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1、试卷第 1 页，总 22 页 第四十二讲 圆锥曲线高考选择填空压轴题专练 A 组 一、选择题 1 过抛物线C：24yx上一点00,P x y作两条直线分别与抛物线相交于A，B两点，连接AB，若直线AB的斜率为 1，且直线PA，PB与坐标轴都不垂直，直线PA，PB的斜率倒数之和为 3，则0y（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k，因为点00,P x y 在抛物线24yx 上，所以200,4yPy，故直线PA 的方程为20014yyykx，代入抛物线方程得220011440yyyykk，其解为0y 和014yk，则20 1021144,4y
2、 kAykk，同理可得202022244,4y kBykk，则由题意，得0012220 10222124414444yykky ky kkk，化简，得01211214ykk,故选 D.2已知双曲线221221(0,0)xyCabab：，抛物线224Cyx：，1C与2C有公共的焦点F，1C与2C在第一象限的公共点为M，直线MF的倾斜角为，且12cos32aa，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）A.仅有两个不同的离心率12,e e且121,2,4,6ee B.仅有两个不同的离心率12,e e且122,3,4,6ee C.仅有一个离心率e且2,3e D.仅有一个离心率e且3,4e【答案】C【解析
3、】24yx 的焦点为1,0，双曲线交点为1,0，即1c ，设M 横坐标为0 x，则0000011,1,121paxexa xxa xaa ，试卷第 2 页，总 22 页 00111111 2cos1132111axaaaxaa，可化为2520aa，22112510,2510g eeeaa ，200,10,20,30,1,2510ggggeee 只有一个根在2,3 内，故选 C.3已知点1F、2F是椭圆22221(0)xyabab的左右焦点，过点1F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若2ABF为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A.0,21 B.51,12 C.510,2 D.2
4、1,1【答案】D【解析】由于2ABF为锐角三角形，则20212145,tan12bAF FAF Fac，22bac，2222,21 0acac ee，21e 或21e，又01e，则211e ，选D.4已知12,F F是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，过2F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A,交另一条渐近线于点B，且2213AFF B,则该双曲线的离心率为 A.62 B.52 C.3 D.2【答案】A【解析】由2,0F c 到渐近线byxa 的距离为22bcdbab，即有2AFb，则23BFb，在2AF O 中，22,bOAa OFc tan F OAa 试卷第 3 页，总
5、22 页 224tan1bbaAOBaba，化简可得222ab，即有222232caba，即有62cea，故选 A.5焦点为F的抛物线C：28yx的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当MAMF取得最大值时，直线MA的方程为（）A.2yx或2yx B.2yx C.22yx或22yx D.22yx 【答案】A【解析】过M作MP与准线垂直，垂足为P，则11coscosMAMAMFMPAMPMAF，则当MAMF取得最大值时，MAF必须取得最大值，此时直线AM与抛物线相切，可设切线方程为2yk x与28yx联立，消去y得28160kyyk，所以264640k，得1k 则直线方程为2yx或2yx 故
6、本题答案选A 6设A是双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点，,0F c是右焦点，若抛物线试卷第 4 页，总 22 页 224ayxc 的准线l上存在一点P，使30APF，则双曲线的离心率的范围是（）A.2,B.1,2 C.1,3 D.3,【答案】A【解析】抛物线的准线方程为2axc,正好是双曲的右准线.由于 AF=ca,所以 AF弦,圆心3,22acOca,半径Rca 圆上任取一点 P,30APF,现在转化为圆与准线相交问题.所以22acacac,解得2e.填 A.7中心为原点O的椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭圆上一点，090OPA，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A.
