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1、第 1 页（共 25 页）2015-2016 学年上海市崇明县八年级（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 15 题，每题 2 分，满分 30 分）1化简：=2方程 x2=4x 的根为3函数的定义域是4如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 x 的值是5已知 f（x）=，则=6在实数范围内分解因式：x23x2=7已知关于 x 的方程 x22x+3k=0 没有实数根，则 k 的取值范围是8已知 P（x1，y1），Q（x2，y2）在反比例函数的图象上，若 x1x20，则 y1y2（填“”“”或“=”）9如果反比例函数的图象经过点（2，1），那么这个反比例函数的解析式是10命题“对顶角相等”的逆命题
2、是11到点 P（5，0）的距离等于 4 的点的轨迹是12如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点若 AD=6，DE=5，则 CD 的长等于13如图，在ABC 中，ABC=56，三角形的外角DAC 和ACF 的平分线交于点 E，则ABE=度第 2 页（共 25 页）14如图，在 RtABC 中，BAC=90，C=30，以直角顶点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 BC于点 D，过 D 作 DEAC 于点 E若 DE=a，则ABC 的周长用含 a 的代数式表示为15如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，把矩形 ABCD 沿直线 MN 翻折，点 B 落在边 AD 上的 E
3、点处，若 AE=2AM，那么 EN 的长等于二、选择题（本大题共 4 题，每题 3 分，满分 12 分）16下列代数式中，+1 的一个有理化因式是（）ABC+1D117关于反比例函数的图象，下列叙述错误的是（）Ay 随 x 的增大而减小B图象位于一、三象限C图象关于原点对称 D点（1，2）在这个图象上18如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温 T 随时间 t 变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）A凌晨 4 时气温最低为3B14 时气温最高为 8第 3 页（共 25 页）C从 0 时至 14 时，气温随时间增长而上升D从 14 时至 24 时，气温随时间增
4、长而下降19如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（2，0），与 x 轴夹角为 30，将ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y=（k0）上，则 k 的值为（）A4B2CD三、简答题（本大题共 4 题，每题 6 分，满分 24 分）20计算：21解方程：（2x+1）（x1）=8（9x）122已知关于 x 的一元二次方程 ax2（4a+1）x+（4a1）=0 有两个实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 在允许的取值范围内取最小的整数时，请用配方法解此方程23如图，在ABC 中，AB=AC，作 ADAB 交 BC 的延长线于点 D，作 AEB
5、D，CEAC，且 AE，CE相交于点 E，求证：AD=CE四、解答题（本大题共 3 题，每题 8 分，满分 34 分）24某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 y（微克/毫升）与服药时间 x 小时之间函数关系如图所示（当 4x10 时，y 与x 成反比例）（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式第 4 页（共 25 页）（2）问血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间多少小时？25 2013 年，东营市某楼盘以每平方米 6500 元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转
6、，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015 年的均价为每平方米 5265元（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设 2016 年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套 100 平方米的住房，他持有现金 20 万元，可以在银行贷款 30 万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）26如图，已知在ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D 在边 BC 上，作DAF=90，且 AF=AD，过点 F 作 EFAD，且 EF=AF，联结 CF，CE（1）求证：FCBC；（2）如果 BD=AC，求证：点 C 在线段 DE 的垂直平分线上27在ABC 中，AB=AC，A=60，点
7、D 是线段 BC 的中点，EDF=120，DE 与线段 AB 相交于点E，DF 与线段 AC（或 AC 的延长线）相交于点 F（1）如图 1，若 DFAC，垂足为 F，AB=4，求 BE 的长；（2）如图 2，将（1）中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于点 F求证：BE+CF=AB；（3）如图 3，将（2）中的EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段 AC 的延长线交与点 F，作 DNAC 于点 N，若 DN=FN，（2）中的结论还成立吗？若 AB=4，求此时 BE 的长第 5 页（共 25 页）第 6 页（共 25 页）2015-201
