高考数学培优第36讲椭圆、双曲线、抛物线5544.pdf

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1、第三十六讲 椭圆双曲线抛物线 A 组 一.选择题 1.(2017 年全国 2 卷理)若双曲线C:22221xyab(0a,0b)的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为 2,则C的离心率为()A 2 B3 C2 D2 33【答案】A【解 析】圆 心 到 渐 近 线0bxay 距 离 为2213 ,所 以2322bcaec,故选 A.2设椭圆C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F,P是C上的点,212PFFF,01230PF F,则C的离心率为()A.36 B.13 C.12 D.33【答案】选 D.【解析】在21Rt PF F中,令2|1PF,因为01230PF F,

2、所以112|2,|3PFFF.所以1212|232|3FFceaPFPF.3.(2017 年天津卷理)已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 A B C D【答案】B【解析】由题意得224,14,2 2188xyabcabc ,选 B.4 已知l是双曲线22:124xyC的一条渐近线,P是l上的一点,12,F F是C的两个焦点,若120PF PF,则P到x轴的距离为 A.2 33 B.2 C.2 D.2 63【答案】选 C.【解析】12(6,0),(6,0)FF,不妨设l的方程为2yx,设00(,2)P xx 由21200000(6,2)(

3、6,2)360PF PFxxxxx 得02x ,故P到x轴的距离为022x,故选 C 5.已知双曲线C:2218yx 的左右焦点分别是1,2F F,过2F的直线l与C的左右两支分别交于,A B两点,且11AFBF,则AB=A.2 2 B.3 C.4 D.2 21【答案】选 C.【解析】由双曲线定义可知:21AFAF2a,122BFBFa;两式相加得:21124AFAFBFBFa 又11AFBF,式可变为224AFBFa=4 即AB=4 5(2017 年全国 3 卷理)已知双曲线 C:22221xyab(a0,b0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点,则 C 的方程为

4、()A221810 xy B22145xy C22154xy D22143xy【答案】B【解析】由题意可得:3,32bca,又222abc,解得224,5ab,则C 的方程为2145xy.本题选择 B 选项.二.填空题 6.(2017 年全国 1 卷理)已知双曲线C:22221xyab(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60,则C的离心率为_。【答案】2 33【解析】如图所示,APMN,MN为双曲线的渐近线byxa上的点,(,0)A a,AMANb 因为APMN 所以30PAN(,0)A a到直线byxa的距离22|1bA

5、Pba 在Rt PAN中,cosPAPANNA 代入计算得223ab,即3ab 由222cab得2cb 所以22 333cbeab 7已知双曲线C:22221xyab0,0ab的左顶点为A,右焦点为F,点0,Bb,且0BA BF,则双曲线C的离心率为 【答案】512【解析】设 F(c,0),又 A(a,0),由0BA BF,得:(a,b)(c,b)0,所以,有:2bac,即22caac,化为210ccaa,可得离心率 e512。8.与双曲线221xy过一、三象限的渐近线平行且距离为2的直线方程为 .【答案】20 xy;【解析】双曲线221xy过一、三象限的渐近线方程为:0 xy 设直线方程为:

6、0 xyb所以22b,解得2b 三.解答题 9.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为12 0F,点2B 2,在椭圆C上,直线0ykx k与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N()求椭圆C的方程;()在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 解:()解法一:设椭圆C的方程为22221(0)xyabab,因为椭圆的左焦点为12 0F,所以224ab 设椭圆的右焦点为22 0F,已知点22B,在椭圆C上,由椭圆的定义知122BFBFa,所以23 224 2a 所以2 2a,从而2b

7、 所以椭圆C的方程为22184xy 解法二:设椭圆C的方程为22221(0)xyabab,因为椭圆的左焦点为12 0F,所以224ab 因为点22B,在椭圆C上,所以22421ab 由解得,2 2a,2b 所以椭圆C的方程为22184xy ()解法一:因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为2 2,0 因为直线(0)ykx k与椭圆22184xy交于两点E,F,设点00,Exy(不妨设00 x),则点00,Fxy 联立方程组22,184ykxxy消去y得22812xk 所以022 212xk,022 212kyk 所以直线AE的方程为22 2112kyxk 因为直线AE与y轴交于点M,令0 x

