《2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题(解析版)5628.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题(解析版)5628.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 22 页 2020 届山东省德州市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1 已知全集U R，2|9Ax x，|24Bxx，则RABI 等于（）A|32xx B|34xx C|23xx D|32xx 【答案】D【解析】解出集合A，然后利用补集和交集的定义可求出集合RABI.【详解】2933Ax xxx Q，24Bxx，则2UBx x 或4x，因此，32RABxx .故选：D.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2已知复数z满足13zi （其中i为虚数单位），则zz（）A1322i B13i22 C1322i D1322i【答
2、案】B【解析】求出z，结合共轭复数的概念可求出zz的值.【详解】13zi Q，22132z，因此，1313222ziiz .故选：B.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题.第 2 页 共 22 页 3“1,2x，210ax ”为真命题的充分必要条件是（）A1a B14a C2a D0a 【答案】A【解析】利用参变量分离法得出21ax，求出函数21yx 在区间1,2上的最小值，即可得出实数a的取值范围，即可得出答案.【详解】Q“1,2x，210ax ”为真命题，21ax 对任意的 1,2x恒成立，由于函数21yx 在区间1,2上单调递增，则min1y，1a
3、.故选：A.【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.4已知向量ar，br满足1a r，2b r，313abab rrrr，则ar与br的夹角为（）A6 B3 C23 D56【答案】C【解析】设ar与br的夹角为，将等式313abab rrrr展开后可求出cos的值，即可求出ar与br的夹角.【详解】2232313ababaa bb rrrrrr rrQ，即21113a b r r，得1a b r r，则1cos2a bab r rrr，0Q，23.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解
4、题时要熟悉平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于中等题.5 已知123 2ab，212log23cbxx，则实数a，b，c的大小关系是（）Aabc Bbac Ccba Dacb 第 3 页 共 22 页【答案】A【解析】由123 2ab 结合指数运算律可得出ab，由对数函数的单调性可得出cb，由此可得出三个实数的大小关系.【详解】123 2ab Q，1232a b，1 1ab ，则ab.2223122xxxQ，21122log23log 21cbxx ，bc.因此，abc.故选：A.【点睛】本题考查数的大小比较，涉及了指数的运算以及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6中
5、国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）A166 B155 C566 D511【答案】C【解析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时
6、共有2 3 1060 种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有1 4 1040 种.因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为31260401005132066A.故选：C.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.第 4 页 共 22 页 7 双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点为12 2,0F，点A的坐标为0,1，点P为双曲线左支上的动点，且1APF周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（）A2 B3 C2 D2 2【答案】D【解析】作出图形，取该双曲线的左焦点F，利用双曲线的定义
7、得出12PFPFa，从而可得出1APF的周长为1112APAFPFAFAPPFa，利用A、P、F三点共线时，1APF的周长取得最小值，可求出a的值，进而求出该双曲线的离心率.【详解】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F，由双曲线的定义可得12PFPFa，所以，1APF的周长为11123262APAFPFAFAPPFaAFaa，当且仅当A、P、F三点共线时，1APF的周长取得最小值，即628a，解得1a.因此，该双曲线的离心率为2 22 2ea.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也涉及了与焦点相关的三角形周长最值的计算，利第 5 页 共 22 页 用双曲线的定义转化是解题的关键，