7、1,12 B.2,12 C.16,23 D.20,2【答案】B【解析】设椭圆标准方程为22221(0)xyabab，设 P(x,y)，点 P 在以 OA 为直径的圆 上。圆 的 方 程：22222aaxy，化 简 为220 xaxy，22222201(0)xaxyxyabab可得2223220baxa xa b。则22,0,abxxac所双220,abac可得212e，选 B.8正三角形ABC的两个顶点,A B在抛物线22(0)xpy p上，另一个顶点C是此抛物线焦点，则满足条件的三角形ABC的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C 试卷第 5 页，总 22 页【解析】由题可知其焦
8、点为0,2pF作倾斜角为60与倾斜角为120的直线，分别与抛物线22(0)xpy p相交天两点,A B C D如图，则,AFCBFD均为正三角形故本题答案选C 9设F为抛物线2:2(0)C ypx p的焦点，曲线(0)kykx与C相交于点A，直线FA恰与曲线(0)kykx相切于点A，FA交C的准线于点B，则FABA等于（）A.14 B.13 C.23 D.34【答案】B【解 析】由22ypxkyx解 得3322kxpkypk，又 对kyx，2kyx，所 以3232232224FApkkkkpkpkp k，化 简 得24 2pk，所 以342kpxpk，124342FAABppFAxxppABx
9、x，故选 B 10已知点P在抛物线2yx上，点Q在圆221412xy上，则PQ的最小值为（）试卷第 6 页，总 22 页 A.3 512 B.3 312 C.2 31 D.101【答案】A【解析】设抛物线上点的坐标为2,(0)P mmm 圆心1,42 与抛物线上的点的距离的平方：222242114281624dmmmmm 令 4212816(0)4f mmmmm，则 2412fmmmm，由导函数与原函数的关系可得函数在区间0,1 上单调递减，在区间1,上单调递增，函数的最小值为 11114f，由几何关系可得：PQ的最小值为11114 3 512.本题选择 A 选项.11已知椭圆M：22221x
10、yab（0ab）的一个焦点为1,0F，离心率为22，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点,0P t使得APOBPO总成立（O为坐标原点），则t（）A.2 B.2 C.2 D.2【答案】B【解析】在椭圆中1c，22cea得2a，故1b，故椭圆的方程为2212xy，设11,A x y，22,B x y，由题意可知，当直线斜率不存在时，t可以为任意实数，当直线斜率存在时，可设直线方程为1yk x，联立方程组22112yk xxy，得2222124220kxk xk，2122412kxxk，21222212kxxk，试卷第 7 页，总 22 页 使得APOBPO总成立，即使得PF为APB的平分
11、线，即有直线PA和PB的斜率之和为 0，即有12120yyxtxt，由111yk x（），221yk x，即有1 2122120 x xtxxt，代入韦达定理，可得22224441201212kkttkk，化简可得2t，故选 B.二、填空题 12已知抛物线2:4C yx的焦点为F，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合），若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，则PF的最小值是_【答案】2【解析】根据抛物线的对称性设,2Q mm，则21QFmkm，所以直线PF的方程为112myxm，由24yx，取2yx，1yx，所以直线l的方程是12ymxmm，联立11212myxmymxmm，解得点
12、P的横坐标1x，所以点P在抛物线的准线上运动，当点P的坐标是1,0时，PF最小，最小值是2.13已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为,0F c，点P在双曲线C的左支上，若直线FP与圆222:39cbExy相切于点M且2PMMF，则双曲线C的离心率值为_【答案】5【解析】设双曲线C的左焦点为1F，由圆心,03cE可知，12FEEF，又2PMMF，可 知1/EMPF，且13PFEMb，由 双 曲 线 的 定 义 得2PFab，1PFPF，1F PFRt中，222222112225cFFFPFPcbabbaea.试卷第 8 页，总 22 页 14已知抛物线22(0)ypx p的焦
13、点为F，过抛物线上点02,Py的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若5PM，则p的值为_【答案】6【解析】设2,2Pp，由2ypx，得122ypx，则当2x 时，2py ，所以过F 且与l 平行的直线方 程为22ppyx，代入7,2Mp，得742p，解得6p,故答案为6 .B 组 一、选择题 1两条抛物线21111:Tya xb xc，222221212:0,0,Tya xb xcaaaa，联 立 方 程 消 去2x项，得 直 线2 11 22 11 22121:a ba ba ca cl yxaaaa，称直线l为两条抛物线1T和2T的根轴，若直线:m xt分
14、别与抛物线222yxx，21542yxx及其根轴交于三点12,P P P，则12PPPP（）A.2 B.12 C.2t D.12t【答案】A【解析】抛物线222yxx，21542yxx的根轴为2yx ，所以12PPPP 222222232113254222tttttttttt ，故选 A 2 已知12,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且124FPF，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A.12 B.22 C.1 D.2【答案】B 试卷第 9 页，总 22 页【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴常为121212222PFPFaaPFPFa 1PF 22212