8、得22 2112kyk,即点22 20,112kMk 同理可得点22 20,112kNk 假设在x轴上存在点(,0)P t,使得MPN为直角,则0MP NP 即2222 22 20112112kktkk,即240t 解得2t 或2t 故存在点2,0P或2,0P,无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角 解法二:因为椭圆C的左端点为A,则点A的坐标为2 2,0 因为直线(0)ykx k与椭圆22184xy交于两点E,F,设点00(,)E xy,则点00(,)Fxy 所以直线AE的方程为002 22 2yyxx 因为直线AE与y轴交于点M,令0 x 得002 22 2yyx,即点002 20,2

9、2yMx 同理可得点002 20,2 2yNx 假设在x轴上存在点,0P t,使得MPN为直角,则0MP NP 即200002 22 202 22 2yytxx,即22020808ytx ()因为点00(,)E xy在椭圆C上,所以2200184xy,即220082xy 将220082xy代入()得240t 解得2t 或2t 故存在点2,0P或2,0P,无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角 解法三:因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为2 2,0 因为直线(0)ykx k与椭圆22184xy交于两点E,F,设点2 2cos,2sinE(0),则点2 2cos,2sinF 所以直线AE的方程

10、为2sin2 22 2cos2 2yx 因为直线AE与y轴交于点M,令0 x 得2sincos1y,即点2sin0,cos1M 同理可得点2sin0,cos1N 假设在x轴上存在点(,0)P t,使得MPN为直角,则0MP NP 即22sin2sin0cos1cos1t,即240t 解得2t 或2t 故存在点2,0P或2,0P,无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角 10 已 知 椭 圆2222:1(0)xyWabab的 离 心 率 为32,其 左 顶 点A在 圆22:16O xy 上。(1)求椭圆W的方程;(2)若点P为椭圆W上不同于点A的点,直线AP与圆O的另 一个交点为Q,是否存在点P

11、,使得3PQAP?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由。解:(1)因为椭圆W的左顶点 A 在圆16:22 yxO上,令0y,得4x,所以4a.又离心率为23,所以23ace,所以32c,所以2224bac,所以W的方程为221164xy.(2)设点),(),(2211yxQyxP,设直线AP的方程为)4(xky,与椭圆方程联立得22(4)1164yk xxy,化简得到2222(14)3264160kxk xk,因为4为方程的一个根,所以21232(4)14kxk,所以21241614kxk 所以228 1|14kAPk.因为圆心到直线AP的距离为2|4|1kdk,所以222168|2

12、16211AQdkk,因为|1|PQAQAPAQAPAPAP,代入得到222222228|14331113|1118 114PQkkkAPkkkkk 显然23331k,所以不存在直线AP,使得|3|PQAP.11.已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接ABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为0204 yx。(1)求抛物线方程;(2)过抛物线上一动点M作抛物线切线l,又lMN 且交抛物线于另一点N,ME(E在M的右侧)平行于x轴,若NMEFMN,求的值。解:(1)设抛物线的方程为pxy22,则其焦点为)0,2(p,),(),(),(332211yxCyxByxA,联立0200)80(82

13、020422xpxpxyyx,88032pxx,24204202132pxxyy,又ABC的重心为焦点 F 230880113213211321pyyyypxxxxp 代入抛物线中,解得8p 故抛物线方程为xy162 (2)设),(00yxM,即切线8)(8:000ykxxyylMN,即8tan0ykNMEMN,又4tan00 xykFMEMF,NMEFMEFMExyyyyyNME2tan46416641822tan00200200,即1。12.已知椭圆C:22221(0)xyabab的左右顶点分别为,A B,右焦点为F,离心率12e,点P是椭圆C上异于,A B两点的动点,APB的面积最大值为