8、考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8对于数列 na，规定na为数列 na的一阶差分数列，其中*1nnnaaanN，对自然数2k k，规定kna为数列 na的k阶差分数列，其中111kkknnnaaa.若11a，且2*12nnnnaaan N，则数列 na的通项公式为（）A212nnan B12nnan C212nnan D1212nnan【答案】B【解析】根据题中定义结合等式2*12nnnnaaan N可得出122nnnaa，等式两边同时除以12n，可得出111222nnnnaa，可知数列2nna是以12为首项，以12为公差的等差数列，求出数列2nna的通项公式，即可得出na.【详解】
9、根据题中定义可得2*1112nnnnnnnnaaaaaana N，即1122nnnnnnnnaaaaaaa，即122nnnaa，等式两边同时除以12n，得111222nnnnaa，111222nnnnaa且1122a，所以，数列2nna是以12为首项，以12为公差的等差数列，1112222nnann，因此，12nnan.故选：B.【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题.9 已知 f x为定义在R上的奇函数，当0 x 时，有 1f xf x，且当0,1x时，2log1f xx，下列命题正确的是（）A201920200ff B
10、函数 f x在定义域上是周期为2的函第 6 页 共 22 页 数 C直线yx与函数 f x的图象有2个交点 D函数 f x的值域为1,1【答案】A【解析】推导出当0 x 时，2f xf x，结合题中等式得出 100ff，可判断出 A 选项的正误；利用特殊值法可判断 B 选项的正误；作出函数 yf x在区间1,1上的图象，利用数形结合思想可判断 C 选项的正误；求出函数 yf x在0,上的值域，利用奇函数的性质可得出函数 yf x的值域，可判断出 D 选项的正误.【详解】Q函数 yf x是R上的奇函数，00f，由题意可得 100ff，当0 x 时，21f xf xf x，201920202019
11、2020100ffffff，A 选项正确；当0 x 时，1f xf x，则2616log555ff ，2449log555ff ，4462555fff，则函数 yf x不是R上周期为2的函数，B 选项错误；若x为奇数时，10f xf，若x为偶数，则 00f xf，即当xZ时，0f x，当0 x 时，2f xf x，若nN，且当2,21xnn时，20,1xn，20,1f xf xn，当1,2x时，则10,1x，11,0f xf x ，当21,22xnn时，21,2xn，则 21,0f xf xn，所以，函数 yf x在0,上的值域为1,1，由奇函数的性质可知，函数 yf x在,0上的值域为1,1
12、，由此可知，函数 yf x在R上的值域为1,1，D 选项错误；第 7 页 共 22 页 如下图所示：由图象可知，当11x 时，函数yx与函数 yf x的图象只有一个交点，当1x或1x 时，1,1f x ，此时，函数yx与函数 yf x没有交点，则函数yx与函数 yf x有且只有一个交点，C 选项错误.故选：A.二、多选题 10已知点A是直线:20l xy上一定点，点P、Q是圆221xy上的动点，若PAQ的最大值为90o，则点A的坐标可以是（）A0,2 B1,21 C2,0 D21,1【答案】AC【解析】设点A的坐标为,2tt，可得知当AP、AQ均为圆221xy的切线时，PAQ取得最大值90o，
13、可得出四边形APOQ为正方形，可得出2OA，进而可求出点A的坐标.【详解】如下图所示：第 8 页 共 22 页 原点到直线l的距离为222111d，则直线l与圆221xy相切，由图可知，当AP、AQ均为圆221xy的切线时，PAQ取得最大值，连接OP、OQ，由于PAQ的最大值为90o，且90APOAQO o，1OPOQ，则四边形APOQ为正方形，所以22OAOP，由两点间的距离公式得2222OAtt，整理得222 20tt，解得0t 或2，因此，点A的坐标为0,2或2,0.故选：AC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位
14、置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11 针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（）人 附表：20P Kk 0.050 0.010 k 3.841 6.635 第 9 页 共 22 页 附：22n adbcKabcdacbd A25 B45 C60 D75【答案】BC【解析】设男生的人数为5n nN，列出22列联表，计算出2K的观测值，结合题中条件可得出关于n的不等式，解出n的取值范
15、围，即可得出男生人数的可能值.【详解】设男生的人数为5n nN，根据题意列出22列联表如下表所示：男生 女生 合计 喜欢抖音 4n 3n 7n 不喜欢抖音 n 2n 3n 合计 5n 5n 10n 则221042310557321nnnn nnKnnnn，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.8416.632K，即103.8416.63221n，得8.066113.9272n，nNQ，则n的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选：BC.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出22列联表，并结合临界值表列不等式求
16、解，考查计算能力，属于中等题.12已知抛物线2:2C ypx0p 的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若8AF，则以下结论正确的是（）A4p BDFFAuuu ruuu r C2BDBF D4BF 第 10 页 共 22 页【答案】ABC【解析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点A、B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则PFp，由于直线l的斜率为3，其倾斜角为60o，/AE xQ轴，60EAFo，由抛物线的定义可知
