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1、 1 垂直关系 61 垂直关系的判定 第一课时 直线与平面垂直的判定 预习课本P36 37，思考并完成以下问题(1)直线与平面垂直的定义是怎样的？(2)直线与平面垂直的判定定理是什么？新知初探 1直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直 点睛 关于直线与平面垂直的定义的理解(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直(2)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法 2直线和平面垂直的判定定理(
2、1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示.(3)符号语言：a，b，abA，la，lbl.点睛 判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若ab，a，l，则lb.()(3)若ab，b，则a.()答案：(1)(2)(3)2若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()2 A
3、平面OAB B平面OAC C平面OBC D平面ABC 答案：C 3已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有一个 B有两个 C有无数个 D不存在 答案：C 4一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行 B垂直 C相交不垂直 D不确定 答案：B 直线与平面垂直关系的判断 典例 下列命题中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条直线垂直，则l；如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直 A0 B1 C2 D3 解析 当 内的两条直线平行时，l 与 不一定垂直，故不对
4、；当 l 与 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与 垂直，故不对；当 l 与 不垂直时，l 可能与 内的无数条直线垂直，故不对；正确故选 B.答案 B 解决此类问题常用的方法(1)依据定义、定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；(2)否定命题时只需举一个反例；(3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选 活学活用 如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直而梯形的两边可能是上、下底边，
5、它们互相平行，不满足定理条件故填.3 答案：直线与平面垂直的证明 典例 如图所示，RtABC所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点求证：直线SD平面ABC.证明 SASC，点 D 为斜边 AC 的中点，SDAC.连接 BD，在 RtABC 中，则 ADDCBD，ADSBDS，SDBD.又 ACBDD，SD平面 ABC.一题多变 1变条件，变结论在本例中，若ABBC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系 解：ABBC，点 D 为斜边 AC 的中点，BDAC.又由典例知 SD平面 ABC，SDBD.于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线，故 BD平面 SAC.2变条
6、件，变结论 将本例改为：已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PAPC，PBPD.若O是AC与BD的交点，求证：PO平面ABCD.证明：在PBD 中，PBPD，O 为 BD 的中点，POBD.在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点，POAC，又ACBDO，PO平面 ABCD.4 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面 层级一 学业水平达标 1若直线a平面，b，则a与b的关系是()Aab，且a与b相交 Bab，且a与
7、b不相交 Cab Da与b不一定垂直 解析：选 C 过直线 b 作一个平面，使得 c，则 bc.因为直线 a平面，c，所以 ac.因为 bc，所以 ab.当 b 与 a 相交时为相交垂直，当 b 与 a 不相交时为异面垂直，故选C.2已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且m Bmn，且n Cmn，且n Dmn，且n 解析：选 B A 中，由，且 m，知 m；B 中，由 n，知 n 垂直于平面 内的任意直线，再由 mn，知 m 也垂直于 内的任意直线，所以 m，符合题意；C、D 中，m 或m 或 m 与 相交，不符合题意，故选 B.3下
8、列四个命题中，正确的是()若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直 A B C D 解析：选 D 不正确 4.如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是(5 )A异面 B平行 C垂直 D不确定 解析：选 C BA，l，l，BAl.同理 BCl.又 BABCB，l平面 ABC.AC平面 ABC，lAC.5若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂
9、直的平面()A有且只有一个 B可能存在，也可能不存在 C有无数多个 D一定不存在 解析：选 B 当 l1l2时，过 l1且与 l2垂直的平面有一个，当 l1与 l2不垂直时，过 l1且与 l2垂直的平面不存在 6在三棱锥V-ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件_时，有VCAB.(注：填上你认为正确的条件即可)解析：只要 VC平面 VAB，即有 VCAB；故只要 VCVA，VCVB 即可 答案：VCVA，VCVB(答案不唯一，只要能保证VCAB即可)7如图所示，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_ 解析