14、2 3(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AP与直线2x 交于点D,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并作出证明 解:(1)由题意得,222122 3212a babcca,解得:231abc 所以,椭圆方程为:22143xy.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切 证明:设直线AP:2(0)yk xk,则:(2,4)Dk,BD的中点为M为(2,2)k 联立22143(2)xyyk x,消去y整理得:2222(34)1616120kxk xk 设00,P x y,由韦达定理得:2021612234kxk,解得:2026834kxk,故有:00212234kyk xk 又1,0F,所以当1

15、2k 时,31,2P,2,2D,此时PFx轴,以BD为直径的圆22211xy与直线PF相切 当12k 时,0204=114PFykkxk,所以直线PF:2411 4kyxk,即:224401414kkxykk,所以点E到直线PF的距离22228421 41 424()11 4kkkkkdkkk 而=4BDk,即知:12dBD,所以以BD为直径的圆与直线PF相切 B 组 一.选择题 1.如图AB是长度为定值的平面的斜线段,点A为斜足,若点P在平面内运动,使得ABP的面积是定值,则动点P的轨迹是 B A P A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行线【答案】选 B.【解析】我们通过这个例题可以

16、让学生进一步认识圆锥 曲线的定义.根据已知条件ABP的面积为定值,AB是长度为定值的平面的斜线段,那么点P到直线AB的距离为定值,仅仅考虑这一点,点P应该在一个圆柱的侧面上,这个圆柱是以PA所在的直线为轴,点P到直线AB的距离为底面半径.同时这个点又在平面上,点P的轨迹是平面与圆柱侧面的截线,依据圆锥曲线的定义,应该选 B.2.如果1P,2P,nP是抛物线C:24yx上的点,它们的横坐标依次为1x,2x,nx,F是抛物线C的焦点,若1210nxxx,则12nPFPFP F(A)10n (B)20n (C)210n (D)220n【答案】选 A.【解析】由抛物线的焦点为(1,0),准线为x1,由

17、抛物线的定义,可知11|1PFx,22|1P Fx,故12nPFPFP F10n 3设双曲线22221xyab的一条渐近线为2yx,且一个焦点与抛物线24yx的焦点相同,则此双曲线的方程为()A225514xy B225514yx C225514xy D225514yx【答案】选 C.【解析】抛物线的焦点为(1,0)22212cbacab解得221545ab 4.过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于,A B两点,若OAB的面积为133bc,则双曲线的离心率为()A52 B53 C132 D133 【答案】选 D【解 析】.由 题 意,得xc代 入byx

18、a,得 交 点(,),(,)bcbcA cB caa,则121323bcbcca,整理,得133ca,故选 D 二.填空题 5.椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点为A,经过原点的直线l交椭圆C于PQ、两点,若=PQa,APPQ,则椭圆C的离心率为 .【答案】2 55【解析】不妨设点P在第一象限,由对称性可得22PQaOP,因为APPQ在Rt POA中,1cos2OPPOAOA,故60POA,易得13(,)44Paa,代入椭圆方程得:116316122ba,故222255()abac,所以离心率552e 6 已知直线:l ykxt与圆:22(1)1xy相切且与抛物线2:4C xy交于不

19、同的两点,M N,则实数t的取值范围是 【答案】(,3)(0,)【解析】因为直线与圆相切,所以 ttkkt2111222又把直线方程代入抛物线方程并整理得0442tkxx,于是由016)2(16161622ttttk,得 0t或3t 三.解答题 7.已知抛物线2:2C ypx经过点(2,2)M,C在点M处的切线交x轴于点N,直线1l经过点N且垂直于x轴.()求线段ON的长;()设不经过点M和N的动直线2:lxmyb交C于点A和B,交1l于点E,若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列,试问:2l是否过定点?请说明理由.【解析】()由抛物线2:2C ypx经过点(2,2)M,得 224p,故1

20、p,C的方程为22yx 在第一象限的图象对应的函数解析式为2yx,则12yx 故C在点M处的切线斜率为12,切线的方程为12(2)2yx 令0y 得2x ,所以点N的坐标为(2,0)故线段ON的长为2 ()2l恒过定点(2,0),理由如下:由题意可知1l的方程为2x ,因为2l与1l相交,故0m 由2:lxmyb,令2x ,得2bym,故2(2,)bEm 设1122(,),(,)A x yB xy 由22xmybyx 消去x得:2220ymyb 则122yym,122yyb 直线MA的斜率为1121112222222yyyxy,同理直线MB的斜率为222y 直线ME的斜率为224bm 因为直线