17、，AEAF，则AEF为等边三角形，60EFPAEF o，则30PEFo，228AFEFPFp，得4p，A 选项正确；2AEEFPFQ，又/PF AE，F为AD的中点，则DFFAuuu ruuu r，B 选项正确；60DAEo，30ADEo，22BDBMBF（抛物线定义），C 选项正确；2BDBFQ，118333BFDFAF，D 选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应第 11 页 共 22 页 用，属于中等题.三、填空题 13随机变量X的取值为0、1、2，00.2P X，0.4DX，则EX _.【答案】1【解析】设2P Xx，
18、可得出10.8P Xx，可求出EX的表达式，利用方差公式可求出x的值，即可求出EX的值.【详解】设2P Xx，其中00.8x，可得出10.8P Xx，0 0.2 10.820.8EXxxx ，2220.80.20.20.81.20.4DXxxxxx，解得0.2x，因此，0.20.81EX.故答案为：1.【点睛】本题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.14已知函数 sinf xAx0,0,|2A的最大值为3，其相邻两个零点之间的距离为2，且 f x的图象关于直线3x 对称，则当,6 6x 时，函数 f x的最小值为_.【答案】32【解析】根据
19、题中信息求得 3sin 26fxx，然后由,6 6x ，求出26x的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出 yf x的最小值.【详解】由题意可得 max3Af x，设函数 yf x的最小正周期为T，则22T，得T，第 12 页 共 22 页 22T，此时，3sin 2f xx.因为函数 yf x的图象关于直线3x 对称，则232kkZ，76kkZ，2Q，1k，6，则 3sin 26fxx.,6 6x Q，2662x，因此，函数 yf x在区间,6 6 上的最小值为33sin62.故答案为：32.【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上的最值，解题的关键就是
20、求出三角函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.156212xx的展开式中，常数项为_；系数最大的项是_.【答案】60 6240 x 【解析】求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.【详解】6212xx的展开式的通项为62612 366122kkkkkkCxCxx，令1230k，得4k，所以，展开式中的常数项为426260C；令662,6kkkaCkN k，令11nnnnaaaa，即61766615662222nnnnnnnnCCCC，解得4733n，nNQ，2n，因此，展开式中系数最大的项为246662240Cx
21、x.故答案为：60；6240 x.【点睛】第 13 页 共 22 页 本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，5AD，3ED，若鳖臑PADE的外接球的体积为9 2，则阳马PABCD的外接球的表面积等于_.【答案】20【解析】求出鳖臑PADE的外接球的半径1R，
22、可求出PA，然后求出正方形ABCD的外接圆半径2r，利用公式22222PARr可求出阳马PABCD的外接球半径2R，然后利用球体的表面积公式可得出答案.【详解】Q四边形ABCD是正方形，ADCD，即ADCE，且5AD，3ED，所以，ADE的外接圆半径为221222AEADEDr，设鳖臑PADE的外接球的半径1R，则3149 23R，解得13 22R.PA Q平面ADE，22112PARr，可得22111022PARr，10PA.正方形ABCD的外接圆直径为22210rACAD，2102r，PA Q平面ABCD，所以，阳马PABCD的外接球半径222252PARr，第 14 页 共 22 页 因
23、此，阳马PABCD的外接球的表面积为22420R.故答案为：20.【点睛】本题考查球体表面积和体积的计算，同时也涉及了多面体外接球问题，解题时要分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.四、解答题 17已知数列 na的前n项和为nS，且0na，242nnnSaa.（1）求数列 na的通项公式；（2）若11nnnSSbSS，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）2nan；（2）11112nTnn.【解析】（1）令1n，求出1a的值，令2n，由242nnnSaa得出211142nnnSaa，两式相减，利用等差数列的定义可得出数列 na为等差数列，确定该等差数列的首项和公差
24、，利用等差数列的通项公式可求出na；（2）求出nS，可得出11112nbnn，然后利用分组求和法与裂项求和法可求出nT.【详解】（1）当1n 时，211142aaa，整理得2112aa，10a Q，解得12a；当2n 时，242nnnSaa，可得211142nnnSaa，得2211422nnnnnaaaaa，即221120nnnnaaaa，化简得1120nnnnaaaa，因为0na，10nnaa，所以12nnaa，从而 na是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2212nann；（2）由（1）知122122nnn aannSn n，因为11111111111212nnnnSSbSSSSn nn
