《2020届上海市静安区高三上学期期末数学试题(解析版)5400.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届上海市静安区高三上学期期末数学试题(解析版)5400.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 14 页 2020 届上海市静安区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1“三个实数,a b c成等差数列”是“2bac”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可【详解】若“a，b，c成等差数列”，则“2ba+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2ba+c”的充分条件；若“2ba+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2ba+c”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“2ba+c”的充要条件，故选：C【点睛】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌
2、握充要条件的定义，是解答的关键 2设,x yR，若复数xiyi是纯虚数，则点(,)p x y一定满足（）Ayx B1yx Cyx D1yx 【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解【详解】由22111xiyixixyxyiyiyiyiyy是纯虚数，100 xyxy，得x0，y1x 故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 第 2 页 共 14 页 3若展开()(2)(3)(4)(5)aaaaa，则展开式中3a的系数等于（）A在2 3 4 5，中所有任取两个不同的数的乘积之和 B 在2 3 4 5，中所有任取三
3、个不同的数的乘积之和 C在2 3 4 5，中所有任取四个不同的数的乘积之和 D以上结论都不对【答案】A【解析】直接利用二项式展开式的应用求出结果【详解】展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数可以看成三个因式取a，其余的两个因式是从2 3 4 5，的 5 个数中任意取两个不同的数进行乘积，再作和 故选：A【点睛】本题考查的知识要点：二项式定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 4某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东2方向，且塔顶的仰角为8，此人驾驶游艇向正东方向行驶 1000 米后到达B处，此时测得塔
4、底位于北偏西39方向，则该塔的高度约为（）A265 米 B279 米 C292 米 D306 米【答案】C【解析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度 【详解】如图所示，ABC中，AB1000，ACB21+3960，ABC903951；由正弦定理得，10005160ACsinsin，所以AC10005160sinsin；RtACD中，CAD18，所以CDACtan1810005160sinsintan1810000.77710.86600.3249292（米）；所以该塔的高度约为 292 米 故选：C 第 3 页 共 14 页 【点睛】本题考查了三角形的边角关系
5、的应用问题，也考查了计算能力，是基础题 二、填空题 5计算lim(10.9)nn_.【答案】1【解析】利用极限的定义及运算法则直接得出【详解】因为lim0.90nn，所以lim(10.9)nn1.故答案为：1.【点睛】本题考查了极限的定义及极限的运算法则，属于基础题 6在单位圆中，60的圆心角所对的弧长为_.【答案】3【解析】由弧长公式即可算出结果【详解】由弧长公式l|r313，故答案为：3【点睛】本题主要考查了弧长公式，是基础题 7若直线1l和直线2l的倾斜角分别为32和152则1l与2l的夹角为_.【答案】60【解析】直接利用角的运算的应用求出结果 第 4 页 共 14 页【详解】直线l1
6、和l2的倾斜角分别为 32和 152，所以直线l1和l2的夹角为 180（15232）60 故答案为：60【点睛】本题考查的知识要点：直线的倾斜角及夹角的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 8若直线l的一个法向量为(2,1)n，则若直线l的斜率k _.【答案】2【解析】根据题意，分析可得直线l的方向向量为（1，k），进而分析可得mn 2+k0，解可得k的值，即可得答案【详解】根据题意，设直线l的斜率为k，则其方向向量为m（1，k），若直线l的一个法向量为n（2，1），则有mn 2+k0，解可得k2；故答案为：2【点睛】本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义
7、，属于基础题 9设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_个.【答案】128【解析】根据题意，分析可得 7 小时后，这种细胞总共分裂了 7 次，由等比数列的通项分析可得答案【详解】根据题意，7 小时后，这种细胞总共分裂了 7 次，则经过 7 小时，1 个此种细胞将分裂为个 27个；故答案为：128【点睛】本题考查等比数列的应用，注意分析分裂的次数，属于基础题 10 设ABC是等腰直角三角形，斜边2AB,现将ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_.【答案】23 第 5 页 共 14 页【解析】由题意知旋
