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1、学习必备 欢迎下载 第 1 页 专题复习(五)函数的实际应用题 类型 1 一次函数的图象信息题 1求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组 正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础 2用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自
2、变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值 3 在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段 1(2019吉林)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程 y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示：(1)家与图书馆之间的
3、路程为4_000 m，小玲步行的速度为100m/min；(2)求小东离家的路程y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间 解：(1)结合题意和图象可知，线段 CD 为小东路程与时间的函数图象，折线O A B 为小玲路程与时间的函数图象，则家与图书馆之间路程为4 000m，小玲步行速度为(4 000 2 000)(3010)100 m/min.故答案为：4 000，100.(2)小东从离家 4 000 m 处以 300 m/min的速度返回家，则 x min时，他离家的路程 y 4 000 300 x，自变量 x 的范围为 0 x403.(3)当 x10 时，y
4、玲2 000，y 东1 000，即两人相遇是在小玲改变速度之前，令 4 000 300 x200 x，解得 x8.两人相遇时间为第 8 分钟 2(2019成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用 y(元)与种植面积 x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米 100 元(1)直接写出当 0 x300 和 x300 时，y 与 x 的函数关系式；(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 1 200 m2，若甲种花卉的种植面积不少于 200 m2，且不超过乙种花卉种植面积的 2 倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种
5、植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？学习必备 欢迎下载 第 2 页 解：(1)y错误!(2)设甲种花卉种植为a m2，则乙种花卉种植(1 200a)m2.a2(1 200a)，解得 a800.又 a200，200a800.当 200a300 时，W1 130a100(1 200a)30a120 000.当 a200 时Wmin126 000 元；当 300a800时，W2 80a15 000100(1 200a)135 00020a.当 a800 时，Wmin119 000 元 119 000126 000，当 a800 时，总费用最少，最少总费用为119 000元 此时乙种花卉种
6、植面积为1 200800400(m2)答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800 m2 和 400 m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为 119 000 元 类型 2 一次函数与方程或不等式的综合运用 1(2019武汉)用 1 块 A 型钢板可制成 2 块 C 型钢板和 1 块 D 型钢板；用 1 块B 型钢板可制成 1 块 C型钢板和 3 块 D 型钢板现准备购买 A，B型钢板共 100块，并全部加工成 C，D 型钢板要求 C 型钢板不少于 120 块，D型钢板不少于250 块，设购买 A 型钢板 x 块(x 为整数)(1)求 A，B 型钢板的购买方案共有多少种？(2)出售 C 型
7、钢板每块利润为 100 元，D 型钢板每块利润为 120 元若将 C，D 型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案 解：(1)设购买 A 型钢板 x 块，则购买 B 型钢板(100 x)块，根据题意，得 错误!解得 20 x25.x 为整数，x20，21，22，23，24，25 共 6 种方案，即 A，B 型钢板的购买方案共有6 种(2)设总利润为 w，根据题意，得 w100(2x100 x)120(x3003x)100 x10 000240 x36 000 140 x46 000，1400，w 随 x 的增大而减小 当 x20 时，wmax 1402046 000 43 200.即购买 A
8、 型钢板 20 块，B 型钢板 80 块时，获得的利润最大 2(2019潍坊)为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务该工程队有 A，B两种型号的挖掘机，已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165 立方米；4 台 A 型和 7 台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土 225 立方米每台 A 型挖掘机一小时的施工费用为 300 元，每台 B 型挖掘机一小时的施工费用为 180 元(1)分别求每台 A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？(2)若不同数量的 A 型和 B 型挖掘机共 12 台同时施工 4 小时，至少完成 1
9、080立方米的挖土量，且总费用不超过 12 960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设每台 A 型，B 型挖掘机一小时分别挖土 x 立方米和 y立方米，根据题意，得 错误!解得错误!学习必备 欢迎下载 第 3 页 答：每台 A 型挖掘机一小时挖土 30 立方米，每台 B 型挖掘机一小时挖土 15立方米(2)设 A 型挖掘机有 m 台，总费用为 W 元，则 B 型挖掘机有(12m)台根据题意，得 W 4300m4180(12 m)480m8 640.错误!错误!m12m，解得 m6，7m9.共有三种调配方案，即 方案一：当 m7 时，12
10、m5，即 A 型挖掘机 7 台，B 型挖掘机 5 台；方案二：当 m8 时，12m4，即 A 型挖掘机 8 台，B 型挖掘机 4 台；方案三：当 m9 时，12m3，即 A 型挖掘机 9 台，B 型挖掘机 3 台 4800，由一次函数的性质可知，W 随 m 的减小而减小，当 m7 时，W 小48078 640 12 000(元)当 A 型挖掘机 7 台，B 型挖掘机 5 台时的施工费用最低，最低费用为 12 000元 3(2019恩施)某学校为改善办学条件，计划采购 A，B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调，需费用 39 000 元；4 台 A 型空调比 5