10、：(1)因为 PC平面 ABC，AB，AC，BC平面 ABC，所以与 PC 垂直的直线有 AB，AC，BC.(2)BCA90，即 BCAC，又 BCPC，ACPCC，所以 BC平面 PAC.又 AP平面PAC，所以 BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC 8在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是_ 解析：如图所示，作 PDBC 于 D，连接 AD.PA平面 ABC，PABC.又 PDPAP，CB平面 PAD，ADBC.在ACD 中，AC5，CD3，AD4.在 RtPAD 中，PA8，AD4，PD 82424 5.答案：4 5 6 9如图，在四棱锥P
11、-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC22，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.证明：如图，连接 PE，EC，在 RtPAE 和 RtCDE 中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC 是等腰三角形 又 F 是 PC 的中点，EFPC.又 BP AP2AB22 2BC，F 是 PC 的中点，BFPC.又 BFEFF，PC平面 BEF.10如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证：BD1平面AB1C.证明：连接 BD，则 BDAC.又DD1平面 ABCD，AC平面 ABCD，DD1AC.又 DD1BDD，AC平面 BDD1.BD1平面 BDD
12、1，ACBD1.同理 B1CBD1.又 ACB1CC,BD1平面 AB1C.层级二 应试能力达标 1直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行 B相交 C异面 D垂直 解析：选 A 直线 l平面，l 与 相交 又m，l 与 m 相交或异面 由直线与平面垂直的定义，可知 lm.故 l 与 m 不可能平行 2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是 ()A平面DD1C1C B平面A1DB1 C平面A1B1C1D1 D平面A1DB 7 答案：B 3如图，O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1D BAA1 CA1D1 DA1
13、C1 解析：选 D 由题易知，A1C1平面 BB1D1D，又 OB1平面 DD1B1B，A1C1B1O.4已知两条直线m，n，两个平面，给出下列四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn.其中正确命题的序号是()A B C D 解析：选 C 正确；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，也可能异面，因此是错误的；对于，直线 n 也可能位于平面 内，因此是错误的；对于，由 m 且，得 m，又 mn，故 n，因此是正确的 5设l，m，n为三条不同的直线，为一个平面，给出下列命题：若l，则l与相交；若m，n，lm，ln，则l；若lm，mn，l，则n；若
14、lm，m，n，则ln.其中正确命题的序号为_ 解析：显然正确；对，只有当 m，n 相交时，才有 l，故错误；对，由 lm，mnln，由 l，得 n，故正确；对，由 lm，ml，再由 nln，故正确 答案：6如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC90，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为_ 解析：AA1平面 ABC，BC平面 ABC，BCAA1.ABC90，BCAB.又 ABAA1A，BC平面 AA1B1B.8 又 AM平面 AA1B1B，AMBC.答案：垂直 7如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N.求证：AN平面P
15、BM.证明：设圆 O 所在的平面为，PA，且 BM，PABM.又AB 为O 的直径，点 M 为圆周上一点，AMBM.由于直线 PAAMA，BM平面 PAM，而 AN平面 PAM，BMAN.AN 与 PM，BM 两条相交直线互相垂直 故 AN平面 PBM.8如图，在三棱锥A-BCD中，ABCD，ADBC.求证：ACBD.证明：过 A 作 AG平面 BCD 于 G，连接 BG，则 AGCD.又 ABCD，AGABA，CD平面 ABG.BG平面 ABG，CDBG.连接 DG，同理 DGBC，G 是BCD 的垂心 连接 CG，则 CGBD，又 AGBD，AGCGG，BD平面 ACG，又 AC平面 AC
16、G，ACBD.9 第二课时 平面与平面垂直的判定 预习课本P37 39，思考并完成以下问题(1)二面角的概念是什么？如何求二面角的平面角？(2)平面与平面垂直的概念及判定定理的内容是什么？新知初探 1二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面(3)二面角的记法：以直线AB为棱，半平面，为面的二面角，记作：二面角面-AB-.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点O为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱l的两条射线OA，OB，
17、则这两条射线所成的角AOB叫作二面角的平面角(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角(6)二面角的取值范围为0180.点睛(1)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为 0；(2)二面角的大小为 90时，两个平面互相垂直(3)当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为 180.2 两个平面互相垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 3两个平面互相垂直的判定定理(1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(2)图形语言：如图所示 (3)符合语言：aa.点睛 对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂
18、直，则面面垂直”(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线 10(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂直面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若l，则过l有无数个平面与垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90.()(3)若，a，b，则ab.()答案：(1)(2)(3)2在二面角-l-的棱l上任选一点O，若AOB是二面角-l-的平面角，则必须具有的条件是()AAOBO，AO，BO BAOl，BOl CABl，AO，BO DAOl，B
19、Ol，且AO，BO 答案：D 3如图，在正方体ABCD-ABCD中，二面角D-AB-D的大小为_ 答案：45 平面与平面垂直的判定 典例 如图所示，在四面体ABCS中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC.证明 法一 利用定义证明 因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB 和ASC 是等边三角形，则有 SASBSCABAC，设其值为 a，则ABC 和SBC 为共底边 BC 的等腰三角形 11 取 BC 的中点 D，如图所示，连接 AD，SD，则 ADBC，SDBC，所以ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角 在 RtBSC 中，因为 SBSCa，
20、所以 SD22a，BDBC222a.在 RtABD 中，AD22a，在ADS 中，因为 SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角 A-BC-S 为直二面角，故平面 ABC平面 SBC.法二 利用判定定理证明 因为 SASBSC，且证明BSACSA60，所以 SAABAC，所以点 A 在平面 SBC 上的射影为SBC 的外心 因为SBC 为直角三角形，所以点 A 在SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点，所以 AD平面 SBC.又因为 AD平面 ABC，所以平面 ABC平面 SBC.(1)证明平面与平面垂直的方法：利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经
21、过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 活学活用 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面AA1C1C.证明：在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，BD平面 ABCD，AA1BD.又在正方形 ABCD 中，ACBD，又 ACAA1A，BD平面 AA1C1C.又BD平面 A1BD，12 平面 A1BD平面
22、 AA1C1C.二面角的求法 典例 如图，三棱锥V-ABC中，VAVBACBC2，AB23，VC1，试画出二面角V-AB-C的平面角，并求它的大小 解 如图，取 AB 的中点 D，连 VD，CD.VAVBACBC，VDAB，CDAB.VDC 就是二面角 V-AB-C 的平面角 在VAB 中，VAVB2，AB2 3，VD1.同理 CD1.又 VC1，VCD 为等边三角形 VDC60.即二面角 V-AB-C 的平面角的大小是 60.求二面角的三种方法(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交
23、线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法 活学活用 如图，已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，求二面角A-BC-O的大小 解：如图，在平面 内，过 O 作 ODBC，垂足为点 D，连接AD，设 COa.AO，BC，AOBC.又 AOODO，BC平面 AOD.而 AD平面 AOD，ADBC，ADO 是二面角 A-BC-O 的平面角 由 AO，OB，OC，知 AOOB，AOOC.13 ABO30，ACO45，COa，AOa，AC 2a，AB2a.在 RtABC 中，BA
24、C90，BC AC2AB2 6a，ADABACBC2a 2a6a2 33a.在 RtAOD 中，sinADOAOADa2 33a32.ADO60，即二面角 A-BC-O 的大小是 60.线面、面面垂直的综合问题 典例 如图，PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPB于E，AFPC于F，求证：(1)平面AEF平面PBC；(2)PBEF.证明(1)AB 是O 的直径，C 在圆上，ACBC.又 PA平面 ABC，BC平面 ABC，PABC.又 ACPAA，BC平面 PAC.又 AF平面 PAC，BCAF.又 AFPC，PCBCC，AF平面 PBC.又 AF平面 AEF，平面 AEF平面
25、 PBC.(2)由(1)知 AF平面 PBC，AFPB.又 AEPB，AEAFA，PB平面 AEF.又 EF平面 AEF，PBEF.线线、线面、面面垂直的相互转化 解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化的关系，即线线垂直线面垂直面面垂直 活学活用 14 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPC 2a，求证：(1)PD平面ABCD；(2)平面PAC平面PBD.证明：(1)PDa，DCa，PC 2a，PC2PD2DC2.则 PDDC.同理可证 PDAD.又ADDCD，且 AD，DC平面 ABCD，PD平面 ABCD.(2)由(1)知 PD平面 ABC