8、转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积【详解】等腰直角三角形的直角边为2，斜边的高为 1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为 1，高为 1；所以几何体的体积为V2131223 故答案为：23【点睛】本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题 11如图，在平行四边形ABCD中，2AB，1AD,则AC BD的值为_.【答案】-3【解析】根据ABCD是平行四边形可得出22AC BDADAB，然后代入AB2，AD1 即可求出AC BD的值【详解】AB2，AD1，AC BDABADBABC ABADADAB 22ADAB 14 3 故答案为：3【点睛】本
9、题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题 12三倍角的正切公式为tan3_.【答案】323tantantan31 3tan.第 6 页 共 14 页【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果【详解】tan3tan（+2）322222312121 311tantantantantantantantantan tantantantan 故答案为：3231 3tantantan【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 13设集合A共有 6 个元素，用这全部的 6
10、 个元素组成的不同矩阵的个数为_.【答案】2880【解析】利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可【详解】因为集合A共有 6 个元素，用这全部的 6 个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，6 个元素的全排列有66A种，而组成的矩阵又有2 3 3 21 6 6 1、四种类型，所以矩阵的个数为664A 2880 故答案为：2880【点睛】本题考查排列的应用，判断矩阵中的元素变化，矩阵不相同是解题的关键 14现将函数sec,(0,)yx x的反函数定义为正反割函数，记为：secyarcx.则sec(4)arc_.（请保留两位小数）【答案】1.82【解析】
11、直接利用反三角函数计算三角函数的值【详解】ysecx1cosx，x（0，），当y4 时，cosx14，xarccos14，由查表得arccos141.318 x1.3181.82 第 7 页 共 14 页 故答案为：1.82【点睛】本题考查反三角函数的运用，属基础题 15设双曲线222xyaa的两个焦点为12FF、，点P在双曲线上，若12PFPF，则点P到坐标原点O的距离的最小值为_.【答案】32【解析】利用已知条件PF1PF2，点P到坐标原点O的距离为c，转化求解c的最小值即可【详解】双曲线22211xyaa的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到坐标原点O的距离为c
12、，所以c221331()242aaa，当且仅当a12 时，取得最小值：32 故答案为：32【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 16设0,0,0aaMN，我们可以证明对数的运算性质如下：loglogloglogaaaaMNMNaaaMN，logloglogaaaMNMN.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明loglograaMrM（其中0,MrR）的“关键步骤”为_.【答案】ralog Ma（alog Ma）rMr【解析】利用指数式与对数式的互化即可算出结果【详解】设logaMrb，abMr，rlogaMb，logaMbr，第 8 页 共 14 页 ra
13、alog Mrlog Maa（alog Ma）r（bra）rabMr，故答案为：ralog Ma（alog Ma）rMr【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，是基础题 三、解答题 17如图，在正六棱锥PABCDEF中，已知底边为 2，侧棱与底面所成角为60.（1）求该六棱锥的体积V；（2）求证：PACE【答案】（1）12；（2）证明见解析.【解析】（1）连结AD，过P作PO底面ABCD，交AD于点O，则PA2AO4，由此能求出该六棱锥的体积（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，推导出ADCE，PGCE，从而CE平面PAD，由此能证明PACE【详解】在正六棱锥PABCDEF中，底边长为
14、2，侧棱与底面所成角为 60 连结AD，过P作PO底面ABCD，交AD于点O，则AODO2，PAO60，PA2AO4，PO224223，SABCDEF6（122602sin ）63，该六棱锥的体积V116 32 333ABCDEFSPO12（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，DECD，AEAD，ADCE，O是CE中点，PAPC，PGCE，第 9 页 共 14 页 PGADG，CE平面PAD，PA平面PAD，PACE 【点睛】本题考查六棱锥的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18请解答以下问题，要求解决两个问题的方法
15、不同.（1）如图 1，要在一个半径为 1 米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.（2）如图 2，要在一个长半轴为 2 米，短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.【答案】（1）22OA，面积最大为 1（2）2OB，22BC，面积最大值为 2【解析】（1）通过设出BOC，进而用表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函数即可求解；（2）通过设出点C的坐标（m，n），进而表示出OBm，BCn，S2mn；再利用点C为椭圆上的点，即满足其方程利用基本不等式求解即可；【详解】（1）设BOC，（02）；