25、n，第 15 页 共 22 页 1211111111112223212nnTbbbnn 111111111112231212nnnnn.【点睛】本题考查由na与nS的关系求数列通项，同时也考查了分组求和法与裂项求和法，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.18已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个：2 633()baaccab；2cos22cos12AA；6a；2 2b.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【答案】（1），或，；
26、（2）3.【解析】（1）由可求得cosB的值，由可求出角A的值，结合题意得出AB，推出矛盾，可得出不能同时成为ABC的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC的面积.【详解】（1）由2 633baaccab得，22232 6acbac，所以2226cos23acbBac，由2cos22cos12AA得，22coscos10AA，解得1cos2A或cos1A（舍），所以3A，因为61cos32B ，且0,B，所以23B，所以AB，矛盾.所以ABC不能同时满足，.故ABC满足，或，；第 16 页 共 22 页（
27、2）若ABC满足，因为2222cosbacacB，所以2686263cc ，即2420cc.解得62c.所以ABC的面积1sin322SacB.若ABC满足，由正弦定理sinsinabAB，即62 2sin32B，解得sin1B，所以2c，所以ABC的面积1sin32SbcA.【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.19如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF、AF上的点，且EDCF，现沿DC把CDF剪切、拼接成如图（2）的图
28、形，再将BEC，CDF，ABD沿BC，CD，BD折起，使E、F、A三点重合于点A，如图（3）.（1）求证：BACD；（2）求二面角BCDA最小时的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】（1）利用图形翻折的几何关系可得出BAAC，BAA D，然后由直线与平面垂直的判定定理可得出 BA平面ACD，由此可证明出BACD；（2）以A为原点，AC、A D、A B分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，令ACa，ADb，可得出2ab，求出平面BCD和平面ACD的法向量，然后利用空间向量法结合基本不等式可求出二面角BCDA最小时的余弦值.【详解】第 17 页 共 22 页（1）折叠前BEEC，
29、BAAD，折叠后BAAC，BAA D，又ACADA，所以 BA平面ACD，因此BACD；（2）由（1）及题意知A CA D，因此以A为原点，AC、A D、A B分别 为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：令ACa，ADb，2ab，所以,0,0C a，0,0Db，0,0,2B 设平面BCD法向量为,mx y zu r 则00m BCm BDuuu vvuuu vv所以2020axzbxz，令1z，则2 2,1ma bu r 又平面ACD法向量为0,0,1m u r，设二面角BCDA的大小为，所以221cos1411m nm nabu r ru r r，又22224412119bababaabab
30、abab ，当且仅当1ab取等号，所以1cos3.所以二面角BCDA最小时的余弦值为13.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质来证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法来计算二面角的余弦值，涉及了利用基本不等式求最值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.20 顺次连接椭圆2222:10 xyCabab的四个顶点恰好构成了一个边长为7且面积为4 3的菱形.第 18 页 共 22 页 （1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C相切于点A，过点O作OMl，垂足为M，求AMO面积的最大值.【答案】（1）22143xy；（2）14.【解析】（1）根据题意列出关于a、b的方程组，解出这两个量，即可
31、得出椭圆C的标准方程；（2）结合题意可知，直线l斜率存在且不为0，可设直线l的方程为ykxt，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，利用0，得出2243tk，求出点A的横坐标，并求出点M的横坐标以及OM、AM，然后利用基本不等式结合三角形的面积公式可求出ABM面积的最小值.【详解】（1）由题意可得221224 327abab，解得：2a，3b，故椭圆C的方程为22143xy；（2）显然直线l斜率存在且不为0，设直线:l ykxt，联立223412ykxtxy，得2223484120kxktxt，且2 222644 344120k tkt，得2243tk，所以2842 34Aktkxtk，联立1yx