21、MA、ME、MB的斜率依次成等差数列,所以 1222222212242bbmyym 即1212121212122(4)42112()42()42yyy ybyyy yyyy ym 整理得:22222bbmbm,因为2l不经过点N,所以2b 所以222mbm,即2b 故2l的方程为2xmy,即2l恒过定点(2,0)8已知抛物线C:xy42,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线,分别交抛物线C于点1P,2P和点3P,4P,线段21PP,43PP的中点分别记为1M,2M(1)求21MFM面积的最小值;(2)求线段21MM的中点P满足的方程 解:()由题设条件得焦点坐标为(1,0)F,设直线1

22、2PP的方程为(1)yk x,0k.联立2(1)4yk xyx,消去y并整理得22222(2)0k xkxk.(*)(*)关于x的一元二次方程的判别式22222 2(2)416(1)0kk kk .设111(,)P x y,222(,)P xy,则12,x x是方程(*)的两个不等实根,经计算得21222(2)kxxk 设111(,)MMMxy,则1112122222(1)MMMxxkxkyk xk 类似地,设222(,)MMMxy,则2222212211221MMkxkkykk 所以2222122222|(1)()1kFMkkkk,22222|(2)(2)2|1FMkkkk,因此121211

23、|2(|)2|FM MSFMFMkk 因为1|2|kk,所以124FM MS,当且仅当1|kk,即1k 时,12FM MS取到最小值 4()设线段12M M的中点(,)P x y,由(1)得 121222221121()(22)12211 21()(2)22MMMMxxxkkkkyyykkkk ,消去k后得23yx线段12M M的中点P满足的方程为23yx 9已知Q为椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点,4 2(,)33bP是C上的一点,以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线2:()2l ykxm k与椭圆C相较于,A B两点,M为椭圆C上任意一点,且

24、线段OM的中点与线段AB的中点重合,求OM的取值范围。解:(1)因为,0F c,0,Qb,4 2,33bP,(,)FQc b,4 2(,)33bFPc,由题设可知0FQ FP,则224 2033bcc 又点P在椭圆C上,22232199bab,解得24a,所以2224bca 联立解得,22c,22b,故所求椭圆的方程为22142xy (2)设,A B M三点的坐标分别为11(,)x y,22(,)xy,00(,)xy,由,A B两点在椭圆C上,则2211222224(1)24(2)xyxy,则 由(1)(2),得12121212()()2()()0 xxxxyyyy (3)由线段OM的中点与线

25、段AB的中点重合,则120120(4)(5)xxxyyy 又2121yykxx,即2121()yyk xx (6)把(4)(5)(6)代入(3)整理,得002xky,于是由002200224xkyxy,得220042xy,202221yk,所以222200022|4421OMxyyk 因为2|2k,所以21212k,有221221k,所以22|3OM,即|OM的取值范围为 2,3 10.已知椭圆2222:1(0)xyCabab上的动点到焦点距离的最小值为21。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20 xy相切()求椭圆C的方程;()若过点(2,0)M的直线与椭圆C相交于,A B两点,P

26、为椭圆上一点,且满足 OAOBtOP(O为坐标原点)。当2 5|3AB 时,求实数t的值 解:()由题意知12 ca;又因为211 1b,所以22a,21b 故椭圆C的方程为1222 yx ()设直线AB的方程为(2)yk x,11(,)A x y,22(,)B xy,(,)P x y,由22(2),1.2yk xxy得2222(12)8820kxk xk 422644(21)(82)0kkk,212k 2122812kxxk,21228212kx xk又由352|AB,得,352|1212xxk 可得412k 又由OPtOBOA,得1212(,)(,)xxyyt x y,则21228(12)