26、D，又AC平面 ABCD，PDAC.四边形 ABCD 是正方形，ACBD.又BDPDD，且 PD，BD平面 PBD，AC平面 PBD.又AC平面 PAC，平面 PAC平面 PBD.层级一 学业水平达标 1设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若ab，a，则b B若，a，则a C若，a，则a D若ab，a，b，则 解析：选 D A 错，可能 b；B 错；C 错，可能 a.只有 D 正确 2已知直线a，b与平面，下列能使成立的条件是()A，Ba，ba，b Ca，a Da，a 解析：选 D 由 a，知 内必有直线 l 与 a 平行而 a，l，.3从空间一点P向二面角-
27、l-的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角-l-的平面角的大小是()A60 B120 C60或120 D不确定 解析：选 C 若点 P 在二面角内，则二面角的平面角为 120；若点 P 在二面角外，则二面角的平面角为 60.4如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿 15 BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDC C平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC 解析：选 D 由已知得 BAAD，CDBD，又平面 ABD平面
28、 BCD，CD平面 ABD，从而 CDAB，故 AB平面 ADC.又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC.5.如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A1对 B2对 C3对 D5对 解析：选 D DAAB，DAPA，DA平面 PAB.同理 BC平面 PAB，又 AB平面 PAD，DC平面 PAD，平面 PAD平面 BCD，平面 PAB平面 ABCD，平面 PBC平面 PAB，平面 PAB平面 PAD，平面 PDC平面 PAD，共 5 对 6如果规定：xy，yz，则xz，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面，关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传
29、递性的是_ 解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性 答案：平行 7如图，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.解析：取 BC 中点 M，则 AMBC，由题意得 AM平面 BDC，AMD 为直角三角形，AMMD22a.AD22a 2a.答案：a 8如图，ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC1，将ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD平面ACD，则折叠后BC_.16 解析：由题意知，BDAD，由于平面 ABD平面 ACD.BD平面 ADC.又 DC平面 ADC，BDDC.连接 BC，则
30、 BC BD2DC2 2222221.答案：1 9如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB平面ABCD.证明：连接 AC，交 BD 于点 F，连接 EF，EF 是SAC 的中位线，EFSC.SC平面 ABCD，EF平面 ABCD.又 EF平面 EDB.平面 EDB平面 ABCD.10如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.求证：平面AEC平面AFC.证明：如图，连接 BD，设 BDAC 于点 G，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设
31、GB1.由ABC120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF22.在 RtFDG 中，可得 FG62.在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE 2，DF22，17 可得 EF3 22.从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG.又 ACFGG，所以 EG平面 AFC.因为 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.层级二 应试能力达标 1对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()Amn，m，n Bmn，m，n Cmn，n，m Dmn，m，n 解析：选 C n，mn，
32、m，又 m，由面面垂直的判定定理，得.2空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADC B平面ABC平面ADB C平面ABC平面DBC D平面ADC平面DBC 解析：选 D 如图，ADBC，ADBD，BCBDB，AD 平 面BCD.又AD平面 ADC，平面 ADC平面 DBC.3如果直线l，m与平面，满足：l，l，m和m，那么必有()A且lm B且m Cm且lm D且 解析：选 A B 错，有可能 m 与 相交；C 错，有可能 m 与 相交；D 错，有可能 与 相交 4.如图，在四面体P-ABC中，ABAC，PBPC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下
33、列结论中不一定成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面PAE D平面PDF平面ABC 解析：选 D 因为 D，F 分别为 AB，AC 的中点，则 DF 为ABC 的中位线，则 BCDF，依据线面平行的判定定理，可知 BC平面 PDF，A 成立又 E 为 BC 的中点，且 PBPC，ABAC，则 BCPE，BCAE，依据线面垂直的判定定理，可知 BC平面 PAE.因为 BCDF，所以 DF平面 PAE，B 成立又 DF 平面 PDF，则平面 PDF平面 PAE，C 成立要使平面 PDF平面ABC，已知 AEDF，则必须有 AEPD 或 AEPF，由条件知此垂直关系不一定成
