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1、时域离散信号和时域离散系统第 1 章1.4习题与上机题解答习题与上机题解答1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。题1图时域离散信号和时域离散系统第 1 章解：x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号：2n+54n160n40 其它(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3）令x1(n)=2x(n2)，试画出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；（
2、5）令x3(n)=x(2n)，试画出x3(n)波形。解解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。(5)画x3(n)时，先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。时域离散信号和时域离散系
3、统第 1 章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第 1 章3 判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。(1)(2)解解：（1）因为=,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。（2）因为=,所以=16,这是无理数，因此是非周期序列。时域离散信号和时域离散系统第 1 章4 对题1图给出的x(n)要求：(1)画出x(n)的波形；(2)计算xe(n)=x(n)+x(n)，并画出xe(n)波形；(3)计算xo(n)=x(n)x(n)
4、，并画出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1）x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2)将x(n)与x(n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。(3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章(4)很容易证明：x(n)=
5、x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。5 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)（2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 （4）y(n)=x(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=（8）y(n)=x(n)sin(n)解解：（1）令输入为x(nn0)输出为 y
6、(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章故该系统是非时变系统。因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2）令输入为x(nn0)
7、输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n
8、)+bTx2(n)故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(4)y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（5）y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n)=ax21(
9、n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（6）y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（7）y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线
10、性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（8）y(n)=x(n)sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)sin(n)y(nn0)=x(nn0)sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)sin(n)+bx2(n)sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章6 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）y(n)=x(nk)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(nn0)（5）y(n)=ex(n)时域离
11、散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x(n)|M，则|y(n)|M，因此系统是稳定系统。（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M,则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M,因此系统是稳定系统。（3）如果|x(n)|M，则|y(n)|x(k)|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n00，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（4）假设n00，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关
12、。如果|x(n)|M,则|y(n)|M，因此系统是稳定的。（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|M,则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM，因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。解解：解法（一）采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)时域离散信号和时域离散系统第 1 章题7图时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5时域离散信号和时域离散系统第 1 章解法（二）采用解
13、析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式，得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5)时域离散信号和时域离散系统第 1 章8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出
14、y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)解解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm)先确定求和域。由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mn时域离散信号和时域离散系统第 1 章根据非零区间，将n分成四种情况求解：n7时，y(n)=0时域离散信号和时域离散系统第 1 章最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。(2)y(n)=2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2)=2
15、(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章题8解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题8解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3)y(n)=x(n)*h(n)=R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4,mn n0时，y(n)=0 0n4时，时域离散信号和时域离散系统第 1 章=(10.5n1)0.5n=20.5n n5时最后写成统一表达式：y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)时域离散信号和时域离散系统第 1 章9 证明
16、线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：（1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2）x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3）x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明：（1）因为令m=nm,则时域离散信号和时域离散系统第 1 章(2)利用上面已证明的结果，得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章交换求和号的次序，得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系统的输入x(n)是一些观测数据，设x(n)=x0,x1,x2,xk,，试利用递推法
17、求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：n=0时，n0n=1时，时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=2时，最后得到11 设系统由下面差分方程描述：设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：令x(n)=(n),则n=0时，n=1时，时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=2时，n=3时，归纳起来，结果为时域离散信号和时域离散系统第 1 章12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。解解：分析的方法是让系统输入分别为
18、(n)、(n1)、(n)+(n1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。（1）令x(n)=(n),这时系统的输出用y1(n)表示。该情况在教材例1.4.1 中已求出，系统的输出为y1(n)=anu(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章(2)令x(n)=(n1)，这时系统的输出用y2(n)表示。n=0时，n=1时，n=2时，任意 n 时，时域离散信号和时域离散系统第 1 章最后得到(3)令x(n)=(n)+(n1),系统的输出用y3(n)表示。n=0时，n=1时，n=2时，时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=3时，任意 n 时，最后得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章
19、由（1）和（2）得到y1(n)=T(n),y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此y3(n)=T(n)+(n1)。观察y1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y3(n)=y1(n)+y2(n)，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n),0a1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)，式中，f=20 Hz,j=/2。（1）求出xa(t)的周期；（2）用采样间隔
20、T=0.02 s对xa(t)进行采样，试写出采样信号 的表达式；（3）画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解解：（1）xa(t)的周期为时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2）（3）x(n)的数字频率=0.8，故，因而周期N=5，所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题13解图时域离散信号和时域离散系统第 1 章14.已知滑动平均滤波器的差分方程为（1）求出该滤波器的单位脉冲响应；（2）如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y(n)并画出它的波形。解：（1）将题中差分方程
21、中的x(n)用(n)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中x(k)不动，h(k)反转后变成h(k)，h(nk)则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h(nk)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。时域离散信号和时域离散系统第 1 章时域离散信号和时域离散系统第 1 章15*.已知系统的差分方程
22、和输入信号分别为用递推法计算系统的零状态响应。解：求解程序ex115.m如下：%程序ex115.m%调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1，2，3，4，2，1，zeros(1，10)；%x(n)=单位脉冲序列，长度N=31B=1，0，2；A=1，0.5；%差分方程系数时域离散信号和时域离散系统第 1 章yn=filter(B，A，xn)%调用filter解差分方程，求系统输出信号y(n)n=0：length(yn)1；subplot(3，2，1)；stem(n，yn，.)；axis(1，15，2，8)title(系统的零状态响应)；xlabel(n
23、)；ylabel(y(n)程序运行结果：时域离散信号和时域离散系统第 1 章yn=1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043-0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题15*解图时域离散信号和时域离散系统第 1 章16*.