32、kykxt，得21Mktxk，所以2221|111kttOMkkk，第 19 页 共 22 页 则22411kktAMktk 3222244111kkkktkt ktk，所以222111111122212411AMOktkSAMOMktkkkk，故ABM面积最大值为14，当且仅当1k 时成立.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，涉及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.21已知函数 2ln22f xxaxax（a为常数）.（1）若 f x在 1,1f处的切线与直线30 xy垂直，求a的值；（2）若0a，讨论函数 f x的单调性；（3）若a为正整数，
33、函数 f x恰好有两个零点，求a的值.【答案】（1）4a；（2）见解析；（3）1a.【解析】（1）由题意得出 13f，即可求出实数a的值；（2）由0a，可得出10a，对1a与12的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号，可得出函数 yf x的单调增区间和减区间；（3）分1a、2a 和2a 三种情况讨论，结合（2）中函数 yf x的单调性以及零点存在定理来判断出函数 yf x的零点个数，可得出整数a的值.【详解】（1）由题意0 x，121122axxfxaxaxx，则 11fa，由于函数 yf x的图象在 1,1f处的切线与直线30 xy垂直，则 1113f ，所以 113fa，因此，4a；（2）
34、0a Q，则10a.若02a时，112a，第 20 页 共 22 页 当102x或1xa时，0fx，112xa时，0fx，所以 yf x在10,2和1,a单调递增，在1 1,2 a单调递减，若2a 时，112a，对0 x，0fx恒成立，yf x在0,单调递增；若2a 时，112a，当10 xa或12x 时，0fx，112xa时，0fx，所以 yf x在10,a和1,2单调递增，在1 1,2a单调递减；（3）因为a为正整数，若02a，则1a，2ln32f xxxx，由（2）知 yf x在10,2和1,单调递增，在1,12单调递减，又 10f，所以 yf x在区间1,2内仅有1实根，1102ff，
35、又 24222330f eeeee，所以 yf x在区间10,2内仅有1实根.此时，yf x在区间0,内恰有2实根；若2a，yf x在0,单调递增，至多有1实根.若2a，2111111ln22ln1faaaaaaaa，令1ta，则102t，ln1ytt，110yt ，所以111ln1ln20222y .由（2）知 yf x在1 1,2a单调递减，在10,a和1,2单调递增，所以1102ffa，所以 yf x在0,至多有1实根.综上，1a.【点睛】第 21 页 共 22 页 本题考查利用切线斜率求参数、利用导数求含参数函数的单调区间以及利用导数研究函数的零点问题，一般结合函数的单调性与零点存在定
36、理来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22某公司为了了解年研发资金投人量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量ix和年销售额iy的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：2yx，x tye，其中、t均为常数，e为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令2iiux，ln1,2,12iivy i，经计算得如下数据：x y 1221iixx 1221iiyy u v 20 66 77 2 460 4.20 1221iiuu 121iiiuuyy 1221iivv 121iiixxvv 31250 215 3.08 14 （1）请从相关系数的
37、角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）（）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：相关系数 12211niiinniiiixxyyrxxyy，回归直线$yabx$中公式分别为：121niiiniixxyybxx$，aybx$；参考数据：308477，909.4868，4.499890e.【答案】（1）模型x tye的拟合程度更好；（2）（）0.180.56vx$；（）21.89亿元.第 22 页 共 22 页【解析】（1）计算出两个模型的相关系数，选择相关系数绝对值较大的模型拟合较好；（2）（）由（1
38、）可知，选择模型x tye拟合较好，变形得到ln yxt，即vtx，然后利用表格中的数据以及最小二乘法公式求出和t的值，即可得出回归方程；（）在所求回归方程中，令90y，结合题中参考数据可求出x的值，即可求解.【详解】（1）设 iu和 iy的相关系数为1r，ix和 iv的相关系数为2r，由题意，121112122211215430.8650312502iiiiiiiuuyyruuyy，12121212221114100.911177 3.08iiiiiiixxvvrxxvv，则12rr，因此从相关系数的角度，模型x tye的拟合程度更好；（2）（）先建立v关于x的线性回归方程，由x tye，得
39、ln ytx，即vtx；由于121122120.18211iiiiixxvvxx，24.20200.5611tvx，所以v关于x的线性回归方程为0.180.56vx$，所以$ln0.180.56yx，则$0.180.56exy；（）下一年销售额y需达到90亿元，即90y，代入$0.180.56exy，得0.180.5690 xe，又4 4998e90，所以4.49980.180.56x，所以4.49980.5621.890.18x，所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元.【点睛】本题考查利用相关系数选择回归模型，同时也考查了非线性回归模型的求解，以及利用回归方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.