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1、页 1第 2019-2020 学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试 理科数学试题 第 I 卷(选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1已知复数2aii是纯虚数（i 是虚数单位），则实数 a 等于 A-2 B2 C12 D-1 2设全集U是实数集R，2=log1,13MxxNxx，则NM A23xx B3x x C12xx D2x x 3设等差数列 na前n项和为nS，若452aS，714S，则10a A18 B16 C14 D12 4函数3cos1
2、()xf xx的部分图象大致是 ABCD 5“0k”是“直线1ykx与圆221xy相切”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A1：3 B1：4 C1：5 D1：6 7设平面向量2,1a ，,2b，若a与b的夹 角为锐角，则的取值范围是 页 2第 A1,22,2 B,44,1 C1,D,1 8已知mn、是两条不同直线,、是两个不同平面,下列命题中的假命题是 A若mm，则 B若mnm，则n C若mn，则mn D若m，m在内，则 9将函数sin12
3、yx的图象上所有的点向右平移4个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），则所得图象的的一条对称轴方程为 A524x B512x C6x D3x 10已知1,2ab，且aab，则向量a在b方向上的投影为 A12 B2 C1 D22 11如图，在ABC中，点,D E是线段BC上两个动点，且ADAE xAByAC，则14xy的最小值为 A32 B2 C52 D92 12 过抛物线24yx焦点F的直线与双曲线221(0)yxmm的一条渐近线平行，并交抛物线于,A B两点，若|AFBF且|3AF，则m的值为 A8 B2 2 C2 D4 第卷（非选择题共 90 分）二、填空题(本大
4、题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13已知向量1,2a,2,2b,1,c，若/2cab,则_ 14当0 xx时，函数()cos22sin2f xxx有最小值，则0sinx的值为_.页 3第 15已知三棱锥DABC中，1ABBC,2,5,2,ADBDACBCAD，则三棱锥DABC的外接球的表面积为_.16已知函数22019()20192019log(1)2xxf xxx，则关于x不等式()(23)4f xfx的解集为_ 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
5、）17.（12 分）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为cba,，已知0coscos)2(AbBca.（I）求 B；（II）若ABCb,3的周长为323，求ABC的面积.18（12 分）某高校共有 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率.（3）
6、在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：22()()()()()n adbcKab cdac bd 页 4第 20()P Kk 0.10 0.05 0.010 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 19（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角APBC的余弦值.20（12 分）已知2 2 6,33P是椭圆
7、22122:1(0)xyCabab与抛物线2:2(0)E ypx p的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F（1）求椭圆1C及抛物线E的方程；（2）设过F且互相垂直的两动直线12,l l，1l与椭圆1C交于,A B两点，2l与抛物线E交于,C D两点，求四边形ACBD面积的最小值 21（12 分）已知函数 211 e22xf xxaxax（e是自然对数的底数）.（）讨论 f x极值点的个数；（）若002xx 是 f x的一个极值点，且22ef，证明：01f x.页 5第 （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4
8、-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系中.已知曲线3cos:2sinxCy(为参数)，.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线:(2cossin)6l.(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)在曲线C上取一点P，使点P到直线l的距离最大，求最大距离及此时P点的坐标.23设()|-3|4|f xxx.（1）解不等式()2f x；（2）已知x，y实数满足2223(0)xya a，且xy的最大值为 1，求a的值.页 6第 2019-2020 学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试 理科数学试题参考答案 1C 2A 3C 4B 5C 6A 7B 8C 9B 10A
