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1、第 1 页 共 16 页 2020 届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 1已知集合1,2,3,4,5A，|3Bxx ，则AB（）A5 B 1,2 C3,4,5 D4,5【答案】D【解析】首先求出集合B，再根据交集的定义，即可得解.【详解】解：因为|3Bxx|3Bx x，1,2,3,4,5A 4,5AB.故选：D【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2复数5izi上的虚部为（）A526 B526i C526 D526i【答案】A【解析】化简得到152626zi计算虚部得到答案.【详解】515262626iizi，所以5izi的虚部为526.故选：A【点睛】本题考查了复数
2、虚部的计算，属于简单题.3 若双曲线22214xya0a 的实轴长为2 2，则该双曲线的渐近线方程为（）A12yx B22yx C 2yx D2yx 【答案】D【解析】根据实轴长得到2a，再根据渐近线公式得到答案.第 2 页 共 16 页【详解】22 2a，2a，双曲线的渐近线方程为222byxxxa .故选：D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型.4已知，是两个不同的平面，m，l，是两条不同的直线，且，m，l，则“ml”是“m”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】
3、若ml，则根据面面垂直的性质定理可得m；若m，则由l，可得ml.故选：C【点睛】本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.5一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以0a a 得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A这组新数据的平均数为m B这组新数据的平均数为am C这组新数据的方差为an D这组新数据的标准差为a n【答案】D【解析】计算得到新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为a n，结合选项得到答案.【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为a n.故选：D【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关
4、系是解题的关键.第 3 页 共 16 页 6设函数 ln,0,1,0,xxfxg xx若 f x是奇函数，则 2eg（）A3 B2 C1 D1【答案】A【解析】先求出2ef的值，再根据奇函数的性质()()fxf x，可得到 2ef的值，最后代入 22e(e)1fg，可得到答案.【详解】f x是奇函数 222eelne2 ff 22ee13gf 故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.7第 28 届金鸡百花电影节将于 11 月 19 日至 23 日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，南方车站的聚会 春江水暖 第一次的离别 春潮 抵达之谜五部优秀作品将在电影节进行
5、展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则春潮与抵达之谜至少有一部被选中的概率为（）A12 B35 C710 D45【答案】C【解析】分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有 10 种,再找到春潮与抵达之谜至少有一部的情况,共有 7 部,求出概率即可【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（南方车站的聚会，春江水暖），（南方车站的聚会，第一次的离别），（南方车站的聚会，春潮），（南方车站的聚会，抵达之谜），（春江水暖，第一次的离别），（春江水暖，春潮，（春江水暖，抵达之谜），（第一次的离别，春潮）（第一次的离别，抵达之谜），（春潮，抵达之谜），共 10 种情况
6、，其中春潮与抵达之谜至少有一部被选中的有 7 种，故所求概率为710 第 4 页 共 16 页 故选：C【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题 8 将曲线sin 2yx向左平移0 个单位长度，得到的曲线关于直线12x对称，则的最小值为（）A12 B4 C6 D3【答案】C【解析】根据相位变换规则求出变换后的解析式，由曲线关于直线12x对称，得到关于的关系式，即可求出最小值.【详解】解：由题意，将曲线sin 2yx向左平移0 个单位长度，可得sin2sin 22yxx，因为sin 22yx关于直线12x对称，所以22122kkZ，所以62kkN，则的最小值
