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1、高考解答题突破(二)三角函数与解三角形 突破“三变”变角、变式、变名 思维流程 技法点拨 1常用的变角技巧：(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用如：()()，2()()，2()()，22，222.2常用的变式技巧：主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及 sinxcosx、sinxcosx的问题，常做换元处理，如令tsinxcosx 2，2，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦
2、定理化边为角或化角为边等 3常用的变名技巧：(1)诱导公式如 sin2cos，sin32cos.(2)切弦互化tansincos.考向一 三角变换与三角函数的性质 1三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等 2研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解 解(1)f(x)的定义域为x x2k，kZ.(2)令z2x3，则函数y2sinz的单调递增区间是22k，22k，kZ.由22k2x322k，kZ，得12kx512k，kZ.设A4
3、，4，B12k，512k，kZ，易知AB12，4.所以当x4，4时，f(x)在区间12，4上单调递增，在区间4，12上单调递减 解答此类问题的关键在于“变”，其思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍，幂升一次，角减半”对点训练 1(2018黄冈中学模拟)已知函数f(x)2 3sinxcosx2cos2x(0)，且f(x)的最小正周期为.(1)求的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x0，2时，函数g(x)的最大值 解(1)由题意知f(x)3sin2x1cos2x 2sin2x61，T，22，1，f
4、(x)2sin2x61，令22k2x6322k，kZ，得 6kx23k，kZ.函数f(x)的单调递减区间为6k，23k，kZ.(2)g(x)2sin2x661 2sin2x61，当x0，2时，62x656，当 2x62，即x3时，g(x)max2113.考向二 解三角形 1利用正弦、余弦定理完成边与角的互化，结合三角公式达到求值的目的 2利用正弦、余弦定理进行有关的判断或证明 解 题 指 导 (1)acosC 3asinCbc0正弦定理化为角的关系式 求出A AD2AB2BD22ABBDcosB，即129425x21449x225x127x17，解得x1，所以a7，c5，故SABC12acsi
5、nB10 3.解答此类题目思路是“先变后解”，一是优先判断所给的等式的特点，正确分析已知等式的边角关系，合理地判断边往角化，还是角往边化；二是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等进行三角形中边角关系的互化 对点训练 2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC 3(acosBbcosA)(1)求角C；(2)若c2 3，求ABC面积的最大值 解(1)ctanC 3(acosBbcosA)，sinCtanC 3(sinAcosBsinBcosA)，sinCtanC 3sin(AB)3sinC，0C，sinC0.tanC 3，C60.(2)c2 3，C60，由余弦定理c2a2
6、b22abcosC，得 12a2b2ab2abab，ab12，SABC12absinC3 3，当且仅当ab2 3时，ABC的面积取得最大值 3 3.考向三 平面向量与三角函数、解三角形 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题 解题指导(1)mnsin2C向量运算角的关系式 求出C 破解平面向量与“三角”
7、交汇题的关键 3 点 一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形 对点训练 3(2018沈阳二模)在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cosA，sinA)，向量n(2sinA，cosA)，若|mn|2.(1)求角A的大小(2)若b4 2，且c 2a，求ABC的面积 解(1)mn
8、(2cosAsinA，sinAcosA)，|mn|2cosAsinA2sinAcosA2，42 2(cosAsinA)4，即 cosAsinA.0A0)，且函数的最小正周期为2.(1)求a的值；(2)求f(x)在0，4上的最大值和最小值 解 (1)函 数f(x)23 sinax4cosax42cos2ax4(a0)，化简可得f(x)3sin2ax2cos2ax21 3cos2axsin2ax12sin2ax31，函数的最小正周期为2，即T2.由T22a，可得a2，a的值为 2.故f(x)2sin4x31.(2)x0，4时，4x33，23.当 4x33时，函数f(x)取得最小值为 21210，当
9、 4x32时，函数f(x)取得最大值为 2113.f(x)在0，4上的最大值为 3，最小值为 0.2 已知角A，B，C是ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m2 3sinA2，cos2A2，ncosA2，2，mn.(1)求角A的大小(2)若a2，cosB33，求b的长 解(1)m2 3sinA2，cos2A2，ncosA2，2，且mn，mn0.2 3sinA2cosA22cos2A23sinAcosA10，即3sinAcosA1，整理得 2sinA61，即 sinA612.0A，6A656.A66，即A3.(2)在ABC中，A3，a2，cosB33，sinB 1cos2B63.由正弦
10、定理asinAbsinB得，basinBsinA263324 23.3(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若DC2 2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得 BDsinAABsinADB.由题设知，5sin452sinADB，所以 sinADB25.由题设知，ADB90，所以 cosADB 1225235.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB25.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC258252 22525.所以BC5.4在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，
11、且 4sinAcos2A 3cos(BC)sin3A 3.(1)求A的大小；(2)若b2，求ABC面积的取值范围 解(1)ABC，cos(BC)cosA，3A2AA，sin3Asin(2AA)sin2AcosAcos2AsinA，又 sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，将代入已知，得 2sin2AcosA 3cosAsin2AcosAcos2AsinA 3，整理得 sinA 3cosA 3，即 sinA332，又A0，2，A323，即A3.(2)由(1)得BC23，C23B，ABC为锐角三角形，23B0，2且B0，2，解得B6，2，在ABC中，由正弦定理得2sinBcsinC，c2sinCsinB2sin23BsinB3tanB1，又B6，2，1tanB(0，3)，c(1,4)，SABC12bcsinA32c，SABC32，2 3.