11、台 B型空调的费用多 6 000 元(1)求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购 A，B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过 217 000 元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元，y 元，根据题意，得 错误!解得错误!答：A 型空调和 B 型空调每台各需9 000 元，6 000 元(2)设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调(30a)台，根据题意，得 错误!解得 10a12
12、错误!.a10，11，12，共有三种采购方案，即 方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台；方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台：方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台(3)设总费用为 w 元，则 w 9 000a 6 000(30 a)3 000a 180 000，当 a10 时，w 取得最小值，此时w 210 000，即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210 000元 学习必备 欢迎下载 第 4 页 类型 3 二次函数的实际应用 1(2019衢州)某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷
13、水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 解：(
14、1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y a(x 3)2 5(a0)，将(8，0)代入 y a(x 3)2 5，得 25a50，解得 a15.水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y 15(x 3)2 5(0 x 8)(2)当 y 1.8 时，有15(x 3)2 51.8，解得 x1 1，x2 7.答：为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7 米以内(3)当 x 0 时，y 15(03)2 5165.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y 15x2 bx165，该函数图象过点(16，0)，01516216b 165，解得 b 3.改造后
15、水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y 15x2 3x16515(x 152)228920.学习必备 欢迎下载 第 5 页 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米 2(2019温州)温州某企业安排 65 名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2 件甲或 1 件乙，甲产品每件可获利 15 元根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于 5 件，当每天生产 5 件时，每件可获利 120 元，每增加 1 件，当天平均每件利润减少 2 元设每天安排 x 人生产乙产品 (1)根据信息填表：产品 种类 每天工人 数(人)每天产 量(件)每件产品可 获利润(元)甲 65x 2(65x)15
16、乙 x x 1302x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550 元，求每件乙产品可获得的利润；(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等 已知每人每天可生产 1 件丙(每人每天只能生产一种产品)，丙产品每件可获利 30 元，求每天生产三种产品可获得的总利润 W(元)的最大值及相应的 x 值 解：(2)由题意，得 152(65x)x(130 2x)550，整理得 x2 80 x700 0，解得 x1 10，x2 70(不合题意，舍去)1302x 110.答：每件乙产品可获得的利润是 110 元(3)设生产甲产品 m 人，则 W
17、x(130 2x)152m30(65x m)2(x 25)2 3 200.每天甲、丙两种产品的产量相等，2m65x m.m65x3.又20，x，m 都是非负整数，取 x 26 时，m13，65x m26.此时，W 最大3 198.答：安排 26 人生产乙产品时，可获得的最大利润为 3 198 元 学习必备 欢迎下载 第 6 页 类型 4 一次函数与二次函数的综合运用 1(2019河南)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 y(个)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：销售单价 x(元)85 95 105 115 日销售量 y
18、(个)175 125 75 m 日销售利润 w(元)875 1 875 1 875 875(注：日销售利润日销售量(销售单价成本单价)(1)求 y 关于 x 的函数解析式(不要求写出 x 的取值范围)及 m 的值；(2)根据以上信息，填空：该产品的成本单价是 80 元，当销售单价 x 100 元时，日销售利润 w 最大，最大值是 2_000 元；(3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系 若想实现销售单价为 90 元时，日销售利润不低于 3 750 元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？解：(1)设 y 关于 x 的函数解
19、析式为 y kxb，根据题意，得 85k b175，95k b125，解得k 5，b600.即 y 关于 x 的函数解析式是 y 5x 600.当 x 115 时，y 511560025，即 m 的值是 25.(2)设成本为 a 元/个，当 x 85 时，875175(85a)，得 a 80.w(5x 600)(x 80)5x2 1 000 x 48 000 5(x 100)22 000，当 x 100 时，w 取得最大值，此时 w 2 000.故答案为：80，100，2 000.(3)设科技创新后成本为 b 元/个，当 x 90 时，(590600)(90b)3 750，解得 b65.答：该
20、产品的成本单价应不超过 65 元 2(2019黔南)某种蔬菜的销售单价 y1 与销售月份 x 之间的关系如图 1 所示，成本 y2 与销售月份 x 之间的关系如图 2 所示(图 1 的图象是线段，图 2 的图象是抛物线)图 1 图 2(1)已知 6 月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益售价成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由；(3)已知市场部销售该种蔬菜 4、5 两个月的总收益为 22 万元，且 5 月份的销售量比 4 月份的销售量多 2 万千克，求 4、5 两个月的销售量分别是多少万千克？解：(1)当 x 6 时，y1 3，y2 1.学习必备
