2020届湖南省郴州市湘南中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)4848.pdf-淘文阁

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2、nsin55 ；34cossin25 故选：A【点睛】本题考查了诱导公式的应用，属于简单题.3函数 f(x)=23xx的零点所在的一个区间是 A（-2，-1）B（-1,0）C（0,1）D（1,2）【答案】B 第 2 页共 13 页【解析】试题分析：因为函数 f(x)=2x+3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022,f（0）=1+0=10,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选 B。【考点】本试题主要考查了函数零点的问题的运用。点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。4设3log 7a，1.12

3、b，3.10.8c，则（）Abac Bacb Ccba Dcab【答案】D【解析】根据指、对数的单调性直接将,a b c的范围求出来，然后再比较大小.【详解】因为333log 7(log 3,log 9)a，所以(1,2)a；1.122b；3.100.80.81c；所以cab，故选：D.【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值1分析法（与1比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.5要得到函数cos(21)yx的图象，只要将函数cos2yx的图象（）A向左平移 1 个单位 B向右平移 1 个单位 C向左平移 12个单位 D向右平移12个单位【答案】C【解析】ycos2x 向左平

4、移12个单位得 ycos2(x12)cos(2x1)，选 C 项 6命题“32,10 xR xx ”的否定是（）A32000,10 xR xx B32000,10 xR xx C不存在32000,10 xR xx D32,10 xR xx 【答案】B【解析】先将命题“32,10 xR xx ”的任意与存在互换，再将结论否定即可解.第 3 页共 13 页【详解】xR 的否定为0 xR，3210 xx 的否定为 3210 xx，命题“32,10 xR xx ”的否定是32000,10 xR xx.故选：B.【点睛】考查全称命题的否定，对全称命题的否定除了要对结论进行否定外，还要对全称量词作相应

5、变化.7函数()cosxf xex的图象在点(0,(0)f处的切线的倾斜角为（）A0 B4 C1 D2【答案】B【解析】试题分析：()cossinxxfxexex，令()1fx，则倾斜角为4.【考点】导数的几何意义.8已知函数()5xf x，若()3f ab，则()()f af b （）A3 B4 C5 D25【答案】A【解析】5xf x,53a bf ab,5 553aba bf af b.故选 A.9设奇函数 f x在0，上为单调递减函数，且 20f，则不等式 3205fxf xx的解集为()A 2 00 2，B 2 02，C 22，D20 2，【答案】A【解析】本题首先可以根据函数 f

6、x是奇函数将 325fxf xx转化为 fxx，再根据“函数 f x在0，上为单调递减函数且 20f”判断出函数 f x的第 4 页共 13 页函数值的正负，最后即可得出结果。【详解】因为函数 f x是奇函数，所以 323250555fxf xf xf xf xf xxxxx，即 0f xx，因为奇函数 f x在0，上为单调递减函数，且 20f，所以奇函数 f x在0，上为单调递减函数，且 20f，所以奇函数 f x在2，上是正值，在20，上是负值，在0 2，上是正值，2，上是负值，所以 f xx在 2 00 2，上满足大于等于 0，故选 A。【点睛】本题主要考察函数的单调性，对奇函数的相

7、关性质的理解是解决本题的关键，奇函数有 f xfx，考查推理能力，考查化归思想，是中档题。10已知函数 f x是定义在R上的偶函数，且对任意的,2xR f xf x，当 201,xf xx，若直线yxa与函数 f x的图像在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A0 B0 或12 C14或12 D0 或14【答案】D【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数a的值.详解：因为 2f xf x，所以周期为 2，作图如下：第 5 页共 13 页由图知，直线yxa与函数 f x的图像在0,2内恰有两个不同的公共点时直线yxa 点 A(1,1)

8、或与 2f xx相切，即11,0a a 或21,140,4xxaaa 选 D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 11奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图 1、2 所示，方程f(g(x)0、g(f(x)0 的实根个数分别为a、b，则ab等于()A14 B10 C7 D3【答案】B【解析】试题分析：，即当时，而此时时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，所以共个，即