16、第 10 页 共 14 页 OBcos，BCsin；S2OBBC，S2sincossin2；当4时，即OA22时，矩形面积最大为 1；（2）依题意可得：椭圆方程为：22104xyy，；设：点C坐标为（m，n）即：OBm，BCn；S2OBBC2mn；点C为椭圆上的点；2214mn；2222244mmnnmn；mn1，当且仅当122mn时取等号；S2；即矩形面积最大为 2；当OB2，即22BC 时取等号；【点睛】本题考查了基本不等式的运用，考查了学生的发散性思维，属于中档题 19设na是等差数列，公差为d，前n项和为nS.（1）设140a，638a，求nS的最大值.（2）设11a，*2()nanb
17、nN，数列nb的前n项和为nT，且对任意的*nN，都有20nT，求d的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log10【解析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列bn为首项为 2，公比为 2d的等比数列，讨论d0，d0，d0，判断数列bn的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围【详解】第 11 页 共 14 页（1）a140，a638，可得d61255aa，可得Sn40n12n（n1）2155（n2012）2220120，由n为正整数，可得n100 或 101
18、时，Sn取得最大值 2020；（2）设*112nanabnN，数列bn的前n项和为Tn，可得an1+（n1）d，数列bn为首项为 2，公比为 2d的等比数列，若d0，可得bn2；d0，可得bn为递增数列，无最大值；当d0 时，Tn2 1 221 21 2dndd，对任意的nN，都有Tn20，可得 20212d，且d0，解得d29log10【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题 20已知抛物线的准线方程为20 xy.焦点为 1,1F.（1）求证：抛物线上任意一点P的坐标,x y都满足方程：2228
19、80;xxyyxy（2）请求出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于AB、两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】（1）证明见解析（2）关于yx对称-1,1xy.证明见解析（3）4yx（在抛物线内）【解析】（1）由抛物线的定义可得|PF|d（d为P到准线的距离），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由抛物线的方程的特点，考虑点关于直线yx的对称点的特征和对称轴与准线和抛物线的交点的关系，以及直线和抛物线相切的特点，可得所求范围；（3）设垂直于x轴的直线为xt，代入抛物线的方程x22xy+y28x8y0，运用韦达
20、定理和中点坐标公式，以及参数方程化为普通方程可得所求轨迹方程【详解】（1）抛物线的准线方程为x+y+20，焦点为F（1，1），第 12 页 共 14 页 抛物线上任意一点P的坐标（x，y），由抛物线的定义可得|PF|d（d为P到准线的距离），即为222(1)(1)2xyxy，两边平方化简可得x22xy+y28x8y0；（2）抛物线关于yx对称，顶点为（0，0），范围为x1，y1，由方程x22xy+y28x8y0，设抛物线上任一点（x，y）关于直线yx对称的点为（y，x），满足原方程，则抛物线关于直线yx对称；由直线y1x1 即yx，联立x+y+20，解得xy1，可得抛物线的顶点为（0，0）；由
21、x1 和x22xy+y28x8y0 联立可得切点为（1，3），同样由y1 和x22xy+y28x8y0 联立可得切点为（3，1），可得抛物线的范围为x1，y1；（3）设垂直于x轴的直线为xt，代入抛物线的方程x22xy+y28x8y0，可得t2（2t+8）y+t28t0，设A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y22t+8，则AB的中点为（t，t+4），则AB的中点的轨迹方程为直线yx+4（在抛物线内）【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查轨迹方程的求法，以及方程思想和数形结合思想，运算能力和推理能力，属于中档题 21现定义：设a是非零实常数，若对于任意的xD，都有f axf ax
22、，则称函数 yf x为“关于的a偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于 2 的偶型函数”的解析式，并给予证明 第 13 页 共 14 页（2）设定义域为的“关于的a偶型函数”在区间-,a上单调递增，求证在区间,a 上单调递减（3）设定义域为R的“关于12的偶型函数”yf x是奇函数，若*nN，请猜测 f n的值，并用数学归纳法证明你的结论【答案】（1）cos2yx，答案不唯一（2）证明见解析（3）0f n，证明见解析【解析】（1）令cos2yx，由于(2)cos()cos2fxxxfx，则可证明；（2）根据题意可知 2f axf axfaxf x，再根据函数的单调性即可证明；（3）由
23、题得11122fxfxfxfx，可得 010ff结合数学归纳法得到 10kf kf，即可得证【详解】（1）cos2(2)cos(),2cos22yxfxxfxxfxfx，cos2yx为“关于 2 的偶型函数”.（2）2f axf axfaxf x.任取12,xxa则1222,axaxa，因为函数在-,a单调递增，所以 121222faxfaxf xf x.所以函数在,a 上单调递减（3）猜测 0,f n*nN数学归纳法证明：1.当1n 时 110122fxfxff因为 yf x是奇函数，所以 10f得证 2.假设当*nk kN，0f k 成立，因为11122fxfxfxfx，第 14 页 共 14 页 又奇函数，1fxf xfxf x ，当*1nkkN时，10f kf k，所以得证.【点睛】本题是新定义问题，涉及函数性质及数学归纳法等相关知识，其中将f axf ax灵活变形应用是关键，属于中档题