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1、河北衡水中学 2018 年高考押题试卷 理数试卷（二）第卷 一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2|60,Ax xxxZ，|,Bz zxyxA yA，则集合ABI=（）A0,1 B0,1,2 C0,1,2,3 D 1,0,1,2 2.设复数z满足121zii，则1|z=（）A5 B15 C55 D525 3.若1cos()43，(0,)2，则sin的值为（）A.426 B426 C.718 D23 4.已知直角坐标原点O为椭圆:C22221(0)xyabab的中心，1F，2F为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e，
2、则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：2222xyab没有交点”的概率为（）A.24 B424 C.22 D222 5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线E：22221(0,0)xyabab，当其离心率 2,2e时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A0,6 B,6 3 C.,4 3 D,3 2 6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32，则它的表面积是（）A.3 13(3)2222 B3 133()22242 C.13222 D13224 7.函数sinln|yxx在区间 3,3的图象大致为（）A B C D 8.二项式1()(0,0
3、)naxabbx的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，且展开式中的第 3 项的系数是第 4 项的系数的 3 倍，则ab的值为（）A4 B8 C.12 D16 9.执行下图的程序框图，若输入的0 x，1y，1n，则输出的p的值为（）A.81 B812 C.814 D818 10.已知数列11a，22a，且222(1)nnnaa，*nN，则2017S的值为（）A2016 10101 B10092017 C.2017 10101 D10092016 11.已知函数()sin()f xAx(0,0,|)2A的图象如图所示，令()()()g xf xfx，则下列关于函数()g x的说法中不正确的是（
4、）A.函数()g x图象的对称轴方程为()12xkkZ B函数()g x的最大值为2 2 C.函数()g x的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线:31l yx平行 D方程()2g x 的两个不同的解分别为1x，2x，则12|xx最小值为2 12.已知函数32()31f xaxx，若()f x存在三个零点，则a的取值范围是（）A(,2)B(2,2)C.(2,)D(2,0)(0,2)U 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
5、13.向量(,)am nr，(1,2)b r，若向量ar，br共线，且|2|abrr，则mn的值为 14.设点M是椭圆22221(0)xyabab上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P、Q，若PMQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 15.设x，y满足约束条件230,220,220,xyxyxy则yx的取值范围为 16.在平面五边形ABCDE中，已知120A，90B，120C，90E，3AB，3AE，当五边形ABCDE的面积6 3,9 3)S 时，则BC的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和
6、为nS，112a，121nnSS*(2,)nnN.（1）求数列na的通项公式；（2）记12lognnba*()nN求11nnb b的前n项和nT.18.如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，2ABa，120ABC，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，/DEBF，BDDE，22 2DEBFa，平面BDEF 底面ABCD.（1）证明：平面AEF 平面AFC；（2）求二面角EACF的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级 800 名学生中随机抽取 100 名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E
7、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应 100 分、90 分、80 分、70 分、60 分，学校要求平均分达 90 分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取 11 个学生样本，再从中任意选取 3 个学生样本分析，求这 3 个样本为A级的个数的分布列与数学期望.20.已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点23(,)2
8、2P，动直线l：ykxm交椭圆C于不同的两点A，B，且0OA OBuuu r uuu r（O为坐标原点）（1）求椭圆C的方程.（2）讨论2232mk是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21.设函数22()lnf xaxxax()aR.（1）试讨论函数()f x的单调性；（2）设2()2()lnxxaax，记()()()h xf xx，当0a 时，若方程()()h xm mR有两个不相等的实根1x，2x，证明12()02xxh.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲
9、线1C：3cos,2sinxtyt（t为参数，0a），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：4sin.（1）试将曲线1C与2C化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；（2）当3a 时，两曲线相交于A，B两点，求|AB.23.选修 4-5：不等式选讲.已知函数()|21|1|f xxx.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()yf x的图象，并由图象找出满足不等式()3f x 的解集；（2）若函数()yf x的最小值记为m，设,a bR，且有22abm，试证明：221418117ab.参考答案及解析 理科数学（）一、选择题 1-5:BCA