9、，而当时，即，而时，与轴有个交点，当时，有 0 个交点，所以，所以【考点】函数的图像【方法点睛】此题考查根据图像解决复合函数实根个数的问题，属于中档习题，如果会第 6 页共 13 页看这两个图像，此题本身不难，对于方程，先看有和三个值使，对于复合函数来说，就是，和对应几个的值，所以该看的图像了，时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，所以共个，对于是先看函数，然后再看函数 12已知函数ln(1),0()11,02xxf xxx，若mn,且()()f mf n，则nm的取值范围为（）A32ln 2,2)B32ln 2,2 C1,2)e D1,2e【答案】A【解析】

10、分析：作出函数 f x的图象，利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数 f x的图象，如图所示，若mn，且()f mf n，则当ln(1)1x时，得1xe，即1xe，则满足01,20nem，则1ln(1)12nm，即ln(1)2mn，则22ln(1)nmnn，设 22ln(1),01h nnnne ，则 21111nh nnn，当 0h n，解得11ne，当 0h n，解得01n，当1n 时，函数 h n取得最小值 11 22ln(1 1)3 2ln2h ，当0n 时，022ln12h；当1ne 时，11 22ln(1

11、1)12h eeee ，所以32ln 2()2h n，即nm的取值范围是32ln 2,2)，故选A.第 7 页共 13 页点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题 132212fxxx，则 3f_.【答案】-1【解析】利用赋值法即可得到结果.【详解】2212fxxx，3f22 1 112 11f ，故答案为：1.【点睛】本题考查求函数值，考查赋值法，考查对应法则的理解，属于基础题.14曲线2lnyx在点1,0

12、处的切线方程为 _【答案】22yx【解析】求导2()fxx，可得斜率(1)2kf，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由()2lnyf xx，得2()fxx，则曲线2lnyx在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2kf，则所求切线方程为02(1)yx，即22yx.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简整理.第 8 页共 13 页 15 已知1eu r，2eu u r 是夹角为23的两个单位向量，ar1eu r22eu u r，brk1eu r2eu u r，若 arbr0，则实数 k 的值为_【答案】54【解析】解：因为12eeu

13、 ru u r与为两个夹角为23的单位向量，12=2a eeu ru u rr，12=kbeeu ru u rr 所以0ab rr即为221212121252(12)?20254eekeekeek e ekku ru u ru ru u ru ru u ru r u u r（）（）16已知函数 2,11,1xx xf xx，则不等式 2fxfx的解集是 _.【答案】0,2【解析】当当1x 时，利用导数知识可知 2xf xx在1,上单调递增，分类讨论解不等式即可.【详解】当1x 时，2xf xx，121210ln2ln2xfx ，2xf xx在1,上单调递增，由不等式 2fxfx可得：1212x

14、xxx 或121xx 解得：12x或01x，第 9 页共 13 页故答案为：0,2【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，考查利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题 17在中，三个内角，所对的边分别为，且，成等差数列，成等比数列，求证：为等边三角形【答案】见解析【解析】通过 A、B、C 成等差数列，且 a、b、c 成等比数列，得和，结合正弦定理以及余弦定理即可证明ABC 为等边三角形；【详解】由，成等差数列，得因为，为的内角，所以由，得，由，成等比数列，得由余弦定理及，可得将代入，可得，即，因此，从而有由，得，所以为等边三角形【点睛】本题考查判断三角形

15、的形状，也考查了正弦定理以及余弦定理和等差，等比数列的基本知识的应用，属于中档题.18在锐角三角形ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c且（1）求角A的大小；（2）若6a，8bc，求 ABC的面积【答案】（1）3A；（2）7 33ABCSV.【解析】（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形第 10 页共 13 页面积公式求出1sin2ABCSbcA值.【详解】（1）由及正弦定理，得.因为为锐角，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，所以.【考点】正余弦定理的综合应用及面积公式.19已知22()6xf xx（1

16、）若()f xk的解集为|32x xx或，求k的值；（2）若对任意的0 x，()f xt恒成立，求实数t的范围【答案】（1）25（2）6,6【解析】(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x2是其解集，得kx22x6k0 的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)2k，即k25.(2)x0，f(x)226xx 26xx22 666，当且仅当x6时取等号由已知f(x)t对任意x0 恒成立，故t66，即t的取值范围是6,6.20函数 log3(0,1)af xaxaa （1）当2a 时，求函数 f x在0,1x 上的值域；（2）是否存在实数a，使函数 f x在 1,2递减，并且最大值为