27、xxkxttk,1212214()4(12)yykyk xxktttk 故222222222(8)(4)22(12)(12)kktktk,即22216(12)ktk 得,382t,即362t C 组 1.双曲线2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F,渐近线分别为12,l l,点P在第一象限内且在1l上,若2122,lPF lPF,则该双曲线的离心率为(A)5(B)2(C)3(D)2【答案】选 B【解析】双曲线的渐近线方程为byxa,不妨12,l l的方程分别为,bbyx yxaa 因为22lPF,所以直线2PF的方程为byxca 由,byxcabyxa 得 点P坐标为,

28、2 2c bca由21lPF,得210212lPFbcbakkcac ,整理得,23ba,所以2214bea,所以该双曲线的离心率为 2应选 B 2.椭圆222210 xyabab的左右焦点分别为1F、2F,过点2F的直线与椭圆交于,A B两点,若1F AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A 22 B 23 C 52 D 63【答案】选 D.【解析】设1212,FFc AFm,若1F AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,1ABAFm,12BFm 由椭圆的定义可知1F AB的周长为4a,422amm,2(22)ma 22(2 22)AFama 2221212AFAFFF,

29、222224(22)4(21)4aac,296 2e,63e 3.已知直线:l23yx被椭圆2222:1(0)xyCabab截得的弦长为 7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为 7 的有()23yx 21yx 23yx 23yx A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【答案】选 C.【解析】直线23yx与直线l关于原点对称,直线23yx 与直线l关于x轴对称,23yx 与直线l关于y轴对称,故有 3 条直线被椭圆C截得的弦长一定为 7。4.直线2ykx与双曲线226xy的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是()A 1515(,)33 B15(0,)3 C15(,0)3 D15(

30、,1)3【答案】选 D.【解析】联立 2226ykxxy 得22(1)4100kxkx 由题意得12120,00 xxx x 即22221640(1)04011001kkkkk解得1513k 二.填空题 5.已知F为抛物线24yx的焦点,,P x y是该抛物线上的动点,点A是抛物线的准线与x轴的交点,当PFPA最小时,点P的坐标为_.【答案】1,2【解析】由题可知焦半径1PFx,则2222211461PAxyxxxx,则2222221216441161616PFxxxxxxPAxxxxxx,因为点,P x y在抛物线上,所以0 x,则244411162626xxxxx(当且仅当11xxx即时取

31、等号),则12PFPA,且取最小值时1x,此时点 P 的坐标为1,2 6.ABC中,A为 动 点,B、C为 定 点,(,0)2aB,(,0)2aC,且 满 足 条 件1sinsinsin2CBA,则动点A的轨迹方程为 _.【答案】)4(1316162222axayax【解析】:由1sinsinsin2CBA,得12cba,应为双曲线一支,且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax.三.解答题 7.设椭圆2222:1(0)xyEabab过2,2,6,1MN两点,O为坐标原点 ()求椭圆E的方程;()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,A B,且

32、OAOB?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由。解:()因为,M NE,所以2222421,611,abab 解得228,4ab,所以椭圆E的方程为22184xy()若存在满足题意的定圆,设该定圆半径为r,则直线xr与该定圆相切,由对称性及OAOB可知,此时直线OA方程为yx,其与椭圆E交于,r r,故22184rr,解得283r,下面说明定圆228:3O xy满足题意 由上述讨论可知,切线83x 于椭圆E交于,A B两点,满足OAOB 由椭圆E与圆O均关于y轴对称可知,切线83x 也满足题意 当切线不与x轴垂直时,设切线方程为ykxm,交E于1122,A x yB xy 则圆心0,0O

33、到切线的距离2831mdk,即22813mk 由22,28ykxmxy得,222124280kxkmxm,所以 222222222832164 12288 8488(1)4(41)033k mkmkmkkk,且2121222428,1212kmmxxx xkk 所 以,2222121212122812mkyykxmkxmk x xkm xxmk 所 以,2222222121222228188288388012121212kkmmkmkOA OBx xy ykkkk,所以OAOB 综上所述,存在定圆228:3O xy,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,A B,且OAOB 8 如图,抛物

