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1、1科学研究的结果和数据处科学研究的结果和数据处理理主讲：主讲：林林建建联系电话：联系电话：15105178268Email：2第第1节节试验数据的误差分析试验数据的误差分析 试试验验的的目目的的是是获获得得规规律律，规规律律的的表表现现形形式式在在于数据于数据误差存在的客观性误差存在的客观性 误差范围的可控性和数据的可靠性误差范围的可控性和数据的可靠性本章的主要内容：本章的主要内容：1.误差来源误差来源2.误差表示误差表示3.误差估计误差估计4.误差传递误差传递31.1真值与平均值真值与平均值真值真值客观值或实际值。客观值或实际值。真值一般是未知的真值一般是未知的;但从相对的意义上来说，真值又
2、是已知的但从相对的意义上来说，真值又是已知的:理论真值理论真值约定真值约定真值相对真值相对真值平均值平均值真值的近似值或估计值真值的近似值或估计值。4（1）算术平均值）算术平均值适用场合：等精度的试验、试验值服从正态分布。适用场合：等精度的试验、试验值服从正态分布。等精度的试验指试验人员、试验方法、试验场合、试等精度的试验指试验人员、试验方法、试验场合、试验条件相同的试验。验条件相同的试验。设有设有n个试验值：个试验值：x1，x2，xn，则它们的算术平均值为，则它们的算术平均值为：5（2）加权平均值）加权平均值 设设有有n个个试试验验值值：x1，x2，xn，w1,w2,，wn代代表表单个试验值
3、对应的权，则它们的加权平均值为：单个试验值对应的权，则它们的加权平均值为：适用场合：适用场合：非等精度的试验、试验值服从正态分布。非等精度的试验、试验值服从正态分布。6权数或权值的确定：权数或权值的确定：当当试试验验次次数数很很多多时时，以以试试验验值值xi在在测测量量中中出出现现的的频频率率ni/n作为权数。作为权数。如如果果试试验验值值是是在在同同样样的的试试验验条条件件下下但但来来源源于于不不同同的的组，则以各组试验值的出现的次数作为权数。组，则以各组试验值的出现的次数作为权数。加权平均值即为总算术平均值。（见例加权平均值即为总算术平均值。（见例1-1）根据权与绝对误差的平方成反比来确定
4、权数。根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。例例1-2权数的计算：权数的计算：x1的绝对误差为的绝对误差为0.1；x2的绝对误差为的绝对误差为0.02，则：，则：x1的权数为的权数为w1=1/0.12=100 x2的权数为的权数为w2=1/0.022=2500一般有三种方法一般有三种方法7（3）对数平均值）对数平均值设设有有两两个个数数值值x1、x2，都都为为正正数数，则则它它们们的的对对数数平平均均值值为：为：注意：注意：如果如果0.5x1/x22时，可用时，可用代替代替，误差，误差4.4适用场合：试验数据的分布曲线具有对数特性。适用场合：试验数据的分布曲线具有对数特性。8（4）几何平均值
5、）几何平均值（5）调和平均值）调和平均值设设有有n个个正正试试验验值值：x1，x2，xn，它它们们的的调调和和平平均均值为：值为：适用场合：试验值的倒数服从正态分布适用场合：试验值的倒数服从正态分布。适用场合：试验数据取对数后分布曲线更加对称时适用场合：试验数据取对数后分布曲线更加对称时。设有设有n个正试验值：个正试验值：x1，x2，xn，则它们的几何平，则它们的几何平均值为：均值为：91.2误差的基本概念误差的基本概念1.绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差=试验值真值试验值真值 x=xxt最大绝对误差的估算：最大绝对误差的估算：用仪器的精度等级估算；用仪器的精度等级估算；用仪器最小刻度估算用仪
6、器最小刻度估算真真值值一一般般是是未未知知的的，通通常常用用最最大大的的绝绝对对误误差差来来估估计计其其大小范围：大小范围：102.相对误差相对误差由由于于真真值值一一般般为为未未知知，所所以以相相对对误误差差也也不不能能准准确确求求出出，通常也用最大相对误差来估计相对误差的大小范围：通常也用最大相对误差来估计相对误差的大小范围：在在实实际际计计算算中中，常常常常将将绝绝对对误误差差与与试试验验值值或或平平均均值值之之比比作为相对误差，即：作为相对误差，即：或或113.算术平均误差算术平均误差设试验值设试验值xi与算术平均值与算术平均值之间的偏差为之间的偏差为di，则算术平，则算术平均误差定义