15、,2121212121242cos4aaPFaacaaaaaaaa 22211222211111 2222222222 24222242?caaeeeeee 1 222e e,故选 B.3设点12,F F分别为双曲线：22221(0,0)xyabab的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P，满足112PFFF，点1F到直线2PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A.414 B.43 C.54 D.53【答案】D【解析】由题意知212PFFF，可知12PFF是等腰三角形，1F在直线2PF的投影是中点，可得2222 444PFcab，由双曲线定义可得422bca，则2acb，又22
16、2cab，知225230aacc，可 得23250ee，解 得513e 或舍去故本题答案选D 4已知椭圆M：22221xyab（0ab）的一个焦点为1,0F，离心率为22，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点,0P t使得APOBPO总成立（O为坐标原点），则t（）A.2 B.2 C.2 D.2【答案】A【解析】由题意可得椭圆方程为2212xy，很显然 AB 斜率不存在时，t 可以为任意实数，当直线的斜率存在时，设 AB 的方程为1yk x其中1122,A x yB x y,试卷第 10 页，总 22 页 联立直线与椭圆的方程可得：2222124220kxk xk，则：22121222
17、422,1212kkxxx xkk 由APOBPO知直线 PA 与 PB 的斜率之和为 0，则：12120yyxtxt，整理得：1 2122120 x xtxxt,故：22224144201212ktktkk,解得：2t.本题选择 A 选项.5已知动点P在椭圆2213627xy上，若点A的坐标为3,0，点M满足1AM，0PM AM，则PM的最小值是（）A.2 B.3 C.2 2 D.3【答案】C【解析】0PM AMPMAM ，2222211PMAPAMAMPMAP，1AM 点M 的轨迹为以为以点A 为圆心，1 为半径的圆，221PMAP，AP越小，PM越小，结合图形知，当P 点为椭圆的右顶点时
18、，AP 取最小值6 33ac ，PM最小值是2312 2 故选：C 6如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)xyabab和22221xymamb（0ab，1m），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC、BD，若AC、BD的斜率之积恒为1625，则椭圆的离心率为（）试卷第 11 页，总 22 页 A.35 B.34 C.45 D.74【答案】A【解析】由题意知，外层椭圆方程为22221xymamb，设切线AC的方程为1ykxma代入内层椭圆消去y得:2222232242211120k abxmk a xm k aa b由0 化简得221221,1bkam同理得222221,bkma所以442
19、22124443,.1(),555bbcbk keaaaa选 A.7已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点是,0Fc，离心率为e，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222xyc在y轴右侧交于点P，若P在抛物线22ycx上，则2e A.5 B.512 C.51 D.2【答案】D【解析】双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa ，据题意，可设直线PF 的斜率为ba，则直线PF 的方程为：byxca，解方程组222xycbyxca 得0 xcy 或 222abxcabyc则 P点的坐标为 222,ababcc又点P在抛物线22ycx上，得22222ababccc可化为 44
20、2ac，可知22e 故本题答试卷第 12 页，总 22 页 案选D 8 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2:4C xy，点P是C 的准线 l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为,A B，则AOB面积的最小值为（）A.2 B.2 C.2 2 D.4【答案】B【解 析】设01122,1,P xA x yB xy,因 为2xy，则 过 点,A B的 切 线22112212,4242xxxxyxxyxx均过点0,1P x，则22112201021,14242xxxxxxxx ，即12,x x是方程20142xxxx 的两根，则120122,4xxxx x，设直线AB的方程为ykxb，联立24
21、xyykxb，得2440 xkxb，则1244x xb ，即1b，则22212120211144221AOBSkxxx xxk，即AOB的面积的最小值为 2；故选 B.9已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且11BF ECF E，则双曲线的离心率为 A.1+6 B.1+5 C.1+3 D.1+2【答案】C【解析】根据双曲线C的性质可以得到，0,Cb，,0B a，1,0Fc，双曲线C的渐近线方程byxa，直线BC方程：byxba，联立byxbabyxa 得到22
