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1、福清市高中联合体高一年期中数学试题 第 1 页 共 4 页 福清市高中联合体 2020-2021 学年第二学期高一年期中考试 数学试卷（全卷共 4 页，22 题，完卷时间 120 分钟，满分 150 分）友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上 第 卷（选择题）一、单选题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设复数i(1i)z ，则复数z对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2设向量(,1)am，(1,)bm，如果a与b共线且方向相反，则m的值为（）A1 B1 C2 D2 3如图所示的ABC中，
2、点D是线段BC上靠近B的三等分点，则AD（）A1233ABAC B1433ABAC C2133ABAC D4133ABAC 4 在ABC中，2a，2b，6A，则此三角形（）A无解 B两解 C一解 D解的个数不确定 5如图所示，正方形O A B C 的边长为1，它是水平放置的 一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A6 B8 C23 2 D22 3 6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率
3、约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈610立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（）A200两 B240两 C360两 D400两 CBDA福清市高中联合体高一年期中数学试题 第 2 页 共 4 页 7已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为2 6的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）A4 5 B(86 3)C10 3 D(104 5)8如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知90ADC，60A，2AB，2 6BD，4 3DC，则BC的长为（）A4 3 B5 C6 5 D7 二、多选题(本题共 4 小题,每小题
4、5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分)9某人向正东方向走了xkm后向右转了150，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好3km，则x的值为（）A3 B2 3 C2 D3 10在复平面内，下列说法正确的是（）A若复数1i1iz，则301z B若复数z满足2 z R，则zR C若复数(,)zabi a bR，则z为纯虚数的充要条件是0a D若复数z满足1z，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 11给出下列说法正确的是（）A若ABDC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B在平行四边
5、形 ABCD 中，一定有ABDC C若ab，bc，则ac D若ab，bc，则ac 12下列结论正确的是（）A在ABC中，若AB，则sinsinAB B在锐角三角形ABC中，不等式2220bca恒成立 C在ABC中，若4C，22acbc，则ABC为等腰直角三角形 D 在ABC中，若3b，60A，三角形面积3 3S，则三角形外接圆半径为33 ABCD福清市高中联合体高一年期中数学试题 第 3 页 共 4 页 第 卷（非选择题）三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13小船以10 3km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h，则小船实际航行速度的大
6、小为_ km/h.14已知向量,a b满足1a，2b，向量a与b的夹角为60，则23ab_ 15如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直 则这个几何体有_个面，其体积为_（第一空 2 分，第二空 3 分）16如图，在ABC中，3BAC，2ADDB，P为CD上一点，且满足12APmACAB，若ABC的面积为2 3，则AP的最小值为_.四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)如图，在棱长为2的正方体1
7、111ABCDABC D中，截去三棱锥1AABD，求（1）截去的三棱锥1AABD的表面积；（2）剩余的几何体1111ABC DDBC的体积.18(本小题满分 12 分)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，2 coscoscosaAbCcB.（1）求A；（2）若7,8ab，求c.福清市高中联合体高一年期中数学试题 第 4 页 共 4 页 19(本小题满分 12 分)已知复数z满足|2|z，2zz，且z在复平面内对应的点在第二象限.（1）求复数z；（2）若复数满足11izz，求在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.20(本小题满分 12 分)如图，四边形ABCD中，2ADBC.（1
8、）用,AB AD表示DC；（2）若90A，点E在AB上，2AEEB，点P在DE上，2DPPE，1EBBC，求cosCPD.21(本小题满分 12 分)如图，在平面四边形ABCD中，ADCD，ABAC，2 3AB.（1）若30ABC，3CDAD，求BD的长；（2）若2AC，30ADB，求sinCAD的值.22(本小题满分 12 分)在(,)mab ca，(,)nab c，且mn；22 cosacbC；1sincos62BB这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_（1）求角B；（2）若4b，求ABC周长的最大值 注：如果选择多个条件分