8、6 学年上海市崇明县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 15 题，每题 2 分，满分 30 分）1化简：=【考点】算术平方根【分析】根据二次根式的性质：=（a0，b0）解答【解答】解：=2，故答案为：2【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解答此题的关键是熟练掌握二次根式的性质，并能正确运用2方程 x2=4x 的根为x1=0，x2=4【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x2=4x，x24x=0，x（x4）=0，x=0，x4=0，x1=0，x2=4，故答案为：x1=0，x2=4【点评】本题考
9、查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程3函数的定义域是x2【考点】函数自变量的取值范围【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原函数可得关系式 x+20，解可得答案【解答】解：根据题意可得 x+20；解得 x2；第 7 页（共 25 页）故答案为 x2【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为 04如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 x 的值是1【考点】同类二次根式；最简二次根式【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得x+2=3x解得 x=1，故答案为
10、1【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式5已知 f（x）=，则=+1【考点】函数值【分析】将 x=代入 f（x）=，再化简即可得【解答】解：当 x=时，=+1，故答案为：+1【点评】本题考查求函数值的能力，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值6在实数范围内分解因式：x23x2=【考点】实数范围内分解因式【分析】首先令 x23x2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解【解答】解：令 x23x2=0，则 a=1，b=3，c=2，第 8 页（共 25 页）x=，x23x2=故答案为：【点评】本题考
11、查实数范围内的因式分解注意掌握公式法解一元二次方程的知识7已知关于 x 的方程 x22x+3k=0 没有实数根，则 k 的取值范围是k【考点】根的判别式【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，可得出关于 k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论【解答】解：关于 x 的方程 x22x+3k=0 没有实数根，=（2）2413k=412k0，解得：k故答案为：k【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出=412k0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的情况结合根的判别式，得出不等式（或不等式组）是关键8已知 P（x1，y1），Q（x2，y2）在反比例函数的
12、图象上，若 x1x20，则 y1y2（填“”“”或“=”）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据反比例函数的比例系数 k0 可知，该函数在 x0 内单调递减，再结合 x1x20，即可得出结论【解答】解：反比例函数中 k0，该函数在 x0 内单调递减x1x20，第 9 页（共 25 页）y1y2故答案为：【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是得出反比例函数在 x0 内单调递减本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据系数 k 的取值范围确定函数的单调性是关键9如果反比例函数的图象经过点（2，1），那么这个反比例函数的解析式是y=【考点】待定系数法求反比例函数解析式【分析
13、】设 y=，直接把点（2，1）代入求解【解答】解：设 y=把（2，1）代入，得k=xy=2，则 y=，故答案为 y=【点评】此题考查了运用待定系数法求反比例函数解析式的方法10命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角【考点】命题与定理【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”故答案为相等的角为对顶角【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也考查了
14、逆命题11到点 P（5，0）的距离等于 4 的点的轨迹是以 P 为圆心 4 为半径的圆【考点】轨迹【分析】只需根据圆的定义即可解决问题【解答】解：如图所示，到点 P（5，0）的距离等于 4 的点的轨迹是以 P 为圆心 4 为半径的圆第 10 页（共 25 页）故答案为以 P 为圆心 4 为半径的圆【点评】本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合，属于中考常考题型12如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点若 AD=6，DE=5，则 CD 的长等于8【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线【专题】计算题【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得
15、 AC=2DE=10；然后在直角ACD 中，利用勾股定理来求线段 CD 的长度即可【解答】解：如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，DE=5，DE=AC=5，AC=10在直角ACD 中，ADC=90，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD=8故答案是：8【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 AC 的长度是解题的难点第 11 页（共 25 页）13如图，在ABC 中，ABC=56，三角形的外角DAC 和ACF 的平分线交于点 E，则ABE=28度【考点】三角形的外角性质；角平分线的性质【分析】过点 E 作 EGA