22、axby，即点,2 2a bE，所以E是线段BC的中点，又因为11BF ECF E，所以11FCF B，而221FCcb，1FBac，故222cbac，因 为试卷第 13 页，总 22 页 222abc，所 以22220aacc，因 为cea，即2220ee，所 以13e ，故选 C 10已知O为坐标原点，12,F F分别是双曲线2222:1xyCab的左右焦点，A为C的左顶点，P为C上一点，且1PFx轴，过点A的直线l与线段1PF交于点M，与y轴交于E点.若直线2F M与y轴交点为N，2OEON，则C的离心率为（）A.13 B.2 C.23 D.34【答案】B【解析】由1PFx 轴可令,Mc
23、 t,得,0,0AaB a.则AEtkac,可得AE的方程为tyxaac,令0 x,知0,taEac,又0,2tN且2OEON,可得22tatac,所以2ca,即2cea.故本题答案选B.11过抛物线22(0)ypx p焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为223216xy，则p（）A.2 B.1 C.2或4 D.4【答案】A【解析】过抛物线22(0)ypx p焦点的直线l与抛物线交于,A B两点，以AB为直径的圆的方程为223216xy，可得弦长的坐标横坐标为3，圆的半径为4可得弦长为8，设直线与抛物线的交横坐标为12,x x则12126,8xxxxp，可得2p，故选
24、A.二、填空题 12已知过点2,0A 的直线与2x 相交于点C，过点2,0B的直线与2x 相交于点D，若直线CD与圆224xy相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为_.【答案】22104xyy 试卷第 14 页，总 22 页【解析】设直线 AC，BD 的斜率分别为12,k k，则直线 AC，BD 的方程分别为：122,2ykxykx，据此可得：122,4,2,4CkDk，则：12124422CDkkkkk ，直线 CD 的方程为：11242ykkkx，整理可得：121220kkxykk 直线与圆相切，则：12212221kkkk，据此可得：1214k k ，由于：122,2ykxykx，两
25、式相乘可得：222121414yk kxx 即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为22104xyy.C 组 一、选择题 1已知,A B C是双曲线22221(0,0)xyabab上的三个点，AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BFAC且2 BFCF,则该双曲线的离心率是（）A.53 B.293 C.292 D.94【答案】B 试卷第 15 页，总 22 页【解析】做出如图因为 AB经过原点O,AC经过右焦点F,BFAC可得AFBF为矩形，设AF=a,则=224AFBFmaFCma根 据 双 曲 线 定 义 可 知26CFma，在Rt ACF得22222222434(2)(26),3aACAFCF
26、mamamamAFFAFAFFF在中得222104294333aace 2 已知圆C：22311xy和两点0At，0(0)B tt，若圆C上存在点P，使得0PAPB，则t的最小值为（）A.3 B.2 C.3 D.1【答案】D【解析】由题意可得点 P 的轨迹方程是以AB位直径的圆，当两圆外切时有：22minmin3111tt，即t的最小值为 1.本题选择 D 选项.3 已知抛物线2:(0)C ymx x的焦点为F，点0,3A 若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且:1:2FMMD，则点M的纵坐标为（）A.13 B.33 C.23 D.2 33【答案】D【解析】根据题意画图如下：试
27、卷第 16 页，总 22 页 由12MFMD，可 得13,3,424MNDNOAmmMDMNOF，1,DAAF所 以3 1:12 2DA AM MF，可得42,4,3EFDFMF，041,3MFx 得013x，代入2y4x，得02 33y 。选 D.4已知,F A分别为双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点和右顶点，过F作x轴的垂线在第一象限与双曲线交于点P，AP的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点Q，若22APAQ,则双曲线的离心率为（）A.3 B.2 C.2 2 D.5【答案】B【解析】过 Q 作 QRx 轴与 R，如图，由题意设 F（c，0），则由 OA=a 得 AF=c-a
28、，将 x=c 代入双曲线得 P2(,)bca，则直线 AP 的斜率试卷第 17 页，总 22 页 为2()ba ca，所以直线AP的方程为2()()byxaa ca，与渐近线联立，得x=ababc，所 以 AR=2=abacaaabcabc，根 据 相 似 三 角 形 及22APAQ，得AF=22（）AR，即222(21)acbcabcaabc代入222cab，得2ca 5已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F过2F作一条直线（不与x轴垂直）与椭圆交于,A B两点，如果1ABF恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为 A.1 B.2 C.2 D.3【答案】C【解析】设1