7、式为：均误差定义式为：（1-23)求算术平均误差时，偏差求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所可能为正也可能为负，所以一定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一以一定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小，但是无法表达出各试验值间组试验数据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程度。的彼此符合程度。124.标准误差标准误差标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。标准差与每一个数据有关，而且对其中较大或较小的标准差与每一个数据有关，而且对其中较大或较小的误差敏感性很强，能明显地反映出较大的个别误差。误差敏感性很
8、强，能明显地反映出较大的个别误差。它常用来表示试验值的精密度：它常用来表示试验值的精密度：标准差越小，试验数据精密度越好。标准差越小，试验数据精密度越好。当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：当试验次数当试验次数n无穷大时，称为总体标准差无穷大时，称为总体标准差，其定义为：，其定义为：131.3试验数据误差的来源及分类试验数据误差的来源及分类1.随机误差随机误差指在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差。指在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差。特点：特点：在在相相同同条条件件下下，多多次次测测量量同同一一量量时时，误误差差的
9、的绝绝对对值值和和符符号号的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；在在一一次次测测定定中中，是是不不可可预预知知的的，但但在在多多次次测测定定中中，其其误误差差的算术平均值趋于零。的算术平均值趋于零。随机误差的来源：偶然因素随机误差的来源：偶然因素随机误差具有一定的统计规律：随机误差具有一定的统计规律：(1)(1)有界性；有界性；(2)(2)正误差和负误差出现的频数大致相等；正误差和负误差出现的频数大致相等；(3)(3)绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。(4)(4)当测量次数当测量次数nn
10、，误差的算术平均值趋于零（抵偿性）。，误差的算术平均值趋于零（抵偿性）。142.系统误差系统误差系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因素系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差。按照某一确定的规律起作用而形成的误差。特点：特点：系系统统误误差差的的大大小小及及其其符符号号在在同同一一试试验验中中是是恒恒定定的的，或或在在试试验条件改变时按照某一确定的规律变化。验条件改变时按照某一确定的规律变化。当当试试验验条条件件一一旦旦确确定定，系系统统误误差差就就是是一一个个客客观观上上的的恒恒定定值值，它它不不能能通通过过多多次次试试验验被被发发现现，也也
11、不不能能通通过过取取多多次次试试验验值值的的平均值而减小。平均值而减小。系统误差的来源：系统误差的来源：仪器（如砝码不准或刻度不均匀等）；仪器（如砝码不准或刻度不均匀等）；操作不当；操作不当；个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯）；个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯）；试验方法本身的不完善。试验方法本身的不完善。153.过失误差过失误差粗差、人为误差：粗差、人为误差：是一种显然与事实不符的误差。是一种显然与事实不符的误差。特点：特点：没有一定的规律。没有一定的规律。过失误差的来源：过失误差的来源：由于实验人员粗心大意造成的，由于实验人员粗心大意造成的，如读数错误、记录错误
12、或如读数错误、记录错误或操作失误等。操作失误等。在测量进行中受到突然的冲击、震动、干扰的影响等。在测量进行中受到突然的冲击、震动、干扰的影响等。含有过失误差的实验数据是不能采用的，必须设法从含有过失误差的实验数据是不能采用的，必须设法从测得的数据中剔除。测得的数据中剔除。161.4试验数据的精准度试验数据的精准度精准度包含三个概念：精密度精准度包含三个概念：精密度、正确度、正确度、准确度、准确度。1.精密度：反映随机误差的大小程度（集中程度）。精密度：反映随机误差的大小程度（集中程度）。2.正确度：反映系统误差的大小程度（正确程度）。正确度：反映系统误差的大小程度（正确程度）。3.准准确确度度
13、：又又称称精精确确度度，简简称称精精度度，含含有有精精密密、正正确确两两重重含含义义，用用来来描描述述试试验验结结果果与与真真值值的的接接近近程程度度，即即反反映映系系统统误误差差和和随随机误差合成的大小程度。机误差合成的大小程度。171.5试验数据误差的估计与检验试验数据误差的估计与检验1随机误差的估计随机误差的估计对试验值精密度高低的判断：对试验值精密度高低的判断：(1)极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。Rxmax-xmin(2)标准差：总体标准差标准差：总体标准差、样本或子样标准差、样本或子样标准差s反映试验数据的分散程度：反映试验数据的