16、D 于 G，作 EHBF 于 H，作 EKAC 于 K，根据角平分线上的点到脚的两边距离相等可得 EG=EK，EH=EK，从而得到 EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得 BE 平分ABC，然后求解即可【解答】解：如图，过点 E 作 EGAD 于 G，作 EHBF 于 H，作 EKAC 于 K，DAC 和ACF 的平分线交于点 E，EG=EK，EH=EK，EG=EH，BE 平分ABC，ABE=ABC=56=28故答案为：28【点评】本题考查了角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记性质并作出辅助线判断出 BE 是角平分线是解题
17、的关键14如图，在 RtABC 中，BAC=90，C=30，以直角顶点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 BC于点 D，过 D 作 DEAC 于点 E若 DE=a，则ABC 的周长用含 a 的代数式表示为第 12 页（共 25 页）【考点】含 30 度角的直角三角形【分析】先根据C=30，BAC=90，DEAC 可知 BC=2AB，CD=2DE，再由 AB=AD 可知点 D 是斜边 BC 的中点，由此可用 a 表示出 AB 的长，根据勾股定理可得出 AC 的长，由此可得出结论【解答】解：C=30，BAC=90，DEAC，BC=2AB，CD=2DE=2aAB=AD，点 D 是斜边 BC 的中点，
18、BC=2CD=4a，AB=BC=2a，AC=2a，ABC 的周长=AB+BC+AC=2a+4a+2a=（6+2）a故答案为：（6+2）a【点评】本题考查的是含 30的直角三角形，熟知在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半是解答此题的关键15如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，把矩形 ABCD 沿直线 MN 翻折，点 B 落在边 AD 上的 E 点处，若 AE=2AM，那么 EN 的长等于3【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】设 AM=x，表示出 EM=BM=6x，AE=2x，再利用勾股定理列出方程求出 x，然后求出 BM，AE，过点 N 作 NFAD 于 F，
19、求出AME 和FEN，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】解：设 AM=x，则 EM=BM=6x，AE=2AM=2x，第 13 页（共 25 页）四边形 ABCD 是矩形，A=90，在 RtAME 中，由勾股定理得，AM2+AE2=EM2，即 x2+（2x）2=（6x）2，整理得，x2+3x9=0，解得 x1=，x2=（舍去），所以，BM=6=，AE=3+3，过点 N 作 NFAD 于 F，易求AMEFEN，所以，即，解得 EN=3故答案为：3【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，难点在于利用勾股定理列方程求出 A
20、M 的长度二、选择题（本大题共 4 题，每题 3 分，满分 12 分）16下列代数式中，+1 的一个有理化因式是（）ABC+1D1【考点】分母有理化【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式【解答】解：由平方差公式，（）（）=x1，第 14 页（共 25 页）的有理化因式是，故选 D【点评】本题主要考查了对有理化因式的理解，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键17关于反比例函数的图象，下列叙述错误的是（）Ay 随 x 的增大而减小B图象位于一、三象限C图象关于原点对称 D点（1，2）在这
21、个图象上【考点】反比例函数的性质【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答【解答】解：A：反比例函数解析式中 k=20，则在同一个象限内，y 随 x 增大而减小，选项中没有提到每个象限，故错误；B：20，图象经过一三象限，故正确；C：反比例函数图象都是关于原点对称的，故正确；D：把 x=1 代入函数解析式，求得 y=2，故正确故选：A【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是要明确反比例函数的增减性必须要强调在同一个象限内18如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温 T 随时间 t 变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）A凌晨 4 时气温最低为3B14
22、时气温最高为 8C从 0 时至 14 时，气温随时间增长而上升第 15 页（共 25 页）D从 14 时至 24 时，气温随时间增长而下降【考点】函数的图象【分析】根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、由图象可知，在凌晨 4 点函数图象在最低点3，凌晨 4 时气温最低为3，故本选项正确；B、由图象可知，在 14 点函数图象在最高点 8，14 时气温最高为 8，故本选项正确；C、由图象可知，从 4 时至 14 时，气温随时间增长而上升，不是从 0 点，故本选项错误；D、由图象可知，14 时至 24 时，气温随时间增长而下降，故本选项正确故选 C【点评】本题考查的是函数的图象，能根
23、据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键19如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（2，0），与 x 轴夹角为 30，将ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y=（k0）上，则 k 的值为（）A4B2CD【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式【分析】设点 C 的坐标为（x，y），过点 C 作 CDx 轴，作 CEy 轴，由折叠的性质易得CAB=OAB=30，AC=AO=2，ACB=AOB=90，用锐角三角函数的定义得 CD，CE，得点 C 的坐标，易得k【解答】解：设点 C 的坐标为（x，y），过点 C