24、已知两个系统的差分方程分别为 （1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n)（2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。解解：（1）系统差分方程的系数向量为B1=1，A1=1，0.6，0.08（2）系统差分方程的系数向量为B2=2，0，1,A2=1，0.7，0.1时域离散信号和时域离散系统第 1 章调用MATLAB函数filter计算两个系统的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应的程序ex116.m如下：%程序ex116.mB1=1；A1=1，0.6，0.08；%设差分方程（1）系数向量B2=2，0，1；A2
25、=1，0.7，0.1；%设差分方程（2）系数向量%=%系统1xn=1，zeros(1，30)；%xn=单位脉冲序列，长度N=31xi=filtic(B1，A1，ys)；%由初始条件计算等效初始条件输入序列xi时域离散信号和时域离散系统第 1 章hn1=filter(B1，A1，xn，xi)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号hn1n=0：length(hn1)-1；subplot(3，2，1)；stem(n，hn1，.)title(a)系统1的系统单位脉冲响应)；xlabel(n)；ylabel(h(n)xn=ones(1，30)；%xn=单位阶跃序列，长度N=31sn1=filte
26、r(B1，A1，xn，xi)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号sn1n=0：length(sn1)1；subplot(3，2，2)；stem(n，sn1，.)时域离散信号和时域离散系统第 1 章itle(b)系统1的单位阶跃响应)；xlabel(n)；ylabel(s(n)%=%系统2xn=1，zeros(1，30)；%xn=单位脉冲序列，长度N=31xi=filtic(B2，A2，ys)；%由初始条件计算等效初始条件输入序列xihn2=filter(B2，A2，xn，xi)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号hn2n=0：length(hn2)1；subplot(3，2
27、，5)；stem(n，hn2，.)时域离散信号和时域离散系统第 1 章title(a)系统2的系统单位脉冲响应)；xlabel(n)；ylabel(h(n)xn=ones(1，30)；%xn=单位阶跃序列，长度N=31sn2=filter(B2，A2，xn，xi)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号sn2n=0：length(sn2)1；subplot(3，2，6)；stem(n，sn2，.)title(b)系统2的单位阶跃响应)；xlabel(n)；ylabel(s(n)程序运行结果如题16*解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题16*解图时域离散信号和时域离散系统第 1
28、 章17*.已知系统的差分方程为y(n)=a1y(n1)a2y(n2)+bx(n)其中,a1=0.8,a2=0.64,b=0.866。（1）编写求解系统单位脉冲响应h(n)(0n49)的程序，并画出h(n)(0n49)；（2）编写求解系统零状态单位阶跃响应s(n)(0n100）的程序，并画出s(n)(0n100）。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程序ex117.m如下：%程序ex117.m%调用filter解差分方程，求系统单位脉冲响应和单位阶跃响应B=0.866；A=1，0.8，0.64；%差分方程系数向量%=%（1）求解系统单
29、位脉冲响应，并画出h(n)xn=1，zeros(1，48)；%xn=单位脉冲序列，长度N=31时域离散信号和时域离散系统第 1 章hn=filter(B1，A1，xn)；%调用filter解差分方程，求系统输出信号hnn=0：length(hn)1；subplot(3，2，1)；stem(n，hn，.)title(a)系统的单位脉冲响应)；xlabel(n)；ylabel(h(n)%=%（2）求解系统单位阶跃响应，并画出h(n)xn=ones(1，100)；%xn=单位阶跃序列，长度N=100时域离散信号和时域离散系统第 1 章sn=filter(B，A，xn)；%调用filter解差分方程，
30、求系统单位阶跃响应snn=0：length(sn)1；subplot(3，2，2)；stem(n，sn，.)；axis(0，30，0，2)title(b)系统的单位阶跃响应)；xlabel(n)；ylabel(s(n)%=程序运行结果如题17*解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题17*解图时域离散信号和时域离散系统第 1 章18*.在题18*图中，有四个分系统T1、T2、T3和T4，四个分系统分别用下面的单位脉冲响应或者差分方程描述：时域离散信号和时域离散系统第 1 章题18*图编写程序计算整个系统的单位脉冲响应h(n),0n99。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：由题18
31、*图可知，可以采用以下步骤计算整个系统的单位脉冲响应h(n)。设x(n)=(n)，则v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)该式调用conv函数计算。h(n)=T4v(n)该式调用filter函数计算。调用MATLAB函数conv和filter计算该系统的系统响应的程序ex118.m如下：时域离散信号和时域离散系统第 1 章%程序ex118.m%调用conv和filter求总系统单位脉冲响应序列h1n=1，1/2，1/4，1/8，1/16，1/32；%对h1n赋值 h2n=ones(1，6)；h3n=1/4，1/2，1/4，zeros(1，97)；%计算v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)h12n=conv(h1n，h2n)；h12n=h12n，zeros(1，89)；vn=h12n+h3n；时域离散信号和时域离散系统第 1 章%调用filer计算hn等于T4对vn响应B4=1，1；A4=1，-0.9，0.81；hn=filter(B4，A4，vn)；%以下为绘图部分n=0：length(hn)-1；subplot(2，1，1)；stem(n，hn，.)xlabel(n)；ylabel(h(n)程序运行结果如题18*解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题18*解图