14、分散程度：或或s s越越小小，则则数数据据的的分分散散性性越越低低，精精密密度度越越高高，随随机机误误差差越小，试验数据的正态分布曲线也越尖。越小，试验数据的正态分布曲线也越尖。(3)方差：方差即为标准差的平方方差：方差即为标准差的平方方差也反映了数据的分散性，即随机误差的大小。方差也反映了数据的分散性，即随机误差的大小。182系统误差的检验系统误差的检验秩和检验法：检验两组数据之间是否存在显著性差异；秩和检验法：检验两组数据之间是否存在显著性差异；证明新试验方法的可靠性。证明新试验方法的可靠性。例例1-5设甲、乙两组测定值为：设甲、乙两组测定值为：1.1.数据按从小到大排序，确定个数据的秩；
15、数据按从小到大排序，确定个数据的秩；2.2.将其中一组的秩相加，称为秩和。记为将其中一组的秩相加，称为秩和。记为R1 1或或R2 2 ；甲组数据的个数甲组数据的个数n1=6乙组数据的个数乙组数据的个数n2=9甲组数据的秩和甲组数据的秩和R1=7911.511.51415683.由秩和临界值表（见附录由秩和临界值表（见附录1）可查得）可查得R1的上下限的上下限T2和和T1，如果，如果R1T2或或R1T2，所以，所以两组数据有显著差异）两组数据有显著差异）193过失误差的检验过失误差的检验试验数据中试验数据中:随机误应要进行估计随机误应要进行估计系统误差要设法消除系统误差要设法消除不能含有过失误差
16、不能含有过失误差如何判断数据中有如何判断数据中有“坏值坏值”判别过失误差的界限判别过失误差的界限涂改数据是假数据；涂改数据是假数据；不科学地剔除数据也是假数据。不科学地剔除数据也是假数据。可疑数据取舍的可疑数据取舍的一般原则：一般原则：(1)(1)试验中发现异常数据，应停止试验，分析原因并纠正。试验中发现异常数据，应停止试验，分析原因并纠正。(2)(2)试验后发现异常数据，应先找原因，再进行取舍。试验后发现异常数据，应先找原因，再进行取舍。(3)(3)在分析数据时，如原因不确切，应对数据进行统计处理；在分析数据时，如原因不确切，应对数据进行统计处理；(4)(4)对舍去的数据，在报告中应注明原因
17、或所选用的方法。对舍去的数据，在报告中应注明原因或所选用的方法。20（1）拉依达（拉依达（Pauta）准则）准则三倍标准差准则三倍标准差准则方法：方法：1)1)计计算算包包括括可可疑疑值值在在内内的平均值及标准偏差的平均值及标准偏差；2)2)计计算算偏偏差差值值、偏偏差差值值绝对值、绝对值、3s3s值或值或2s2s值；值；3)3)比比较较偏偏差差绝绝对对值值与与3s3s值的大小，如果：值的大小，如果：则则应应将将x xp p从从该该组组试试验验值值中中剔除。剔除。序号序号测定值测定值 偏差值及其检验偏差值及其检验xi10.128-0.012-0.02220.129-0.011-0.02330.
18、131-0.009-0.02540.133-0.007-0.02750.135-0.005-0.02960.138-0.002-0.03270.1410.001-0.03280.1420.002-0.03190.1450.005-0.028100.1480.008-0.025110.1670.027-0.0060.140s0.01123s0.033521（1）拉依达（拉依达（Pauta）准则）准则三倍标准差准则（续）三倍标准差准则（续）显著性水平，表示检验出错的几率。显著性水平，表示检验出错的几率。3s或或2s的选择与显著性水平的选择与显著性水平有关：有关：3s3s相当于显著水平相当于显著水平
19、=0.01=0.012s2s相当于显著水平相当于显著水平=0.05=0.05适用场合适用场合:测定次数测定次数n 2020测定次数测定次数n 10 f(，n)，则应该剔除，则应该剔除x1或或xn。注意注意事项：事项：1)1)可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据。可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据。2)2)剔除一个数后，如果还要检验下一个数，则应注意试剔除一个数后，如果还要检验下一个数，则应注意试验数据的总数发生了变化。验数据的总数发生了变化。3)3)根据测定次数根据测定次数n，确定判别过失误差的准则：，确定判别过失误差的准则：n20时，用时，用3s3s准则准则241.6 有效数字和试
20、验结果的表示有效数字和试验结果的表示1有效数字有效数字-能够代表一定物理量的数字能够代表一定物理量的数字(1)(1)有效数字的位数可反映试验的精度或表示所用试验仪有效数字的位数可反映试验的精度或表示所用试验仪表的精度，所以不能随便多写或少写。表的精度，所以不能随便多写或少写。1.5687g1.5687g，精度为，精度为0.0001g0.0001g，相对误差为，相对误差为1/156871/156871.5g,1.5g,精度为精度为0.1g0.1g，相对误差为，相对误差为1/15 1/15(2)(2)小数点不影响有效数字的位数。第一个非小数点不影响有效数字的位数。第一个非0数前的数数前的数字不是有