7、为6.故选：C【点睛】本题考查正弦函数的相位变换，以及正弦函数的对称性，属于基础题.9已知等比数列 na的前n项和为nS，且54S，1010S，则15S（）A16 B19 C20 D25【答案】B【解析】利用5S，105SS，1510SS成等比数列求解【详解】因为等比数列 na的前n项和为nS，所以5S，105SS，1510SS成等比数列，因为54S，1010S，所以1056SS，15109SS，故1510919S.故选：B【点睛】本题考查等比数列前 n 项性质，熟记性质是关键，是基础题 第 5 页 共 16 页 10在三棱锥ABCD中，ADCD，2ABBC，5AD，3CD，则该三棱锥的外接球
8、的表面积为（）A8 B9 C10 D12【答案】A【解析】通过证明ABBC，又ADCD，可得AC的中点O为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为2AC，再利用球的面积公式求得.【详解】解：因为ADCD，5AD，3CD，所以2 2AC.因为2ABBC，所以222ABBCAC，所以ABBC，则AC的中点O为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为2，其表面积为 2428.故选：A【点睛】本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题.11已知函数 1 cos2cosxf xx，20g xaxa.若1xR，21,2x，12f xg x，则a的取值范围是（）A21,3 B2,23 C4,23 D4
9、,3【答案】C【解析】根据条件求出 f x的值域，与 g x的值域，由1xR，21,2x，12f xg x，可得两值域的包含关系，即可求得参数a的取值范围.【详解】解：因为 2cos1112cos2cosxf xxx，1 2cos3x剟，所以 f x的值域为20,3.因为0a，所以 g x在1,2上的值域为2,22aa，依题意得20,2,223aa，则 第 6 页 共 16 页 2 0,222,3aa解得423a剟.故选：C【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.12已知椭圆22221xyab0ab的左、右焦点分别为1F，2F，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为12PFF
10、的内心，且1221IPFIF FIPFSSS，若椭圆的离心率为e，则（）A1e B2e Ce D2e【答案】A【解析】设12PFF内切圆的半径为r，根据题意化简得到1212FFPFPF，代入数据计算得到答案.【详解】设12PFF内切圆的半径为r 则1112IPFSr PF，2212IPFSr PF，1 21212IF FSr FF 1221IPFIF FIPFSSS，112211222r PFr FFr PF 整理得1212FFPFPF.P为椭圆上的点，22ca，解得1e.故选：A【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到1212FFPFPF是解得的关键.二、填空题 13设x，
11、y满足则220,220,20,xyxyxy则3zxy的最小值是_.【答案】-4【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优第 7 页 共 16 页 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示，当直线3zxy经过点2,2时，min23 24z .故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题 14若函数()exf xmx在 2,0上为减函数，则m的取值范围为_.【答案】1,【解析】将问题转化为导函数在2,0上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出m的取值范围.【详解】由题意可知()e0 xfxm，即xme对
12、2,0 x 恒成立，所以 maxxme，所以0e1m 即1,m.故答案为：1,.【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数 f x为指定区间的单调增(或减)函数，则 00fxfx在指定区间上恒成立.第 8 页 共 16 页 15最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题，我国的九章算术也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早 500 多年发现勾股定理.现有ABC满足“勾 3 股 4 弦 5”，其中4AB，D为弦BC上一点（不含端点），且ABD满足勾股定理，则CBCAAD_.【答案】14425【解析】根据条件求
13、出AD，结合向量投影的定义即可求解【详解】解：由等面积法可得341255AD，依题意可得，ADBC，所以214425CBCAADAB ADAD.故答案为：14425【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影定义，属于基础题 16在数列 na中，13a，且12221nnaann.（1）na的通项公式为_；（2）在1a、2a、3a、2019a这2019项中，被10除余2的项数为_【答案】222nann 403 【解析】（1）根据题意得知数列2nan为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列2nan的通项公式，即可求出na；（2）设222102nannkkZ，可得出1021knn，由21