34、线:C22xpy(0)p 的焦点为(0,1)F,取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点1P,2P,过1P,2P作圆心为Q的圆,使抛物线上其余点均在圆外,且12PQPQ。()求抛物线C和圆Q的方程;()过点F作直线l,与抛物线C和圆Q依次交于M,A,B,N,求|MNAB 最小值。解:()因为抛物线:C22xpy(0)p 的焦点为(0,1)F,所以12p,解得2p,所以抛物线C的方程为 24xy。由抛物线和圆的对称性,可设圆Q:222()xybr,12PQPQ,12PQP是等腰直角三角形,不妨设1P在左侧,则1245QPP,222(,)22Pr br,代入抛物线方程有242 22rbr。由题可知

35、在1P,2P处圆和抛物线相切,对抛物线24xy求导得2xy,F P2 x O y N B A M P1 Q 所以抛物线在点2P处切线的斜率为24rk。由1245QPP知214rk,所以2 2r,代入242 22rbr,解得3b。所以圆Q的方程为22(3)8xy。()由题知直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为1ykx。圆心(0,3)Q到直线l的距离为221dk,2221|24 21ABrdk。由241xyykx得22(24)10yky,设11(,)M x y,22(,)N xy,则21242yyk,由抛物线定义知,212|24(1)MNyyk。所以221|16(1)21MNABkk 设21(1

36、)tkt,则22111|16216 216 2()48MNABttttt(1)t 所以当1t 时即0k 时,|MNAB有最小值 16.9.已知动圆C过点(2,0)A,且与圆22:(2)64Mxy相内切.(1)求动圆C的圆心的轨迹方程;(2)设直线:l ykxm(其中,)k mZ与(1)中所求轨迹交于不同两点,B D,与双曲线221412xy交于不同两点,E F,问是否存在直线l,使得0DFBE,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由 解:(1)圆642:22yxM,圆心M的坐标为0,2,半径8R.RAM 4,点0,2A在圆M内.1 分 设动圆C的半径为r,圆心为C,依题意得CAr

37、,且rRCM,即AMCACM8.2 分 圆心C的轨迹是中心在原点,以MA,两点为焦点,长轴长为8的椭圆,设其方程为 012222babyax,则2,4ca.12222cab.所求动圆C的圆心的轨迹方程为1121622yx.(2)由.11216,22yxmkxy 消去y化简整理得:0484843222mkmxxk 设11(,)B x y,22(,)D xy,则122834kmxxk.104844348222mkkm.由.1124,22yxmkxy 消去y化简整理得:01223222mkmxxk.设 4433,yxFyxE,则24332kkmxx,2012342222mkkm.DFBE 0,423

38、1()()0 xxxx,即1234xxxx,2232438kkmkkm.02km或2231434kk.解得0k 或0m.当0k 时,由、得 3232m,mZ,,m的值为2,3 1,0,13,2,;当0m,由、得 33k,kZ,,1,0,1k.满足条件的直线共有 9 条 10.已知椭圆2222:1(0)xyCabab垂直于x轴的焦点弦的弦长为6 55,直线220 xy与以原点为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切.(1)求该椭圆C的方程;(2)过右焦点F的直线交椭圆于,A B两点,线段AB的中点为M,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于,D E两点记MFD的 面积为1S,OED的面积为2S求1222

39、12S SSS的取值范围。解:(1)22226 52,5,355bcabaa 椭圆C的方程为22153xy (2)由(1)知(2,0)F 若直线AB的斜率不存在,则,M F 不合题意,所以直线AB的斜率存在且不为0,设其方程为(2)yk x 并代入22153xy中,整理得:2222(53)10 210150kxk xk,212210 253kxxk,1226 253kyyk6 分 2225 23 2(,)53 53kkMkk ABMD 1MDk k 2223 205315 253Dkkkkxk 222 253Dkxk即222 2(,0)53kDk MFDOED 222222221222225 22 23 2()(0)|535353|2 2()53kkkSMDkkkSDOkk 2919(1)44k 12221212211S SSSSSSS36(0,)97

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