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1、-.-.可修编-第一章 解三角形 正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 RCcBbAa2sinsinsin（其中 R 是三角形外接圆的半径）2.变形：1）sinsinsinsinsinsinabcabcCC 2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin:；;sinsinBAba;sinsinCBcb;sinsinCAca 3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin2 4）化角为边：;sinsinbaBA;sinsincbCB;sinsincaCA 5）化角为边：RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin 二.三
2、角形面积 1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin21 三.余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即 Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos2222 2.变形：bcacbA2cos222 acbcaB2cos222 abcbaC2cos222 -.-.可修编-注意整体代入，如：21cos222Bacbca 利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是C的角、C的对边，则：若，所以为锐角 若为直角Aabc222 若，所以为钝角，则是钝角三角形 三角形中常见的结论 三角形三角关系
3、：A+B+C=180；C=180(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，；两边之差小于第三边：，；在同一个三角形中大边对大角：BAbaBAsinsin 4)三角形内的诱导公式：sin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC )2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tanCCCCCBA 7)三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点 重心三角形三条中线的相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点 内心三角形三内角的平分线相交于一点 旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 -.-.可修编-解三角形 一、选
4、择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1在ABC中，a2，b3，c1，则最小角为()A.12 B.6C.4 D.3 2ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为()A.6B.3C.2 D.23 3.在ABC 中，已知|AB|4，|AC|1，SABC3，则ABAC等于()A2 B2C4 D2 4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2，b6，B120，则a等于()A.6 B2 C.3D.2 5在ABC中，A120，AB5，BC7，则sin Bsin C的值为()A.85 B.58C.53 D.
5、35 6已知锐角三角形的边长分别为 2,4，x，则x的取值 X 围是()A1x5B.5x13C1x25D23x25 7在ABC中，a15，b10，A60，则 cos B等于()A223 B.223C63D.63 8下列判断中正确的是()AABC中，a7，b14，A30，有两解 BABC中，a30，b25，A150，有一解 CABC中，a6，b9，A45，有两解 DABC中，b9，c10，B60，无解 9在ABC中，B30，AB3，AC1，则ABC的面积是()A.34B.32C.3或32D.32或34 10在ABC中，BC2，B3，若ABC的面积为32，则 tan C为()A.3B1 C.33
6、D.32 11在ABC中，如果 sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bcos Acos B2，则ABC是()A等边三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D直角三角形 12ABC中，若a4b4c42c2(a2b2)，则角C的度数是()A60 B45或 135C120 D30 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)-.-.可修编-13在ABC中，若sin Aacos Bb，则B_.14在ABC中，A60，AB5，BC7，则ABC的面积为_ 15一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔P的南偏西 75距塔 64 海里的M处，下午 2 时到达这座
7、灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为_海里/小时 16在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3bc)cos Aacos C，则 cos A_.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17.在ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知 3acosAccosBbcosC(1)求 cosA的值；(2)若a1，cosBcosC233，求边c的值 18(12 分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2bsin A.(1)求B的大小(2)若a33，c5，求b.-.-.可修编-19.已知ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos
8、C12cb.(1)求角 A 的大小；(2)若 a1，求ABC 的周长l的取值 X 围.20在ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a，b，c，已知.coscoscos2CbBcAa(1）求Acos的值；(2）若23coscos,1CBa，求边 c 的值.21(12 分)在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c2，C3.(1)若ABC的面积等于3，求a，b.(2)若 sin B2sin A，求ABC的面积 -.-.可修编-22如图，在ABC中，点D在BC边上，33AD，5sin13BAD，3cos5ADC (1）求sinABD的值；(2）求BD的长 解三角形 答案 1B
9、2B 3.D4D 5D 6D 7D 8B 9D 10C 11C 12B 134514103158616.33 17【答案】(1)由余弦定理b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC 有ccosBbcosCa，代入已知条件得 3acosAa，即 cosA13(2)由 cosA13得 sinA223,则 cosBcos(AC)13cosC223sinC，代入 cosBcosC233得 cosC2sinC3，从而得 sin(C)1，-.-.可修编-其中 sin33，cos63(02)则C2，于是 sinC63，由正弦定理得casinCsinA32 18解(1)a2bsin A，sin A
10、2sin Bsin A，sin B12.0B2，B30.(2)a33，c5，B30.由余弦定理b2a2c22accos B(33)2522335cos 307.b7.19【答案】(1)由 acosC12cb 和正弦定理得，sinAcosC12sinCsinB，又 sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，12sinCcosAsinC，sinC0，cosA12，0A，A3.(2)由正弦定理得，basinB2sinBsinA3，casinC2sinA3sinC，则labc123(sinBsinC)123sinBsin(AB)12(32sinB12cosB)12sin(B6).A3，B
11、(0，23)，B6(6，56)，sin(B6)(12，1，ABC 的周长l的取值 X 围为(2,3.20【答案】（1）由CbBcAacoscoscos2及正弦定理得,cossincossincossin2CBBCAA即.sincossin2CBAA 又,ACB所以有,sincossin2AAA即.sincossin2AAA 而0sinA，所以.21cosA(2）由21cosA及 0A，得 A.3 因此.32ACB 由,23coscosCB得,2332coscosBB 即23sin23cos21cosBBB，即得.236sinB 由,3A知.65,66B于是,36B或.326B 所以6B，或.2
12、B 若,6B则.2C在直角ABC 中，c13sin，解得;332c -.-.可修编-若,2B在直角ABC 中，,13tanc解得.33c 21解(1)由余弦定理及已知条件得 a2b2ab4.又因为ABC的面积等于3，所以12absin C3，由此得ab4.联立方程组 a2b2ab4，ab4，解得 a2，b2.(2)由正弦定理及已知条件得b2a.联立方程组 a2b2ab4，b2a，解得 a233，b433.所以ABC的面积S12absin C233.22【答案】（1）因为3cos5ADC，所以24sin1 cos5ADCADC 因为5sin13BAD，所以212cos1 sin13BADBAD 因为ABDADCBAD，所以sinsinABDADCBADsincoscossinADCBADADCBAD 412353351351365(2）在ABD中，由正弦定理，得sinsinBDADBADABD，所以533sin132533sin65ADBADBDABD