29、AFm，则22AFam，22222BFABAFmamma，于是12222242BFaBFamaam，又190F AB，所以12BFm，所 以422amm，224am，因 此2222AFamm，1212tan222AFmAF FAFm，直线AB斜率为2，由对称性，还有一条直线斜率为2，故选 C 6已知双曲线22122:1(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，椭圆试卷第 18 页，总 22 页 222:186xy的离心率为e，直线MN过2F与双曲线交于M，N两点，若112coscosFMNFF M，11FMeFN，则双曲线1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A.30和150 B.45和1
30、35 C.60和120 D.15和165【答案】C【解析】解：由题意可知：11111,22FMeFMFNFN，由112coscosFMNFF M，可得：112FMNFF M，即11212,4FMFFc F Nc，由双曲线的定义可得：2222,42MFca MFca，取2MF 的中点K，连结1KF，则：2KMKFca，由勾股定理可得：22211F KNKNF，即：222253416caccac，整理可得：230caca，由双曲线的性质可得：2cea，则双曲线1的两条渐近线的倾斜角分别为 60和120.本题选择 C 选项.试卷第 19 页，总 22 页 7已知双曲线22221xyab（0a，0b）
31、，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A.31,2 B.1,2 C.3,2 D.2,【答案】D【解析】AB是双曲线通径，22bABa，由题意2baca，即2222aacbca，2220caca，即220ee，解得2e（1e舍去），故选 D 8已知抛物线2:4C yx的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点,Q M N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若060NRF，则FR等于（）A.12 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】,M N 分别是,PQ PF 的中点，MNFQ，且PQx 轴，60
32、60NRFFQP，由抛物线定义知，,PQPFFQP 为正三角形，则2FMPQQMp，正三角形边长为4，14,22PQFNPF，试卷第 20 页，总 22 页 又可得FRN为正三角形，2FR，故选 C.9过双曲线1C：22221xyab（0a，0b）的左焦点F作圆2C：222xya的切线，设切点为M，延长FM交双曲线1C于N，若点M为线段FN的中点，则双曲线1C的离心率为（）A.5 B.52 C.51 D.512【答案】A【解析】取双曲线右焦点1F,连接1F N，由题意可知，1NFF为直角三角形，且112,4,2,NFa NFa FFc由勾股定理可知，222221644,5,5caacea，选
33、A.10已知双曲线22221xyab的离心率为5，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为 2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A.28 5yx B.24 5yx C.22 5yx D.25yx【答案】B【解析】设双曲线渐近线的方程为byxa，圆心坐标为,0c，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得222bcab，即2b ，又因为离心率为245aa，可得1,5,5,2 52pacp ，所以抛物线的方程为24 5yx，故选B.11已知双曲线2222:1xyCab的右顶点为,A O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点,P Q,若3PAQ且5O
34、QOP,则双曲线C的离心率为 A.2 B.213 C.72 D.3【答案】B【解析】由图知APQ是等边三角形，设PQ中点是H，圆的半径为r，则AHPQ，试卷第 21 页，总 22 页 32AHr，PQr，因为5OQOP，所以14OPr，12PHr，即113424OHrrr，所 以2 3tan3AHHOAOH，即2 33ba，2222243bcaaa，从而得213cea，故选 B 12在平面直角坐标系xoy中，双曲线22122:1(0,0)xyCabab的渐近线与抛物线22:2(0)Cypx p交于点,O A B,若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为（）A.32 B.5 C.3 55 D
35、.52【答案】C【解析】设11,A x y，11,B xy，2C焦点为,02pF，由题意0FA OB，即1111,02pxyxy，所 以211102pxxy，又2112ypx，111202pxxpx，152px，221152252ypxppp，15yp，而11byxa，即552bpa，2 55ba，2222245bcaaa，2295ca，所以3 55cea，故选 C 二、填空题 13椭圆22143xy的左,右焦点分别为1F,2F,过椭圆的右焦点2F作一条直线l交椭试卷第 22 页，总 22 页 圆于P,Q 两点,则1FPQ的内切圆面积最大值是_.【答案】916【解析】令直线l：1xmy，与椭圆方程联立消去x得2234690mymy，可 设1122,P x yQ x y，则122634myym，122934y ym 可 知122121212122211412234F PQmSFFyyyyy ym，又22222111116349161mmmm，故13F PQS三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径12384F PQSr，其面积最大值为916故本题应填916