14、n为奇数，可得出n为10的倍数或21n为5的奇数倍且n为偶数，求出两种情况下n值的个数，相加即可得出答案.【详解】（1）12221nnaann且1211a，所以，数列2nan是以1为首项，以2为公差的等差数列，212121nannn，222nann；第 9 页 共 16 页（2）被10整除且余数为2的整数可表示为102kkZ，令222102nannk，可得1021knn，nN，且12019n，则21n为奇数，则n为10的倍数，或者21n为5的奇数倍且n为偶数.当n为10的倍数时，n的取值有：10、20、30、2010，共201个；当21n为5的奇数倍且n为偶数时，n的取值有：8、18、28、2
15、018，共202个.综上所述，在1a、2a、3a、2019a这2019项中，被10除余2的项数为201 202403.故答案为：222nn；403.【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题 17 某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）0,15 15,30 30,45 45,60 60,75 75,90 人数 10 15 20 15 20 10 （1）求购买金额不少于 45 元的频率；（2）根据以上数据完成22列
16、联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60 元与性别有关.不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 第 10 页 共 16 页 附：参考公式和数据：22n adbcKabcdacbd，nabcd .附表：0k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 20P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 【答案】（1）12（或 0.5）；（2）列联表见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60 元与性别有关.【解析】（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于 45 元的频率；（2）完善列联表，计算出2K跟
17、参考数据比较得出结论.【详解】解：（1）购买金额不少于 45 元的频率为1520 101902.（2）22列联表如下：不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 12 40 52 女 18 20 38 合计 30 60 90 229012 2040 18144053.84130 60 52 38247K，因此有95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关.【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题.18在ABC中，角A，B、C的对边分别为a，b，c，且3cossinabAB.（1）求A；第 11 页 共 16 页（2）若2a，且cos2sinsincosBCBC
18、C，求ABC的面积.【答案】(1)6A.(2)3【解析】（1）根据正弦定理得到3tan3A，计算得到答案.（2）化简得到coscosBCC，即AC，再计算得到2ac，代入面积公式得到答案.【详解】（1）3cossinsinabaABA，3tan3A.0,A，6A.（2）cos2sinsincosBCBCC coscossinsin2sinsincosBCBCBCC，coscosBCC，即coscosAC，即AC.6A，23B.2a，2ac.113sin2 23222ABCSacB .【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.19如图，在正方体1111ABCDABC D中，F
19、，G分别是棱1CC，1AA的中点，E，M分别为棱AB，11AB上一点，113B MMA，且GM P平面1B EF.（1）证明：E为AB的中点.（2）若四棱锥1FB MGE的体积为32，求正方体1111ABCDABC D的表面积.【答案】（1）见解析；（2）24【解析】（1）取11AB的中点N，连接AN，可证GMANP，再由线面平行得到1ANB EP，又1B NAEP，所以四边形1AEB N为平行四边形，即可得证.第 12 页 共 16 页（2）设棱长为a，易知F到平面11ABB A的距离为a，由1113FB MGEB MGEVh S 求出a的值，即可求出表面积.【详解】解：（1）证明：取11A
20、B的中点N，连接AN 因为113B MMA，所以M为1A N的中点，又G为1AA的中点，所以GMANP.因为GM P平面1B EF，GM 平面11ABB A，平面11ABB A平面11B EFB E.所以1GMB EP，即1ANB EP.又1B NAEP，所以四边形1AEB N为平行四边形，则1AEB N，所以E为AB的中点.（2）设ABa，则1AMG，AGE，1BEB的面积分别为2a16，28a，24a，易知F到平面11ABB A的距离为a，所以11222321133331684162FB MGEB MGEaaaaVh Saa，解得2a，故所求正方体的表面积为2624a.【点睛】本题考查锥体
