《湖南省长沙市周南中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题含答案(解析版)3437.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市周南中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题含答案(解析版)3437.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1长沙市周南中学 2023 届高三第二次月考数学试题时量：120 分钟分量：150 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合29,2,0,2,3AxxB，则AB（）A.33xx B.33xx C.3xx D.2,0,2【详解】由题意可知，29|33|Axxxx，又因为2,0,2,3B，所以|33ABxx .选B2.函数 23 3xxfxx的图象大致为（）A.B.C.D.【详解】函数 23 3xxfxx的定义域为0 xx，22333 3xxxxf xfxxx ，所以，函数 fx为奇函数，排除 B 选项；当0
2、x 时，33xx，则 0fx，排除 D 选项；2 19207923499f，331313339243f，则 23ff，所以，函数 fx在 2,3上不是减函数，排除 A 选项.故选：C.3.已知等比数列na的前n项和为nS，且2a，53a，89 a成等差数列，则63SS（）A.13B.43C.3D.4答案B4.已知正方形ABCD的对角线2AC，点 P在另一对角线BD上，则AP AC的值为（）A.-2B.2C.1D.4答案B5 直线:3ly kx与椭圆22:143xyC相交于 A，B 两点，设 O为坐标原点，则“32k”是“OAB的面积为3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充
3、分也不必要条件答案 A6古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18表示.若实数n满足224sin184n，则221 sin188 sin18n（）A14B12C54D32答案：A7 设函数 sinfxx，若 ln2a f，13log2b f，123c f ，则（）A.a b c B.b c a C.c a b D.b a c【解 析】函 数 sinfxx为 偶 函 数 且2x为 其 一 条 对 称 轴，故3133log2log2b ff，显然3ln20 log2ln2 1ln3，故b a.因为121.731.8，1.51.62
4、，ln2 12，所以a c，所以b a c.故选：D.8在正方体1 1 1 1ABCDA B C D中，3AB，点E是线段AB上靠近点A的三等分点，在三角形1ABD内有一动点P（包括边界），则PAPE的最小值是（）A2B22C3D3 3解：以D为坐标原点，1,DA DC DD为,xyz轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则10,3,3C，3,0,0A，3,1,0E，设A关于平 面1ABD的对称 点为,A xyz，则3,AAxyz，平面1ABD的法向量是13,3,3AC 又A与A到平面1ABD的距离13 333d，又1/AAAC，设 3,3,3,333,3,3xyzA 而2231,2,23AAA
5、 4 1 4 3PAPE PAPE A E （当且仅当,A PE三点共线时取等号），即PAPE的最小值为3.故选：C.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分9.在ABC中，内角,A B C所对的边分别为 a、b、c，则下列说法正确的是（）A.sinsinsinsinba b cBABC B.若AB，则sin2sin2ABC.cos cosa bCcB4D.若()0AB ACBCAB AC，且12AB ACAB ACuuur uuuruuur uuur，则ABC为等边三角形
6、【详解】A：由sinsinsinabcABC，根据等比的性质有sinsinsinsinba b cBABC，正确；B：当,36AB时，有sin2sin2AB，错误；C：sincossincossin()BCCBB C，而B CA ，即sincossincossinBCCBA，由正弦定理易得cos cosa bC cB，正确；D：如下图，,ABACAEAFABAC是单位向量，则AB ACAB ACAE AF AG ，即0AGBC、12AEAFuuuruuur，则AG BC 且AG平分BAC，,AE AF的夹角为3，易知ABC为等边三角形，正确.故选：ACD10 已知定义域为 R的函数 fx满足
7、110fxfx，函数 sin0gxfxx，若函数 1y gx为奇函数，则的值可以为（）A.4B.2C.D.32【解析】因为 110fxfx，所以 fx关于点 1,0对称，要使 111 singxxfx 为奇函数，因为 1fx 关于点 0,0对称，为奇函数，所以只需使 sin 1sinyxx 为偶函数即可，所以,2k k Z，故符合题意的有 B、D；故选：BD11.已知点P是ABC的中线 BD 上一点（不包含端点）且AP x ABy AC，则下列说法正确的是（）5A.21xyB.21x y C.242 2xyD.22log log3xy 答案AC12.若函数 2ln21()fxx axxa R存
8、在两个极值点12,xx12x x，则（）A.函数 fx至少有一个零点B.0a 或2a C.1102x D.121 2ln2fxfx【详解】对于 A，22ln21ln(1)fxx axxx ax 2(1)ln1(11)0fa，1x 是()fx的一个零点，故 A正确对于 B，21221()(2 2)axaxfxa xxx ()fx存在两个极值点1212,()xx x x，22210axax 有两个不相等的实数根，即()fx有两个变号零点120,0 xx0，即22(2)4 21484(2)0aaaaaa ，20aa 或又120,0 xx，121210102x xx xa，解得0a 综上，2a，故 B
9、错误对于 C，由 B选项可得，121x x+，211xx，111x x ，1102x 故 C正确对于 D，2212111222()()ln(21)ln(21)fxfxx axxx axx 22121212ln2()2x x axxx x将121211,2x xx xa代入上式212111()()ln(1 22 12)ln2(1)22fxfxaa aaaa ln2ln1ln ln2 1a aaa 令()ln ln21(2)haaaa 11()10ahaaa 有()ha在(2,)上单调递增，()(2)2ln2ln2112ln2hah ，故 D正确故选：ACD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5