34、立，故选 D.18 5如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接 AC，则 ACBD，因为 PA平面 ABCD，BD平面ABCD，所以 PA BD.又 ACPAA，所以 BD平面 PAC.因为 PC平面PAC，所以 BDPC.所以当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD.而PC平面 PCD，所以平面 MBD平面 PCD.答案：DMPC(或BMPC)6如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上
35、转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了_ 解析：如图所示，因为 OAOB，OAOC，OB，OC，且 OBOCO，根据线面垂直的判定定理，可得 OA，又 OA，根据面面垂直的判定定理，可得.答案：面面垂直的判定定理 7如图，已知三棱锥P-ABC，ACB90，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.求证：(1)PA平面PBC；(2)平面PAC平面ABC.证明：(1)因为PDB 是正三角形，所以BPD60，因为 D 是 AB 的中点，所以 ADBDPD.又ADP120，所以DPA30，所以DPABPD90，所以 PAPB.又 PAPC，PBPCP，所以 PA平面 PBC.(2)
36、因为 PA平面 PBC，所以 PABC.因为ACB90，所以 ACBC.又 PAACA，所以 BC平面 PAC.因为 BC平面 ABC，19 所以平面 PAC平面 ABC.8如图所示，在矩形ABCD中，已知AB12AD，E是AD的中点，沿BE将ABE折起至ABE的位置，使ACAD，求证：平面ABE平面BCDE.证明：如图所示，取 CD 的中点 M，BE 的中点 N，连接 AM，AN，MN，则 MNBC.AB12AD，E 是 AD 的中点，ABAE，即 ABAE.ANBE.ACAD，AMCD.在四边形 BCDE 中，CDMN，又 MNAMM，CD平面 AMN.又 AN平面 AMN，CDAN.DE
37、BC 且 DE12BC，BE 必与 CD 相交 AN平面 BCDE.又 AN平面 ABE，平面 ABE平面 BCDE.62 垂直关系的性质 预习课本P39 41，思考并完成以下问题(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？新知初探 1直线与平面垂直的性质定理 20(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行(2)图形语言：(3)符号语言：abab.(4)作用：线面垂直线线平行；作平行线 点睛 剖析直线与平面垂直的性质定理(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结
38、论(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据 2平面和平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(2)图形语言：(3)符号语言：laala.(4)作用：面面垂直线面垂直；作面的垂线 点睛 对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时，可以利用
39、此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线a和直线c，a，若ca，则c.()(2)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面()(3)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面(21 )(4)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别平行或垂直()答案：(1)(2)(3)(4)2已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是()Ab Bb Cb Db与相交 答案：C 3若平面平面，平面平面，则()A B C与相交但不垂直 D以上都有可能 答案：D
40、 4若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A直线a垂直于第二个平面 B直线b垂直于第一个平面 C直线a不一定垂直于第二个平面 D过a的平面必垂直于过b的平面 答案：C 直线与平面垂直的性质及应用 典例 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.证明 因为四边形 ADD1A1为正方形，所以 AD1A1D.又因为 CD平面 ADD1A1，AD1平面 ADD1A1，所以 CDAD1.因为 A1DCDD，所以 AD1平面 A1DC.又因为 MN平面 A1DC，所以 MNAD1.证
41、明线线平行的五种方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；22(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行 活学活用 如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明：因为 EA，l，即 l，所以 lEA.同理 lEB.又 EAEBE，所以 l平面 EAB.因为 EB，a，所以 EBa，又 aAB，EBABB，所以 a平面 EAB.由线面垂直的性质定理，得 al.面面垂
42、直性质定理的应用 典例 已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.证明 如图，在平面 PAC 内作 ADPC 于点 D，平面 PAC平面 PBC，AD平面 PAC，且 ADPC，AD平面 PBC，又 BC平面 PBC，ADBC.PA平面 ABC.BC平面 ABC，PABC，ADPAA，BC平面 PAC，又 AC平面 PAC，BCAC.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直应用面面垂直的性质定理，注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线 活学活用 23 如图所