21、的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.20已知直线l与抛物线C：24yx交于A，B两点，002,0Myy 为弦AB的中点，过M作AB的垂线交x轴于点P.（1）求点P的坐标；（2）当弦AB最长时，求直线l的方程.【答案】(1)4,0.(2)22yx或22yx.【解析】（1）设11,A x y，22,B x y，,0PP x代入抛物线相减得到02ky，再根第 13 页 共 16 页 据1MPkk 计算得到答案.（2）直线l的方程为22yk xk，联立方程，根据韦达定理得到124yyk，212288ky yk，代入计算得到 2219224f tttt 得到答案.【详解】（1）设11,A x y，
22、22,B x y，,0PP x，则21122244yxyx，两式相减得1212124yyyyxx.因为00y，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，所以121212042yykxxyyy.因为1MPkk，所以00022MPPyykx，解得4Px，所以点P的坐标为4,0.（2）由（1）知，直线l的斜率一定存在，且不为 0，设直线l的斜率为k，则02ky，即02yk，所以直线l的方程为22yk xk.联立24,22,yxyk xk得2224880k ykyk，则124yyk，212288ky yk.由222164880kkk，可得212k，所以212222111142AByykkk.设21
23、02ttk，令 2219224f tttt ，可知 max1924f tf，此时2112tk，即2k ，所以当弦AB最长时，直线l的方程为22yx或22yx.第 14 页 共 16 页【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.21已知函数 e2xf xaxa，lng xx.（1）讨论 f x的单调性；（2）用,max m n表示m，n中的最大值，已知2a，求函数 max,0h xf xg xx的零点的个数.【答案】（1）f x在,ln 2a上单调递减，在 ln 2,a上单调递增；（2）零点个数为 1【解析】（1）求出定义域、导函数，对a分类讨论，可得单调
24、区间；（2）由当1,x时，ln0g xx，可知函数 h x在1,上不存在零点，当1x，分别计算函数值，可知1x 是 h x的零点，由（1）知 h x在0,1上无零点.【详解】解：（1）函数 f x的定义域为R，且 e2xfxa.当0a 时，0fx对xR恒成立，所以 f x在R上单调递增.当0a 时，令 0fx，得 ln 2xa，当,ln 2xa 时，0fx；当 ln 2,xa时，0fx.所以 f x在,ln 2a上单调递减，在 ln 2,a上单调递增.（2）当1,x时，ln0g xx，从而 max,0h xf xg xg x，所以 h x在1,上无零点.当1x 时，1e60f，10g，所以1x
25、 是 h x的零点.当0,1x时，ln0g xx，所以 h x在0,1上的零点个数只需要考虑 f x在0,1上的零点个数.由（1）知，e42xf xx在0,1上单调递减，所以 010f xf ，从而 h x在0,1上无零点 第 15 页 共 16 页 综上，h x的零点个数为 1.【点睛】本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22212xtyt （t为参数），曲线C的参数方程为cossinxmyan（0m，0n，为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为8sin.（1）求a，m，n的值；（2
26、）已知点P的直角坐标为0,1，l与曲线C交于A，B两点，求PAPB.【答案】（1）4amn；（2）46.【解析】（1）根据极坐标方程得到22416xy，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到23 270tt，根据韦达定理得到123 20tt，1 270t t ，计算12PAPBtt得到答案.【详解】（1）由8sin，得28 sin，则228xyy，即22416xy.因为0m，0n，所以4amn.（2）将22212xtyt 代入22416xy，得23 270tt.设A，B两点对应的参数分别为1t，2t，则123 20tt，1 270t t .所以12121 2446tttPPBtA
27、t t.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.23已知函数 3124f xxx.（1）求不等式 3f x 的解集；第 16 页 共 16 页（2）若对任意xR，不等式 228f xxtt恒成立，求t的取值范围.【答案】（1）4,10,5；（2）1t 或9t.【解析】（1）分别计算1x ，12x，2x 三种情况，综合得到答案.（2）化简得到 23336f xxxx，利用绝对值三角不等式得到 29f xx，解不等式289tt计算得到答案.【详解】（1）当1x 时，31243f xxx，解得10 x；当12x 时，31243f xxx，解得45x，则425x；当2x 时，31243f xxx，解得4x ，则2x.综上所述：不等式 3f x 的解集为4,10,5.（2）231242f xxxxx 3132xx 3336xx 33369xx，当2x 时等号成立.若对任意xR，不等式 228f xxtt恒成立，即289tt，解得1t 或9t.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.