24、作 CDx 轴，作 CEy 轴，将ABO 沿直线 AB 翻折，CAB=OAB=30，AC=AO=2，ACB=AOB=90，CD=y=ACsin60=2=，ACB=DCE=90，第 16 页（共 25 页）BCE=ACD=30，BC=BO=AOtan30=2=，CE=|x|=BCcos30=1，点 C 在第二象限，x=1，点 C 恰好落在双曲线 y=（k0）上，k=xy=1=，故选 D【点评】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点 C 的坐标是解答此题的关键三、简答题（本大题共 4 题，每题 6 分，满分 24 分）20计算：【考点】二次根式的混合运算【
25、专题】计算题【分析】先分母有理化和进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可【解答】解：原式=2+3+=2+3+22=4+【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍第 17 页（共 25 页）21解方程：（2x+1）（x1）=8（9x）1【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】首先移项合并同类项，然后利用十字相乘法分解因式，再解两个一元一次方程即可【解答】解：2x22x+x1=728x1，2x2+7x72=0，（x+8）（2
26、x9）=0，x1=8，x2=【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键22已知关于 x 的一元二次方程 ax2（4a+1）x+（4a1）=0 有两个实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 在允许的取值范围内取最小的整数时，请用配方法解此方程【考点】根的判别式；解一元二次方程-配方法【分析】（1）由方程有两个实数根以及该方程为一元二次方程，结合根的判别式即可得出关于 a的不等式组，解不等式组即可得出 a 的取值范围；（2）根据（1）的结论找出 a 的值，将其代入原方程中，再利用配方法解该方程即可【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程 ax2（4a+
27、1）x+（4a1）=0 有两个实数根；，即，解得：a且 a0a 的取值范围为 a且 a0（2）a且 a0，a 的最小的整数为 a=1，原方程为 x25x+3=0，即=，x=，x1=，x2=第 18 页（共 25 页）【点评】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）找出关于 a 的不等式组；（2）确定 a 的值本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的情况结合根的判别式以及一元二次方程的定义，得出不等式组是关键23如图，在ABC 中，AB=AC，作 ADAB 交 BC 的延长线于点 D，作 AEBD，CEAC，且 AE，CE相交于点 E，求证：AD=CE【
28、考点】全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】欲证明 AD=CE，只要证明ABDCAE 即可【解答】证明：AB=ACABC=ACB，AEBD，EAC=ACB，ABC=EAC，ADAB，CEAC，BAD=ACE=90，在ABD 和ACE 中，ABDCAE，AD=CE【点评】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型四、解答题（本大题共 3 题，每题 8 分，满分 34 分）第 19 页（共 25 页）24某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 y（微克/毫升）与服药时间 x 小时之间函数关系
29、如图所示（当 4x10 时，y 与x 成反比例）（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式（2）问血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间多少小时？【考点】反比例函数的应用；一次函数的应用【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）利用 y=4 分别得出 x 的值，进而得出答案【解答】解：（1）当 0 x4 时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当 4x10 时，设反比例函数解析式为：y=，将（4，8）代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；因
30、此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为 y=2x（0 x4），下降阶段的函数关系式为 y=（4x10）（2）当 y=4，则 4=2x，解得：x=2，当 y=4，则 4=，解得：x=8，82=6（小时），血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间 6 小时【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键第 20 页（共 25 页）252013 年，东营市某楼盘以每平方米 6500 元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015 年的均价为每平方米 5265 元（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设 201