21、 欢迎下载 第 7 页 y1y23 12，6 月份出售这种蔬菜每千克的收益是 2 元(2)设 y1mxn，y2a(x6)2 1.将(3，5)，(6，3)代入 y1mxn，得 3mn 5，6m n 3，解得m 23，n 7.y123x 7.将(3，4)代入 y2a(x6)2 1，4 a(36)2 1，解得 a 13.y213(x 6)2 113x2 4x13.y1y223x 7(13x2 4x13)13x2 103x 613(x 5)2 73.130，当 x 5 时，y1y2 取最大值，最大值为73，即 5 月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大(3)当 x 4 时，y1y22.设 4 月份的销售量
22、为 t 万千克，则 5 月份的销售量为(t2)万千克，根据题意，得 2t73(t2)22，解得 t4.t26.答：4 月份的销售量为 4 万千克，5 月份的销售量为 6 万千克 3(2019荆门)随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了 10 000 kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售已知每天养殖龙虾的成本相同，放养 10 天的总成本为 166 000，放养 30 天的总成本为 178 000元设这批小龙虾放养t 天后的质量为 a kg，销售单价为 y 元/kg，根据往年的行情预测，a 与 t 的函数关系为 a 10 000（0t20），100t8 000（20t
23、50），y 与 t 的函数关系如图所示 学习必备 欢迎下载 第 8 页(1)设每天的养殖成本为 m 元，收购成本为 n 元，求 m 与 n 的值；(2)求 y 与 t 的函数关系式；(3)如果将这批小龙虾放养 t 天后一次性出售所得利润为 W 元问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？(总成本放养总费用收购成本；利润销售总额总成本)解：(1)依题意，得 10m n 166 000，30mn 178 000，解得m 600，n 160 000.(2)当 0t20时，设yk1t b1，由图象得 b1 16，20k1 b1 28，解得k1 35，b1 16.y
24、35t16；当 20t50时，设yk2t b2，由图象得 20k2 b2 28，50k2 b2 22，解得k2 15b2 32.y15t32.综上，y35t16（0t20），15t32（20t50）.(3)Wya mt n，当 0t20时，W 10 000(35t16)600t 160 0005 400t.5 400 0，当 t20 时，W 最大5 40020 108 000.当 20t50时，W(15t32)(100t8 000)600t 160 000 20t21 000t 96 00020(t 25)2 108 500.200，抛物线开口向下，当 t25 时，W 最大108 500.10
25、8 500 108 000，学习必备 欢迎下载 第 9 页 当 t 25 时，W 取得最大值，该最大值为 108 500 元 4(2019扬州)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元/件，每天销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间存在一次函数关系，如图所示(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3 600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的
26、范围 解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx b，由题意，得 40k b 300，55k b 150，解得k 10，b 700.故 y 与 x 之间的函数关系式为 y10 x700.(2)由题意，得10 x700240，解得 x46，设利润为 w(x30)y(x30)(10 x700)10 x21 000 x 21 00010(x50)24 000.100，x50 时，w 随 x 的增大而增大 当 x46 时，w 最大10(4650)24 000 3 840.答：当销售单价为 46 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3 840 元(3)w 15010 x21 000 x 21
27、 000 1503 600，解得 x155，x245.如图所示，由图象得：当 45x55 时，捐款后每天剩余利润不低于 3 600 元 5(2019天门)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出 如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1(元)、生产成本 y2(元)与产量 x(kg)之间的函数关系(1)求该产品销售价 y1(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式；(2)直接写出生产成本 y2(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式；(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？解：(1)设 y1 与 x 之间的函数关系式为 y1kx
28、b，经过点(0，168)与(180，60)，根据题意，得 b 168，180k b 60，解得k 35，b 168.产品销售价 y1(元)与产量 x(kg)之间的函数关系式为 y135x168(0 x180)(2)由题意，可得当 0 x50 时，y270；当 130 x180 时，y254；当 50 x130时，设y2与 x 之间的函数关系式为 y2mx n.学习必备 欢迎下载 第 10 页 直线 y2mx n 经过点(50，70)与(130，54)，50m n 70，130m n 54，解得m 15，n 80.当 50 x130 时，y215x80.综上所述，生产成本 y2(元)与产量 x(
29、kg)之间的函数关系式为 y270（0 x50），15x80（50 x130），54（130 x180）.(3)设产量为x kg时，获得的利润为 W 元，当0 x50 时，W x(35x168 70)35(x 2453)212 0053，当x50时，W 的值最大，最大值为 3 400；当 50 x130时，W x(35x168)(15x80)25(x 110)24 840，当x110时，W 的值最大，最大值为 4 840；当130 x180 时，W x(35x168 54)35(x 95)25 415，当x130时，W 的值最大，最大值为 4 680.因此当该产品产量为 110 kg时，获得的利润最大，最大值为4 840元