21、效数字，而第一个非字不是有效数字，而第一个非0数后的数字是有效数字。数后的数字是有效数字。5050，0.0500.050，5.05.0，29 229 2位有效数字位有效数字29.0029.00，5.0005.000，12.47 412.47 4位有效数字位有效数字(3)(3)在计算有效数字位数时，如果第一位数字等于或大于在计算有效数字位数时，如果第一位数字等于或大于8，则可以多计一位。，则可以多计一位。9.99 9.99 4 4位有效数字位有效数字 8.210 58.210 5位有效数字位有效数字252 2 有效数字的运算规则有效数字的运算规则(1)(1)加、减结果的位加、减结果的位数应与其中
22、小数数应与其中小数点后位数最少的点后位数最少的相同。相同。先计算先计算,后对齐后对齐 11.9611.96 10.2 10.2+0.003+0.003 22.163 22.163先对齐先对齐,后计算后计算 12.012.0 10.2 10.2+0.0+0.0 22.2 22.2(2)(2)乘积、商的有效数位数，应以各乘、除数中有效数字乘积、商的有效数位数，应以各乘、除数中有效数字位数最少的为准。位数最少的为准。例如：例如：12.69.810.05012.69.810.050中中0.0500.050的有效数字位数最少，的有效数字位数最少，只有两位，所以有只有两位，所以有12.69.810.050
23、=6.212.69.810.050=6.2。(3)(3)乘方、开方后的有效数字位数应与其底数的相同。乘方、开方后的有效数字位数应与其底数的相同。例如：例如：2.42.42 2=5.8 =5.8 26(4)(4)对数的有效数字位数与其真数的相同。对数的有效数字位数与其真数的相同。例如例如ln6.84=1.92ln6.84=1.92；lg0.00004lg0.000044 4。(5)(5)在在4 4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位。可增加一位。例如例如(22.6+22.8+22.5+22.3+22.5)/5=22.5422.6+22.8+2
24、2.5+22.3+22.5)/5=22.54 原来只有原来只有3 3位有效数字，而计算结果增加了一位。位有效数字，而计算结果增加了一位。(6)(6)取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据的位数如有限制，则应服从原始数据。但原始数据的位数如有限制，则应服从原始数据。(7)(7)常数的有效数字位数，根据需要取常数的有效数字位数，根据需要取 。(8)(8)一般的工程计算中，取一般的工程计算中，取2 23 3位有效数字。位有效数字。273 3 有效数字的修约规则有效数字的修约规则 四舍六入尾留双四舍六入尾留双 例如，将下列数据舍入到小数点后
25、例如，将下列数据舍入到小数点后3 3位位：3.14159 3.1423.14159 3.142 1.36653 1.366 1.36653 1.366 2.33050 2.330 2.33050 2.330 2.77719 2.777 2.77719 2.777 2.7777 2.778 2.7777 2.778 2.4566 2.457 2.4566 2.4574 4和和4 4以下的数字舍去，以下的数字舍去，6 6和和6 6以上的数字进位；以上的数字进位；若是若是5 5，要看它前面的一个数：奇数就入，偶数就舍，要看它前面的一个数：奇数就入，偶数就舍2811 误差传递基本公式误差传递基本公式
26、1.7误差的传递误差的传递 设间接测量值设间接测量值y与直接测量值与直接测量值xi之间存在函数关系：之间存在函数关系：yf(x1，x2，xn)通过对上式进行全微分，用差分代替微分，可导出绝通过对上式进行全微分，用差分代替微分，可导出绝对误差的传递公式：对误差的传递公式：相对误差的传递公式：相对误差的传递公式：误差传递系数误差传递系数标准误差的传递公式：标准误差的传递公式：29 常用函数的误差传递公式常用函数的误差传递公式30例例1-11配制溶液配制溶液溶液浓度的计算公式为溶液浓度的计算公式为c=W/Vc为浓度为浓度(mg/ml)，W为试样质量（为试样质量（mg)，V为体积为体积(ml)。V=1000mlV0.01mlc=0.5mg/ml要求：要求：c/c 0.1问问W?3 3 误差传递的应用误差传递的应用解：由绝对误差的传递公式：解：由绝对误差的传递公式：相对误差的传递公式为：相对误差的传递公式为：将将V、V、c、c/c 代入，得：代入，得：根据根据c=W/V，算得：，算得：W=500mg则则W=5000.1%=0.5mg需要用万分之一的分析天平称量需要用万分之一的分析天平称量