31、6 年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套 100 平方米的住房，他持有现金 20 万元，可以在银行贷款 30 万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】（1）设平均每年下调的百分率为 x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）如果下调的百分率相同，求出 2016 年的房价，进而确定出 100 平方米的总房款，即可做出判断【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为 x，根据题意得：6500（1x）2=5265，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），则平均每年下调的百分率为 10%；（2）如果下调的百
32、分率相同，2016 年的房价为 5265（110%）=4738.5（元/米2），则 100 平方米的住房总房款为 1004738.5=473850=47.385（万元），20+3047.385，张强的愿望可以实现【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键26如图，已知在ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D 在边 BC 上，作DAF=90，且 AF=AD，过点 F 作 EFAD，且 EF=AF，联结 CF，CE（1）求证：FCBC；（2）如果 BD=AC，求证：点 C 在线段 DE 的垂直平分线上第 21 页（共 25 页）【考点】全等三角形的判定与性质；线段
33、垂直平分线的性质；等腰直角三角形【分析】（1）根据正方形的性质得出 AD=AF，FAD=90=BAC，求出FAC=BAD，证出ABDACF，推出B=FCA 即可；（2）根据ABDACF，推出 BD=CF=AC，求出DAC=EFC，根据 SAS 推出DACEFC，即可得出 CD=CE【解答】解：（1）BAC=DAF=90，BACDAC=DAFDAC，即BAD=CAF，又AB=AC，AD=AF，ABDACF，B=ACF，BAC=90，AB=AC，B=ACB=45，ACF=B=45，BCF=90，FCBC；（2）ABDACF，BD=FC，又BD=AC，AC=FC，CAF=CFA，DAF=90，EFA
34、D，DAF=AFE=90，DAC=EFC，AD=AF，EF=AF，AD=FE，ADCFEC，CD=CE，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上第 22 页（共 25 页）【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力27在ABC 中，AB=AC，A=60，点 D 是线段 BC 的中点，EDF=120，DE 与线段 AB 相交于点E，DF 与线段 AC（或 AC 的延长线）相交于点 F（1）如图 1，若 DFAC，垂足为 F，AB=4，求 BE 的长；（2）如图 2，将（1）中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍
35、与线段 AC 相交于点 F求证：BE+CF=AB；（3）如图 3，将（2）中的EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段 AC 的延长线交与点 F，作 DNAC 于点 N，若 DN=FN，（2）中的结论还成立吗？若 AB=4，求此时 BE 的长【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质【分析】（1）如图 1，易求得B=60，BED=90，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE 的值；（2）过点 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，如图 2，易证MBDNCD，则有 BM=CN，DM=DN，进而可证到EMDFND，则有 EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM
36、+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB；（3）过点 D 作 DMAB 于 M，如图 3同（1）可得：B=ACD=60，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN由 DN=FN 可得 DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM=2BDsin60=BC=AB，因为BE+CF=BE+NFCN=BE+DMBM=BE+BDBD=AB，把 AB=4，BD=2 代入即可得到 BE+1=2，从而求得 BE=+1【解答】解：（1）如图 1，AB=AC，A=60，第 23 页（共 25 页）ABC 是等边三角形
37、，B=C=60，BC=AC=AB=4点 D 是线段 BC 的中点，BD=DC=BC=2DFAC，即AFD=90，AED=3606090120=90，BED=90，BE=BDcosB=2cos60=2=1；（2）过点 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，如图 2，则有AMD=BMD=AND=CND=90A=60，MDN=360609090=120EDF=120，MDE=NDF在MBD 和NCD 中，MBDNCD，BM=CN，DM=DN在EMD 和FND 中，EMDFND，EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB
38、；（3）过点 D 作 DMAB 于 M，如图 3同（1）可得：B=ACD=60同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN第 24 页（共 25 页）DN=FN，DM=DN=FN=EM，BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM=2BDsin60=BC=AB，（2）中的结论不成立；AB=4，BD=2，BE+CF=BE+NFCN=BE+DMBM=BE+BDBD=AB，BE+1=2，BE=+1【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到 BM=CN，DM=DN，EM=FN 是解决本题的关键第 25 页（共 25 页）