10、 分，共 20 分613.已知2 i是关于x的方程250 xax 的根，则实数a_答案-414.双曲线221x my的渐近线方程为2yx，则m_答案1415.已知平面向量,abc均为单位向量，且1a b，则 a bb c 的最大值为【详解】22222 21a baab bab ，12ab，2112a b b cab ac bbca b c 1cos,2a b ca bc 1cos,2a bc ，cos,1,1a bc ，3 1,22a bb c ，即 a bb c 的最大值为12.16、公比为 q 的等比数列 na满足：89ln0aa，记1 2 3nnTa aaa，则当 q 最小时，使1nT成
11、立的最小 n 值是_解8988aaeqaa构造函数 min01xefxxfxfe qx 此时1588028115nnnnnnaa qeTeen 答案 15四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）已知数列na满足0na，*Nn，2210n nnaaka且0na.（1）当 lgna成等差数列时，求 k 的值；7（2）当2k 且11a，4162a时，求2a及na的通项公式.解：（1）因为 lgna成等差数列，所以122lglg lgnnnaaa，所以212nnnaa a，又2210n nnaaka所以1k 4 分（2）因为2212
12、0nnnna aaa，所以21 322a aa，22432aaa，所以322148162aaa，所以22a，6 分因为2112nnnnaaaa，又由212aa，所以1nnaa是首项为2，公比为 2 的等比数列，所以112 2nnnaa，所以 21101 22321121222nnnnnnaaaaaa aa，所以 212nna10 分18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，22AB AD，PA 平面ABCD，E为PD中点.（1）若1PA，求证：AE 平面PCD；（2）当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E ABC的体积.【详解】（1）证明：PA 平
13、面ABCD，CD 平面ABCDPA CD四边形ABCD为矩形AD CD又AD PA A，,AD PA 平面PADCD平面PADAE 平面PADCD AE8在PAD中，1PA AD，E为PD中点AE PD又PD CD D，,PD CD 平面PCDAE平面PCD4 分（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设0APaa，则2,1,0C，0,0,Pa，10,2 2aE，2,1,0AC，10,2 2aAE，2,1,PCa，设平面ACE的一个法向量为,nxyz，则00ACnAE n201022x yayz 令2y ，解得12xza21,2,na 8
14、 分设直线PC与平面ACE所成角为，则|sincos,|nPCnPCn PC 2222720295 aa当且仅当2a 时，等号成立10 分三棱锥E ABC的体积1 1222 13 226E ABCV 12 分19（本小题满分 12 分）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为9由近及远设置的A，B，C 三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费 10 元，投进A 桶，奖励游客面值20 元的景区消费券；投进B 桶，奖励游客面值60 元的景区消费券；投进C 桶，奖励游客面值90 元的景区消费券；投不进则没有奖励游客各次投球是否投进相互独立（1）向A 桶投球3 次，每
15、次投进的概率为p，记投进2 次的概率为()f p，求()f p的极大值点0p；（2）游客甲投进A，B，C 三桶的概率分别为000133,21020ppp，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由解：（1）3 次向A 桶投球投进2 次的概率22323()(1)33 f pC pppp2分2()96 f ppp令()0f p，得23p当20,3p时，()0f p；当2,13p时，()0f p()f p在20,3上单调递增，在2,13单调递减，所以()f p的极大值点023p6 分（2）由（1）得游客甲投进A，B，C 三桶的概率分别为1 1 1,3 5 10设投进A 桶的纯收入为X 元，
16、1210()10(10)333 E X；设投进B 桶的纯收入为Y 元，14()50(10)255 E Y；设投进C 桶的纯收入为Z 元，19()80(10)11010 E Z；因为()()()E XE ZE Y所以游客甲选择向B 桶投球更有利12 分20.(本小题满分12 分)如图,在ABC中,D为AC的中点,且sinsinABCDBC(1)证明:2BABD;10(2)若33ACBC,求sin BDC.解：（1）因为D为AC的中点，故12sinsin2ABCBDCSSBABCABCBDBCDBC又sinsinABCDBC于是2BABD5 分（2）设BDx则 22222231132712cosc
17、os32 1 3222 12xxCxC 10 分在BDC中，71212sinsin732BDCBDC12 分21.（本小题满分12 分）已知抛物线2:2(0)Cypx p与直线:20l xy交于M，N 两点，且线段MN 的中点为8,PPy.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M.若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由.解析：（1）将2122yxypx 代入得2880822pxpxp所以抛物线C 的方程为24yx.4 分（2）设直线:84mxt y，11,A x y，22,B x y.联立2484yxxt y，
18、整理得2416320ytyt，11所以124yyt，121632y yt，7 分假设存在以弦AB 为直径的圆恒过点,Mm n则221212,044yyMAMBm ynm yn 恒成立9 分化简得22216448 8432160m tmn tmnm令22164048 840432160mmnmnmnm故以弦AB 为直径的圆恒过点(4,4).12 分22、（本小题满分12 分）已知函数1ln()xf xx（1）求函数()yf x的最大值；（2）证明：2*222ln2ln3ln21N,2234(1)nnnnnnn解（1）2ln()xf xx，当(0,1)x时，()0f x，当(1,)x时，()0f x，()f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减所以max()(1)1f xf，即当1x时，()f x取最大值14 分（2）由（1）知()1f x，当且仅当1x时取等号，因此当1x时，ln1xx，即当2n时，22ln1nn，222222ln1 ln111111()(1)12222(1)nnnnnnnn n1111()21nn，8 分所以222ln2ln3ln11111111()1()1()23223341nnnn 12211121(1)()2214(1)nnnnn12 分