9、 11D 12 A 1325 1432 156 16(,1)17（）2coscos0acBbA,sin2sincossin cos0ACBBA，sin cossin cos2sin cos0ABBACB,sin2cos sin0ABBC，sinsinABC.1cos2B,20,3BB.()由余弦定理得221922acac，2229,9acacacac，32 3,3,2 3abcbac ，3ac，1133 3sin32224ABCSacB.18（1）由分层抽样性质，得到45003009015000；（2）由频率分布直方图得1 2 0.1 0.0250.75；（3）利用22列联表求2K.试题解析：
10、（1）由45003009015000，所以应收集 90 位女生的样本数据。（2）由频率发布直方图得1 2 0.1 0.0250.75，该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率为 0.75.（3）由（2）知，300 位学生中有 3000.75=225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时，75 人平均体育运动时间不超过 4 小时，又因为样本数据中有 210 份是关于男生的，90 份是关于女生的，所以平均体育运页 7第 动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过 4 小时 1
11、65 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得2230045 6030 1654.7623.84175 225 210 90K 有 95的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”19（1）由已知90BAPCDP，得ABAP，CDPD 由于AB/CD，故ABPD，从而AB平面PAD 又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F，由（1）可知，AB 平面PAD，故ABPF，可得PF 平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由（1）及已知可得2,0,02A，20,0,2
12、P，2,1,02B，2,1,02C.所以22,1,22PC，2,0,0CB，22,0,22PA，0,1,0AB.设,nx y z是平面PCB的法向量，则 页 8第 0,0,n PCn CB 即220,2220,xyzx可取0,1,2n .设,mx y z是平面PAB的法向量，则 0,0,m PAm AB即220,220.xzy可取1,0,1m.则3cos,3n mn mn m，所以二面角APBC的余弦值为33.20（）2 2 6,33P抛物线E：220ypx p一点 2p，即抛物线E的方程为24yx，1,0F 221ab 又2 2 6,33P在椭圆C：22221xyab上 2248193ab，
13、结合221ab知23b（负舍），24a，椭圆C的方程为22143xy，抛物线E的方程为24yx.（）由题可知直线1l斜率存在，设直线1l的方程1yk x，11223344,A x yB xyC x yD xy 当0k 时，4AB，直线2l的方程1x，4CD，故182ACBDSAB CD 页 9第 当0k 时，直线2l的方程为11yxk，由221143yk xxy得22223484120kxk xk.221212228412,3434kkxxx xkk 由弦长公式知222121212114ABkxxkxxx x 2212143kk.同理可得241CDk.222222121241114122434
14、3ACBDkkSAB CDkkk.令21,1,tkt，则2222424244141124ACBDtStttt，当1,t时，2110,1,243tt，2483ACBDS 综上所述：四边形ACBD面积的最小值为 8.21（）f x的定义域为R，2exfxxa，若0a，则e0 xa，所以当,2x 时，0fx；当2,x 时，0fx，所以 f x在,2 上递减，在2,递增.所以2x 为 f x唯一的极小值点，无极大值，故此时 f x有一个极值点.若0a，令 2e0 xfxxa，则12x ，2lnxa，当2ea 时，2lna，则当,2x 时，0fx；当2,lnxa 时，0fx；当ln,xa时，0fx.页
15、10第 所以2，lna分别为 f x的极大值点和极小值点，故此时 f x有 2 个极值点.当2ea 时，2lna，(2)e0 xfxxa且不恒为 0，此时 f x在R上单调递增，无极值点 当2e0a时，2lna，则当,lnxa 时，0fx；当ln,2xa时，0fx；当2,x 时，0fx.所以lna，2 分别为 f x的极大值点和极小值点，故此时 f x有 2 个极值点.综上，当2ea 时，f x无极值点；当0a 时，f x有 1 个极值点；当2ea 或2e0a时，f x有 2 个极值点.（）证明：若002xx 是 f x的一个极值点，由（）可知 22,ee,0a ，又 222e2efa，所以2
16、,ea ，且02x ，则0lnxa，所以 201lnln2ln22fxfaaaa.令 ln2,ta，则tae，所以 21lne222tg tfatt，故 14 e2tg tt t 又因为2,t，所以40t，令 0g t，得0t.当2,0t 时，0g t，g t单调递增，页 11第 当0,t时，0g t，g t单调递减，所以0t 是 g t唯一的极大值点，也是最大值点，即 01g tg，故ln1fa，即 01f x.22解：（1）l的直角坐标方程为260 xy 曲线C的普通方程为22134xy（2）设3cos,2sinP，则4sin()635d 当sin()13 时，d最大，3(,1)2P，2 5maxd，23解：（1）当3x时，不等式化为342xx ，此时2.53x，当34x时，不等式化为342xx，成立，当4x 时，不等式化为342xx，此时44.5x，综上所述，原不等式的解集为2.5,4.5；（2）柯西不等式得2222211(2)(3)()23xyxy，因为2223(0)xya a，所以25()6xya，（当23xy时，取等号），又因为xy的最大值为 1，所以65a.