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1、 西南大学附属中学校高 2020 级第四次月考 数 学 试 题（理）（总分：150 分 考试时间：120 分钟）2019 年 11 月 注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号 3答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合2230Mx xx，集
2、合21log2Nxx，则MN（）A3 1，B 02)，C32 ，D32)，2 已知复数z满足(12)34zii，则z的共轭复数z（）A12i B1 2i C12i D12i 3 已知向量(1)am，(32)bm，则3m是a/b的（）A充要条件 B既不充分也不必要条件 C必要不充分条件 D充分不必要条件 4 已知各项均为正数的等比数列 na的前 3 项和为7，且 135430aaa，则2a（）A1 B2 C4 D8 5 已知圆22:2220C xyxy与直线:0l xyb，若直线l与圆相交于AB，两点，且ABC为等边三角形，则b的值为（）A6 B6 C2 D2 6 函数2()sin()f xxx
3、的图像大致为（）A B C D 7 在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海上港、山东鲁能泰山分别积分 59 分、58 分、56 分、50 分，四家俱乐部都有机会夺冠A，B，C三个球迷依据四支球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进行如下猜测：A猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山；B猜测冠军一定不是上海上港和山东鲁能泰山；C猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安.联赛结束后，发现A，B，C三人中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（）A广州恒大淘宝 B北京中赫国安 C上海上港 D山东鲁能泰山 8 已知椭圆2214xy，12FF，分别是椭圆的左、右焦点，
4、点P为椭圆上的任意一点，则1211PFPF的取值范围为（）A1 2，B23，C24，D1 4，9 如图，过抛物线22(0)ypx p的右焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若3BCBF，且6AF，则p（）A2 B3 C4 D6 10 已知平面四边形ABCD的两条对角线互相垂直，22BDABBC，2 3ADCD，点E在四边形ABCD上运动，则EBED的最小值为（）A4 B3 C1 D3 11 设双曲线22221xyab(00)ab，的左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线分别交双曲线的左、右两支于M，N 若以MN为直径的圆经过右焦点2F，且22MFNF,则双曲线的离心率为（）A6
5、B5 C3 D2 12 已知定义在R上的奇函数()f x满足(1)()fxfx，且对任意的121 02xx，12()xx，都有1212()()f xf xxx又()sing xx，则关于x的不等式()()f xg x在区间3322，上的解集为（）A3 0244，B324，C31 0 12，D302，二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 13 已知x，y满足约束条件220100 xyxyy，则32zxy的最大值为_ 14 曲线21()ln2f xxxx在点(1(1)f，处的切线与直线10axy 垂直，则_a 15 已知数列 na满足11nnnaaa，且11a 记数列 na的
6、前n项和为nS，若对一切的nN，都有220nnmSS恒成立，则实数m能取到的最大整数是_ 16 在平面四边形ABCD中，45AD，150B，2AD，则CD的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17(12 分)已知函数()4sin sin()4f xxx.(1)求函数()yf x的周期和对称轴方程；(2)将()yf x的图像向右平移4个单位长度，得到()yg x的图像，求函数()yg x在 02x，上的值域.18(12分)已 知 各 项
7、均 为 正 数 的 数 列 na的 前n项 和 为nS，212nnnaSS(2*)nnN，12a.(1)证明数列 na为等差数列，并求 na的通项公式；(2)设32nnbS，数列 nb的前n项和记为nT,证明：116nT.19(12 分)ABC中，5AB，4AC，D为线段BC上一点，且满足2BDDC.(1)求sinsinBADDAC的值；(2)若2BADDAC，求AD.20(满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12FF，点M为椭圆上的一动点，12MFF面积的最大值为3过点2F的直线l被椭圆截得的线段为PQ，当lx轴时，1PQ (1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上
8、任取两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB若14OAOBkk，则22OCAB是否为定值？若是，求出定值；如不是，请说明理由 21(12 分)已知函数2()()ln1xf xx emx(1)若0m，求证：()f x在区间1)2，是增函数；(2)设()()f xg xx，若对任意的12(0)xx，恒有12()1()10g xg x，求实数m的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22【选修 44：坐标系与参数方程】（10 分）已知曲线221:(3)9Cxy，点A是曲线1C上的动点，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴
9、建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹为曲线2C.(1)求曲线1C与曲线2C的极坐标方程；(2)射线2(0)3与曲线12CC，相交于PQ，两点，已知定点M（2，0），求MPQ的面积 23【选修 45：不等式选讲】（10 分）已知函数()13f xxx(1)解不等式()2f xx；(2)设函数()f x的最小值为t，实数ab，满足00ab，且abt 求证：228113abab 西南大学附属中学校高 2020 级第四次月考 数学试题（理）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 15 DCDBA 610 ADDCB 1112 C
10、C 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 13 6 1412 159 163313（，）三、解答题：共 70 分 17解：（1）222()4sin(sincos)2 2sin2 2sin cos22f xxxxxxx 2(1cos2)2sin2xx=2sin(2)24x；所以()yf x的周期T,令242xk，则3,82kxkZ.（2）3()2sin(2)24g xx，当0,2x，332,444x ，32sin(2)1,42x,()22 2 2g x ，.18.解：（1）由已知：212(2,)nnnaSSnnN,得21122(3,)nnnaSSnnN 可得2211(3,)
11、nnnnaaaannN.因为0na，所以11(3)nnaan 检验：由已知22121()2aaaa，12a，所以23a，那么211aa，也满足式子11nnaa.所以11(2)nnaan.所以 na为等差数列，首项为2，公差为1.于是1nan.（2）由1nan，所以(21)(3)22nnnn nS.所以33112(3)3nnbSn nnn.则123nnTbbbb 1111111111111(1)()()()()()()425364721123nnnnnn1111111111(1)()234456123nnnn 11111(1)()23123nnn 1111111()61236nnn.19.解：（
12、1）由题：2BDDC，所以2ABDACDSS,即11sin2sin22AB ADBADAC ADDAC.所以sin28sin5BADACDACAB.（2）由2BADDAC，所以sin=sin22sincosBADDACDACDAC，所以4cos5DAC，所以，27coscos22cos125BADDACDAC.设ADx，在ABD中，由222214=2cos255BDABADAB ADBADxx.ACD中，222232=2cos165CDACADAC ADCADxx.又因为2BDDC,所以22=4BDCD，即221432254(16)55xxxx.化简可得2151141950 xx，即(315)
13、(513)0 xx，则5x或135x.又因为D为线段BC上一点，所以5ADAB且4ADAC，所以135AD.20.解：（1）由题意：12MFF的最大面积3Sbc，221bPQa.又222abc，联立方程可解得2,1ab，所以椭圆C的方程为：22141xy.（2）设11(,)A x y，22(,)B xy，由平行四边形法则OCOAOB，所以1212(,)C xxyy.所以22222212121212=()()()()OCABxxyyxxyy.222212122()xxyy 又因为14OAOBkk，即121214yyxx，即12124x xy y.又因为点A，B在椭圆C上，则221144xy，22
14、2244xy，可得221144xy，222244xy，可得22221212(4)(4)16xxy y即2222221212124()1616x xxxy y，又12124x xy y，所以22124()16xx,即2212()4xx.又可得2222121284()xxyy，可得22121yy.所以22222212122()10OCABxxyy.21.解：（1）当0m，2()ln1(0)xf xxexx则21()(21)xfxxex.当0 x，由函数单调性的性质可知，21()(21)xfxxex为(0,)上的增函数.所以，当1)2x，时，1()()=2202fxfe.所以()f x在区间1)2，
15、是增函数.（2）由题2()ln1()xf xxg xemxx，则222221(ln1)2ln()2xxxx exg xexx 令22()2lnxh xx ex，则()h x为(0,)上的增函数.当0,()xh x；当,()xh x；所以必然存在0(0,)x，使得022000()2ln=0 xh xx ex，即02000ln2xxx ex.当0(0,)xx，()0h x，即()0g x，所以()g x为减函数.当0(,)xx，()0h x，即()0g x，所以()g x为增函数.所以020min00ln1()()xxgxg xemx，()g x无最大值.此外，因为2(1)20he，所以0(0,1
16、)x.令()xT xxe，则就有0200000ln(2)2(ln)xxTxx eTxx.又()(1)xT xxe，当(0,)x，()0T x，所以()xT xxe为(0,)上的增函数.因为00(2)(ln)TxTx，且020 x，0ln0 x.所以必然有002lnxx.此时，020min0ln1()2xxgxemmx.又任意的12,(0,)x x，恒有12()1 ()10g xg x，所以min()21gxm，即1m.22.解：（1）曲线221:(3)9Cxy，化简则有：2260 xyy.将cossinxy代入可得曲线1:6sinC.设(,)B，则(,)2A,由点A在曲线1C上，则6sin()
17、6cos2.所以曲线2C的极坐标方程为6cos.（2）点(2,0)M 到射线23的距离2sin33d.射线2(0)3 与曲线1C的交点P的坐标为2(3 3,)3，射线2(0)3 与曲线2C的交点Q的坐标为2(3,)3，所以3 33PQ,故1193 3(3 33)3222SPQd.23.解：（1）()2f xx，即132xxx.则不等式等价于2223 xxx或4213xx 或2221 xxx 可解得34x或23x或x无解.所以原不等式的解集为2,4.（2）因为()13(1)(3)4f xxxxx，当且仅当(1)(3)0 xx取等号，所以函数()f x的最小值为4t 即4ab.由柯西不等式：222(1)(1)()()11abababab，所以226()1611abab，即228113abab，当且仅当2222(1)(1)=abab，即=a b时取等号.又4ab，所以228113abab当且仅当2ab时等号成立.