17、1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2(0,log 3（2）不存在第 11 页共 13 页【解析】试题分析：（1）函数为单调递减函数,根据单调性求值域（2）由复合函数单调性可得0a,根据函数最值可得 1log31afa,解得32a,根据函数定义域知2x 无意义,所以a不存在.试题解析：解：（1）由题意：2log3 2f xx，令3 2tx，所以1,3t，所以函数 f x的值域为20,log 3；（2）令3uax，则3uax 在 1,2上恒正，0,1aaQ，3uax 在 1,2上单调递减，30ax，即30,11,2a 又函数 f x在 1,2递减，3uax 在 1,2

18、上单调递减，1a，即31,2a，又函数 f x在 1,2的最大值为 1，11f，即 1log31afa，32a 32a Q与31,2a矛盾，a不存在.21已知函数 ln xafxaRx.（1）若曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线10 xy 平行，求a的值；（2）在（1）条件下，求函数 f x的单调区间和极值；（3）当1a，且1x 时，证明：1f x.【答案】（1）0；（2）f x的单调递增区间是0,e，单调递减区间是,e，极大值为 1f ee；（3）证明见解析.【解析】（1）求导得到 21 lnxafxx，代入计算 111fa 得到答案.（2）求导得到 fx，f x的变化情况表，得到单

19、调区间和极值.（3）证明等价于ln1xx，设 ln1h xxx，求导得到函数单调递增，计算最小值得到证明.【详解】（1）函数 f x的定义域为|0 x x，所以 21 lnxafxx.又曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线10 xy 平行，第 12 页共 13 页所以 111fa，即0a.（2）令 0fx，得xe，当x变化时，fx，f x的变化情况如下表：x 0,e e,e fx+0-f x Z 极大值由表可知：f x的单调递增区间是0,e，单调递减区间是,e，所以 f x在xe处取得极大值，f x的极大值为 1f ee.（3）当1a 时，ln1xf xx.由于1,x，要证 ln1

20、1xfxx，只需证明ln1xx，令 ln1h xxx，则 111xhxxx.因为1x，所以 0h x，故 h x在1,上单调递增，当1x 时，10h xh，即ln1xx 成立故当1x 时，有ln11xx，即 1f x.【点睛】本题考查了函数的切线，单调区间，极值，证明恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.22某车间有 50 名工人，要完成 150 件产品的生产任务，每件产品由 3 个A型零件和1 个B型零件配套组成，每个工人每小时能加工 5 个A型零件或者 3 个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件.设加工A型零件的工人数

21、为x名*xN.（1）设完成A、B型零件加工所需的时间分别为 f x、g x小时，写出 f x与 g x的解析式；（2）当x取何值时，完成全部生产任务的时间最短？【答案】（1）90f xx（*xN，且149x）；5050g xx（*xN，且149x）；（2）为了在最短时间内完成生产任务，x应取 32.第 13 页共 13 页【解析】（1）分别计算得到 90f xx和 5050g xx，再计算定义域得到答案.（2）根据 f x和 g x的大小关系得到*90,13250,334950 xNxxh xxNxx，分别计算函数的最小值得到答案.【详解】（1）生产 150 件产品，需加工A型零件 450

22、个，则完成A型零件加工所需时间 450905fxxx（*xN，且149x）.生产 150 件产品，需加工B型零件 150 个，则完成B型零件加工所需时间 150503 5050g xxx（*xN，且149x）.（2）设完成全部生产任务所需时间为 h x小时，则 h x为 f x与 g x的较大者.令 f xg x，即905050 xx，解得11327x.所以，当132x时，f xg x；当3349x时，f xg x.故*90,13250,334950 xNxxh xxNxx.当132x时，2900hxx，故 h x在1,32上单调递减，则 h x在1,32上的最小值为 9045323216h（小时）；当3349x时，250050hxx，故 h x在33,49上单调递增，则 h x在33,49上的最小值为 505033503317h（小时）；3332hh，h x在1,49上的最小值为 32h.32x.为了在最短时间内完成生产任务，x应取 32.【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

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