9、别解答，按第一个解答计分.PECBDADCBA高一年期中数学参考答案【简解版】第 1页 共 5页福清市高中联合体 2020-2021学年第二学期高一年期中考试数学参考答案【简解版】一、单选题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)12345678BACBBDDA二、多选题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分)9101112ABADBCABC三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)（15 题第一空
10、2 分，第二空 3 分）13 2014 2 71520，16232316 3四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)（1）6 2 3；（2）203【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD中，1ABD是边长为2 2的等边三角形，1AAD、1AAB、ABD都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥1A ABD的表面积 1112312 232 26 2 342ABDAADAABABDS SSSS .5分（2）正方体的体积为328，6分三棱锥1A ABD的体积为111142 2 233 23ABDSAA ，8 分所
11、以剩余的几何体1111AB CDDBC的体积为4 20833.10 分高一年期中数学参考答案【简解版】第 2页 共 5页18(本小题满分 12 分)（1）3A；（2）3c 或5c【解析】（1）由余弦定理222cos2cabBac，222cos2abcCab，得2222222 cos cos cos22a b cc a baA bC cB bcaabac ，3分1cos2A，4 分0A，5 分3A.6 分（方法二）由正弦定理得2 sinaR A，2 sinbR B，2 sincR C，结合2 cos cos cosaA bC cB得4sincos2(sincossincos)R AARBCCB2
12、 sin2 sinRB CRA2 sinR A，3分由于sin 0A，所以1cos2A，4分0A，5 分3A.6 分（2）由余弦定理得2222cosabcbc A，则2221782 82cc ，9分即28 15 0cc，10 分解得3c 或5c.12分高一年期中数学参考答案【简解版】第 3页 共 5页19(本小题满分 12 分)（1）1iz ；（2）【解析】(1)设i(,)z x yxy R，由2z，2z z ，且z在复平面内对应的点在第二象限，得222,22,0,0 xyxxy，3 分解得1,1,xy 5分所以1 iz .6分(2)由(1)知1 iz ，所以12i i(2i1)ii12i12
13、izz，8分所以1i 1izz，所以复数满足11.9分由复数的几何意义，得在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心，1 为半径的圆面，11分所以其面积为21.12 分20(本小题满分 12 分)（1）12DCAD AB ；（2）2 13cos13CPD【解析】（1）因为2ADBC ，所以1122DC DA ABBCAD ABADAD AB .4 分（2）由已知2ADBC ，2AE EB ，1EB BC 得2AD ，2AE ，在ADE中，90A ，2AE AD，45AED ADE ，2 2DE.6 分在BCE中，90B ，1BE BC，45BCE BEC ，2CE，90CEP，8
14、分又2DP PE ，2 23PE ，9 分高一年期中数学参考答案【简解版】第 4页 共 5页在CEP中，90CEP，2CE，223PE，263CP，10 分222133cos13263CPE，11 分213coscos180cos13CPDCPECPE .12 分21(本小题满分 12 分)（1）19BD；（2）2sin77CAD【解析】（1）在RtABC中，tan2AC ABABC.1 分在RtACD中，tan3CDCADAD，所以60CAD，3 分所以cos1AD ACCAD.4 分在ABD中，由余弦定理得2222cos19BDAB ADABADBAD，所以19BD.6 分（2）设CAD，
15、则60ABD ，2cosAD，8 分在ABD中，由正弦定理得2cos23sin60sin30，化简得3cossin2，10 分代入22sin cos 1，得24sin7，11分又为锐角，所以2sin77，即2sin77CAD.12 分22(本小题满分 12 分)条件选择见解析；（1）3B；（2）12【解析】（1）选,ma bc a，,na bc，且mn ，0a b a b cc a，2 分高一年期中数学参考答案【简解版】第 5页 共 5页化简得222ac bac，由余弦定理得2221cos222ac bacBacac，4分又因为0B，5 分3B6分选根据正弦定理，由22cosa cbC 得2s
16、in sin2sincosACBC，2分又因为sinsinsincoscos sinAB CBCBC，所以2cossinsinBCC，又因为sin0C，所以1cos2B，4 分又因为 0,B，5分所以3B6分选由1sincos62BB，得311sin coscos222BBB，2 分即311sin cos222BB，所以1sin62B，4 分又因为 0,B，所以 6 6B，因此3B6 分（2）由余弦定理2222 cosbacac B，得2163a cac7 分又2aacc，24a cac，8 分当且仅当a c时等号成立，9分 2233164a cac a c，解得8a c，11 分当且仅当4a c 时，等号成立8 4 12a b c ，ABC的周长的最大值为 1212 分