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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清
2、楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：样本数据12,nx xx的方差2211niisxxn，其中11niixxn 柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高 锥体的体积13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合 1,0,1,6A ，|0,Bx xxR，则AB .2已知复数(2i)(1i)a 的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数 a 的值是 .3下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 .4函数276yxx的定义域是 .5已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数
3、据的方差是 .6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 .7在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .8已知数列*()nanN是等差数列，nS是其前 n 项和.若25890,27a aaS，则8S的值是 .9如图，长方体1111ABCDABC D的体积是 120，E 为1CC的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是 .10在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的最小值是 .11在平面直角坐标系xO
4、y中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 .12 如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6AB ACAO EC，则ABAC的值是 .13已知tan23tan4，则sin 24的值是 .14设(),()f xg x是定义在 R 上的两个周期函数，()f x的周期为 4，()g x的周期为 2，且()f x是奇函数.当2(0,x时，2()1(1)f xx，(2),01()1,122k xxg xx，其中 k0.若在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x
5、有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（1）若 a=3c，b=2，cosB=23，求 c 的值；（2）若sincos2ABab，求sin()2B的值 16（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E 17（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:2222
6、1(0)xyabab的焦点为 F1（1、0），F2（1，0）过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2:222(1)4xya交于点 A，与椭圆 C交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1 已知 DF1=52（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标 18（本小题满分 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA规划要求：线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆O 的半径
7、已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C、D 为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离 19（本小题满分 16 分）设函数()()()(),f xxaxb xc a b cR、()f x为 f（x）的导函数（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 ab，b=c，且 f（x）和()f x的零点均在集
8、合3,1,3中，求 f（x）的极小值；（3）若0,01,1abc，且 f（x）的极大值为 M，求证:M427 20（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an*()nN满足：245321,440a aa aaa，求证：数列an为“M数列”；（2）已知数列bn*()nN满足：111221,nnnbSbb，其中 Sn为数列bn的前 n 项和 求数列bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M数列”cn*()nN，对任意正整数 k，当 km 时，都有1kkkcbc成立，求 m 的最大值 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案
9、 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.1,6 2.2 3.5 4.1,7 5.53 6.710 7.2yx 8.16 9.10 10.4 11.(e,1)12.3 13.210 14.12,34 二、解答题 15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos3ac bB，由余弦定理222cos2acbBac，得2222(3)(2)32 3cccc，即213c.所以33c.（2）因为sincos2ABab，由正弦定理sinsinabAB，得cossin2BBbb，
10、所以cos2sinBB.从而22cos(2sin)BB，即22cos4 1 cosBB，故24cos5B.因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而2 5cos5B.因此2 5sincos25BB.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以 A1B1ED.又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以
11、BEAC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC.又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE.因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分.解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(-1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1.又因为 DF1=52，AF2x 轴，所以 DF2=222
12、211253()222DFFF，因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.因此，椭圆 C 的标准方程为22143xy.（2）解法一：由（1）知，椭圆 C：22143xy，a=2，因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2的方程(x-1)2+y2=16，解得 y=4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4).又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2.由22()22116yxxy，得256110 xx，解得1x 或115x .将115x 代入22yx，得 125y ，因此1112(,)55B.又 F2(1，0)
13、，所以直线 BF2：3(1)4yx.由221433(1)4xyxy，得276130 xx，解得1x 或137x.又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以1x.将1x 代入3(1)4yx，得32y .因此3(1,)2E.解法二：由（1）知，椭圆 C：22143xy.如图，连结 EF1.因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而BF1E=B.因为 F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1x 轴.因为 F1(-1，0)，由221431xxy，得32y .又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以32y .因此3(
14、1,)2E.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：（1）过A作AEBD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DEBEACAECD.因为PBAB，所以84cossin105PBDABE.所以12154cos5BDPBPBD.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知2210ADAEED，从而2227cos0225ADABB
15、DBADAD AB，所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在1PPB中，115PBPB.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，22221563 21CQQAAC.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=3 21时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3