43、示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，G为AD的中点，且DAB60.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明：(1)如图，在菱形 ABCD 中，连接 BD，由已知DAB60，ABD 为正三角形，G 是 AD 的中点，BGAD.平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，BG平面 PAD.(2)如图，连接 PG.PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点，PGAD，由(1)知 BGAD.又PGBGG.AD平面 PBG.而 PB平面 PBG，ADPB.垂直关系的综合应用 典例 如图，在BC
44、D中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEACAFAD(01)(1)求证：无论为何值，总有平面BEF平面ABC.(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?解 (1)证明：AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD.CDBC，ABBCB，CD平面 ABC.又AEACAFAD(01)，无论 为何值，恒有 EFCD，EF平面 ABC.又EF平面 BEF，无论 为何值，总有平面 BEF平面 ABC.24(2)由(1)知 BEEF，平面 BEF平面 ACD，平面 BEF平面 ACDEF，BE平面 ACD.又AC平面 ACD，BEAC.BCCD1，BC
45、DABD90，ADB60，BD 2，AB 2tan 60 6，AC AB2BC2 7.由 RtAEBRtABC，得 AB2AEAC，AE67，AEAC67.故当 67时，平面 BEF平面 ACD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直 (2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注
46、意应用转化思想解决问题 活学活用 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点(1)求证：AEDA1；(2)在线段AA1上是否存在一点G，使得AE平面DFG？并说明理由 解：(1)证明：连接 AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1AD1，DA1AB，又 ABAD1A，DA1平面 ABC1D1.又 AE平面 ABC1D1，DA1AE.(2)所示 G 点即为 A1点，证明如下：由(1)可知 AEDA1，取 CD 的中点 H，连接 AH，EH，由 DFAH，DFEH，AHEHH，可证 DF平面 AHE，25 AE平面 AHE，DFAE.又 DFA1DD，
47、AE平面 DFA1，即 AE平面 DFG.层级一 学业水平达标 1在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交 B平行 C异面 D相交或平行 解析：选 B 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行 2平面平面，直线a，则()Aa Ba Ca与相交 D以上都有可能 解析：选 D 因为 a，平面 平面，所以直线 a 与 垂直、相交、平行都有可能故选D.3已知三个平面，若，且与相交但不垂直，则()A存在a，a B存在a，a C任意b，b D任意b，b 解析：选 B 因为三个平面，若，且 与 相交但不垂直，则
48、可知存在 a，a，选 B.4已知平面，和直线m，l，则下列命题中正确的是()A若，m，lm，则l B若m，l，lm，则l C若，l，则l D若，m，l，lm，则l 解析：选 D 选项 A 缺少了条件：l；选项 B 缺少了条件：；选项 C 缺少了条件：m，lm；选项 D 具备了面面垂直的性质定理的条件 5在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1的位置关系为()A平行 B共面 C垂直 D不垂直 解析：选 C 如图所示，在四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD.BDAC.平面 AA1C1C平面 ABCD，平面 AA1C1C平面 A
49、BCDAC，BD平面 ABCD，BD平面 AA1C1C.又 CC1平面 AA1C1C，BDCC1，故选 C.26 6.如图，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为_ 解析：CACB，O 为 AB 的中点，COAB.又平面 ABC平面 ABD，交线为 AB，CO平面 ABD.OD平面 ABD，COOD，COD 为直角三角形 所以图中的直角三角形有AOC，COB，ABC，AOD，BOD，COD 共 6 个 答案：6 7.如图，直二面角-l-，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为_ 解析：如图，
50、连接 BC，二角面-l-为直二面角，AC，且 ACl，AC.又 BC，ACBC，BC2AB2AC23，又 BDCD，CD BC2BD2 2.答案：2 8已知m，n是直线，是平面，给出下列说法：若，m，nm，则n或n；若，m，n，则mn；若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；若m，nm且n，n，则n且n.其中正确的说法序号是_(注：把你认为正确的说法的序号都填上)解析：错，垂直于交线，不一定垂直平面；对；错，凡是平面内垂直于 m 的射影的直线，m 都与它们垂直；对 27 答案：9.如图：三棱锥P-ABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，ACP30