因素有b个水平，个水平，A因素的因素的a个水平和个水平和B因素的因素的b个水平交叉配合，共构成个水平交叉配合，共构成ab个水平个水平组合（处理），每一水平组合重复组合（处理），每一水平组合重复n次，这样的实验设计称为两次，这样的实验设计称为两因素交叉分组设计。因素交叉分组设计。线性统计模型线性统计模型 固定模型固定
43、模型：A、B两因素均为固定因素（因素的各水平是经过特两因素均为固定因素（因素的各水平是经过特意选定的）。意选定的）。随机模型：随机模型：A、B两因素均为随机因素（因素的各水平是从该因两因素均为随机因素（因素的各水平是从该因素水平总体中随机抽取的）素水平总体中随机抽取的）。混合模型：混合模型：A、B两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。85西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作1主效应主效应:由于某个实验因素水平的改变使实验指标由于某个实验因素水平的改变使实验指标的观测值增大或减小的作用，称为该因素的主效应。的观测值增大或减小的作用，称为该因素的主
44、效应。例如例如:研究研究A、B两种肥料配合使用的实验两种肥料配合使用的实验:A1(不施不施A),),A2（施（施A）；）；B1（不施不施B），），B2（施（施B）。）。A1 A2 B1 18 24B2 38 44 A因素在因素在B1水平上的效应水平上的效应 A2B1A2B1A1B1A1B1242418186 6 A因素在因素在B2水平上的效应水平上的效应 A2B2A2B2A1B2A1B2444438386 6 A因素的主效应因素的主效应 =或：或：同理：同理：B B因素的主效应：因素的主效应：主效应和交互作用主效应和交互作用 三峡大学化学与生命科学学院86西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制
45、作三峡大学化学与生命科学学院2交互作用交互作用：两个因素之间的相互促进或抑制的作用：两个因素之间的相互促进或抑制的作用称为交互作用。若一个因素在另一个因素的不同水平称为交互作用。若一个因素在另一个因素的不同水平上所产生的效应不同，则称它们之间存在交互作用。上所产生的效应不同，则称它们之间存在交互作用。例如：例如：A1 A2 B1 18 28B2 30 32 A因素在因素在B1水平上的效应水平上的效应 A2B1A1B1281810 A因素在因素在B2水平上的效应水平上的效应 A2B2A1B222308 可见，可见，A因素的效应依因素的效应依B因素水平的变化而发生变化，因素水平的变化而发生变化，故
46、故A、B间存在交互作用。间存在交互作用。交互作用值的计算：交互作用值的计算：AB（A1B1A2B2）（）（A1B2A2B1）40581887西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院交互作用的判断：交互作用的判断：当（当（A1B1A2B2）（）（A1B2A2B1）时，时，A、B间不存在交互作用。间不存在交互作用。当（当（A1B1A2B2）（A1B2A2B1）时，时，A、B间存在交互作用。间存在交互作用。例如：例如：在例在例1中：中：A1B1A2B262，A1B2A2B162，因此因此A、B间不存在交互作用。间不存在交互作用。在例在例2中：中：A1B1A2B240，A1B
47、2A2B158，因此因此A、B间存在交互作用。间存在交互作用。88西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院两因素交叉分组设计方差分析要解决的问题：两因素交叉分组设计方差分析要解决的问题：1 1、检验、检验A因素不同水平间的差异显著性；因素不同水平间的差异显著性；2、检验、检验B因素不同水平间的差异显著性；因素不同水平间的差异显著性；3、检验、检验AB互作的显著性；互作的显著性；4、选出、选出A、B两个因素的最佳水平组合。两个因素的最佳水平组合。89西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院实例实例 为了从为了从3种不同原料和种不同原料和3种不同
48、发酵温度中，选出最适宜的条件，设计种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素实验，结果见下表。在这个实验中，温度和原料都是固定因素，了一个两因素实验，结果见下表。在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一水平组合重复每一水平组合重复4次。按固定模型进行方差分析。次。按固定模型进行方差分析。原料种类原料种类A 温度温度B 总和总和xi.30 35 40 1411162831913222325262524182474384085938225033184036143435530473353833534726504419总总 和和 x.j.515407242116490西南科技大学生命科学与
49、工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院方差分析过程如下：方差分析过程如下：1 1、数据整理数据整理原料种类原料种类A 温度温度B 总和总和xi.30 35 40 113873722832196150624083181184108473总总 和和x.j.51540724211642、计算平方和与自由度、计算平方和与自由度 91西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作三峡大学化学与生命科学学院将自由度直接填入方差分析表中。将自由度直接填入方差分析表中。3、列方差分析表列方差分析表 3种原料与种原料与3种温度两因素实验的方差分析表种温度两因素实验的方差分析表 变差来源变差来源 平方和平方和 自
50、由度自由度 均方均方 F F0.05 F0.01 原料原料 A 1554.17 2777.09 12.667*3.369 5.528 温度温度 B 3150.50 21575.25 25.676*3.369 5.528 AB 808.83 4202.21 3.296*2.743 4.142 误误 差差 1656.50 27 61.35 总总 和和 7170.00 35 结论：结论：在不同原料和不同温度下，酒精产量的差异均达到极在不同原料和不同温度下，酒精产量的差异均达到极显著，并且原料与温度之间的互作达到显著。显著，并且原料与温度之间的互作达到显著。92西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作