16、 21（百米）.解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为34.因为PBAB，所以直线PB的斜率为43，直线PB的方程为42533yx.所以P（13，9），22(134)(93)15PB.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=45，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（
17、1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4yxx.在线段AD上取点M（3，154），因为22221533454OM，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在1PPB中，115PBPB.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由22(4)(93)15(4)AQaa，得a=43 21，所以Q（43 21，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当
18、P（13，9），Q（43 21，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离 43 21(13)173 21PQ .因此，d最小时，P，Q两点间的距离为173 21（百米）.19本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分16分 解：（1）因为abc，所以3()()()()()f xxa xb xcxa 因为(4)8f，所以3(4)8a，解得2a （2）因为bc，所以2322()()()(2)(2)f xxa xbxab xbab xab，从而2()3()3abf xxbx令()0f x，得xb或23abx 因为2,3aba b，都在集合 3,1,
19、3中，且ab，所以21,3,33abab 此时2()(3)(3)f xxx，()3(3)(1)f xxx 令()0f x，得3x 或1x 列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)()f x+0 0+()f x 极大值 极小值 所以()f x的极小值为2(1)(1 3)(13)32f （3）因为0,1ac，所以32()()(1)(1)f xx xb xxbxbx，2()32(1)f xxbxb 因为01b，所以224(1)12(21)30bbb，则()f x有2个不同的零点，设为1212,x xxx 由()0f x，得22121111,33bbbbbbxx 列表如下：x 1(,)x 1x 12
20、,x x 2x 2(,)x ()f x+0 0+()f x 极大值 极小值 所以()f x的极大值 1Mf x 解法一：321111(1)Mf xxbxbx 221111211(1)32(1)3999bbxbb bxbxbx 23221(1)(1)2127927bbbb bbb 23(1)2(1)(1)2(1)1)272727b bbbb b(1)24272727b b因此427M 解法二：因为01b，所以1(0,1)x 当(0,1)x时，2()()(1)(1)f xx xb xx x 令2()(1),(0,1)g xx xx，则1()3(1)3g xxx 令()0g x，得13x 列表如下：
21、x 1(0,)3 13 1(,1)3()g x+0 ()g x 极大值 所以当13x 时，()g x取得极大值，且是最大值，故max14()327g xg 所以当(0,1)x时，4()()27f xg x，因此427M 20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分 解：（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq 因此数列na为“M数列”.（2）因为1122nnnSbb，所以0nb 由1111
22、,bSb，得212211b，则22b.由1122nnnSbb，得112()nnnnnb bSbb，当2n 时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb 所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n*nN.由知，bk=k，*kN.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以1kkqkq，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有lnlnln1kkqkk 设f（x）=ln(1)xxx，则21 ln()xf xx 令()0f x，得x=e.列表如下：
23、x(1,e)e(e，+)()f x +0 f（x）极大值 因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3f kf 取33q，当k=1，2，3，4，5时，lnlnkqk，即kkq，经检验知1kqk也成立 因此所求m的最大值不小于5 若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5 数学(附加题)21【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 4-2：矩阵与变换（本
24、小题满分 10 分）已知矩阵3122A （1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,2,42AB，直线l的方程为sin34.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设xR，解不等式|+|2 1|2xx.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,nnnxaa xa xa xnnN.已知23242aa a.（1）求n的值；（
25、2）设(13)3nab，其中*,a bN，求223ab的值.23.（本 小题 满 分 10 分）在 平 面直 角 坐 标系 xOy 中，设 点 集(0,0),(1,0),(2,0),(,0)nAn，(0,1),(,1),(0,2),(1,2),(2,2),(,2),.nnBnCnnN 令nnnnMABC.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n3），求概率P（Xn）（用n表示）.数学(附加题)参考答案 21【选做题】A选修42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分10分 解
26、：（1）因为3122A，所以231312222A=3 3 1 23 1 1 22 32 22 12 2 =115106（2）矩阵A的特征多项式为 231()5422f.令()0f，解得A的特征值121,4.B选修44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分 解：（1）设极点为O.在OAB中，A（3，4），B（2，2），由余弦定理，得AB=223(2)2 32cos()524 .（2）因为直线l的方程为sin()34，则直线l过点(3 2,)2，倾斜角为34 又(2,)2B，所以点B到直线l的距离为3(3 22)sin()242.C选修45：不等式
27、选讲 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分10分 解：当x0时，原不等式可化为1 22xx ，解得x2，即x12时，原不等式可化为x+2x12，解得x1.综上，原不等式的解集为1|13x xx 或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分 解：（1）因为0122(1)CCCC4nnnnnnnxxxxn，所以2323(1)(1)(2)C,C26nnn nn nnaa，44(1)(2)(3)C24nn nnna 因为23242aa a，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)26224n nnn nn nn
28、n，解得5n（2）由（1）知，5n 5(13)(13)n 0122334455555555CC3C(3)C(3)C(3)C(3)3ab 解法一：因为*,a bN，所以024135555555C3C9C76,C3C9C44ab，从而22223763 4432ab 解法二：50122334455555555(13)CC(3)C(3)C(3)C(3)C(3)0122334455555555CCC(3)C(3)C(3)(3C3)因为*,a bN，所以5(13)3ab 因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32ababab 23【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布
29、等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力满分10分 解：（1）当1n 时，X的所有可能取值是12 25，X的概率分布为22667744(1),(2)C15C15P XP X，22662222(2),(5)C15C15P XP X（2）设()A a b，和()B cd，是从nM中取出的两个点 因为()1()P XnP Xn，所以仅需考虑Xn的情况 若bd，则ABn，不存在Xn的取法；若01bd，则22()11ABacn，所以Xn当且仅当21ABn，此时0 acn，或 0anc，有 2 种取法；若02bd，则22()44ABacn，因为当3n时，2(1)4nn，所以Xn当且仅当24ABn，此时0 acn，或 0anc，有 2 种取法；若12bd，则22()11ABacn，所以Xn当且仅当21ABn，此时0 acn，或 0anc，有 2 种取法 综上，当Xn时，X的所有可能取值是21n 和24n，且 2222242442(1),(4)CCnnP XnP Xn 因此，222246()1(1)(4)1CnP XnP XnP Xn