10、AD 6-10:AABCC 11、12：CD 二、填空题 13.-8 14.625122e 15.2 7,5 4 16.3,3 3)三、解答题 17.解：（1）当2n 时，由121nnSS及112a，得2121SS，即121221aaa，解得214a.又由121nnSS，可知121nnSS，-得12nnaa，即11(2)2nnana.且1n 时，2112aa适合上式，因此数列na是以12为首项，12为公比的等比数列，故12nna*()nN（2）由（1）及12lognnba*()nN，可知121log()2nnbn，所以11111(1)1nnb bn nnn，故22 31111nnnnTb bb
11、 bb bL11111(1)()()2231nnL1111nnn.18.解：（1）因为底面ABCD为菱形，所以ACBD，又平面BDEF 底面ABCD，平面BDEF I平面ABCDBD，因此AC 平面BDEF，从而ACEF.又BDDE，所以DE 平面ABCD，由2ABa，22 2DEBFa，120ABC，可知22426AFaaa，2BDa，22426EFaaa，22482 3AEaaa，从而222AFFEAE，故EFAF.又AFACAI，所以EF 平面AFC.又EF 平面AEF，所以平面AEF 平面AFC.（2）取EF中点G，由题可知/OGDE，所以OG 平面ABCD，又在菱形ABCD中，OAO
12、B，所以分别以OAuuu r，OBuuu r，OGuuu r的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz（如图示），则(0,0,0)O，(3,0,0)Aa，(3,0,0)Ca，(0,2 2)Eaa，(0,2)Faa，所以(0,2 2)(3,0,0)AEaaauuu r(3,2 2)aaa，(3,0,0)(3,0,0)ACaa uuu r(2 3,0,0)a，(0,2)(0,2 2)EFaaaauuu r(0,2,2)aa.由（1）可知EF 平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,2)EFaauuu r.设平面AEC的法向量为(,)nx y zr，则0,0,n AEn ACr
13、uuu rr uuu r即32 20,0,xyzx即2 2,0,yzx令2z，得4y，所以(0,4,2)n r.从而cos,n EFr uuu r633|6 3n EFanEFar uuu rruuu r.故所求的二面角EACF的余弦值为33.19.解：（1）从条形图中可知这 100 人中，有 56 名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为561410025，则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有1480044825.（2）这 100 名学生成绩的平均分为1(32 10056 907 803 702 60)100 91.3，因为91.390，所以该校高三年级目前学生的
14、“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取 11 个学生样本，其中A级 4 个，B级 7 个，从而任意选取 3 个，这3 个为A级的个数的可能值为 0，1，2，3.则03473117(0)33C CPC，124731128(1)55C CPC，214731114(2)55C CPC，30473114(3)165C CPC.因此可得的分布列为：则728144()0123335555165E 1211.20.解：（1）由题意可知22ca，所以222222()acab，即222ab，又点23(,)22P在椭圆上，所以有2223144ab，由联立，解得21b，22a，故所求的椭圆方
15、程为2212xy.（2）设1122(,),(,)A x yB xy，由0OA OBuuu r uuu r，可知12120 x xy y.联立方程组22,1,2ykxmxy 消去y化简整理得222(12)4220kxkmxm，由2222168(1)(12)0k mmk，得2212km，所以122412kmxxk，21222212mx xk，又由题知12120 x xy y，即1212()()0 x xkxm kxm，整理为221212(1)()0kx xkm xxm.将代入上式，得22222224(1)01212mkmkkmmkk.化简整理得222322012mkk，从而得到22322mk.21
16、.解：（1）由22()lnf xaxxax，可知2()2afxxax 222(2)()xaxaxa xaxx.因为函数()f x的定义域为(0,)，所以，若0a 时，当(0,)xa时，()0fx，函数()f x单调递减，当(,)xa时，()0fx，函数()f x单调递增；若0a 时，当()20fxx在(0,)x内恒成立，函数()f x单调递增；若0a 时，当(0,)2ax时，()0fx，函数()f x单调递减，当(,)2ax 时，()0fx，函数()f x单调递增.（2）证明：由题可知()()()h xf xx2(2)lnxa xax(0)x，所以()2(2)ah xxax22(2)(2)(1
17、)xa xaxa xxx.所以当(0,)2ax时，()0h x；当(,)2ax时，()0h x；当2ax 时，()02ah.欲证12()02xxh，只需证12()()22xxahh，又2()20ahxx，即()h x单调递增，故只需证明1222xxa.设1x，2x是方程()h xm的两个不相等的实根，不妨设为120 xx，则21112222(2)ln,(2)ln,xa xaxmxa xaxm 两式相减并整理得1212(lnln)a xxxx22121222xxxx，从而221212121222lnlnxxxxaxxxx，故只需证明2212121212122222(lnln)xxxxxxxxxx
18、，即22121212121222lnlnxxxxxxxxxx.因为1212lnln0 xxxx，所以（*）式可化为12121222lnlnxxxxxx，即11212222ln1xxxxxx.因为120 xx，所以1201xx，不妨令12xtx，所以得到22ln1ttt，(0,1)t.记22()ln1tR ttt，(0,1)t，所以22214(1)()0(1)(1)tR tttt t，当且仅当1t 时，等号成立，因此()R t在(0,1)单调递增.又(1)0R，因此()0R t，(0,1)t，故22ln1ttt，(0,1)t得证，从而12()02xxh得证.22.解：（1）曲线1C：3cos,2
19、sin,xtyt消去参数t可得普通方程为222(3)(2)xya.曲线2C：4sin，两边同乘.可得普通方程为22(2)4xy.把22(2)4yx代入曲线1C的普通方程得：222(3)4136axxx，而对2C有222(2)4xxy，即22x，所以2125a故当两曲线有公共点时，a的取值范围为1,5.（2）当3a 时，曲线1C：22(3)(2)9xy，两曲线交点A，B所在直线方程为23x.曲线22(2)4xy的圆心到直线23x 的距离为23d，所以48 2|2 493AB.23.解：（1）因为()|21|1|f xxx3,1,12,1,213,.2x xxxx x 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x 的解集为 1,1.（2）证明：由图可知函数()yf x的最小值为32，即32m.所以2232ab，从而227112ab ，从而221411ab2222214(1)(1)()71abaab2222214(1)5()711baab222221 4(1)18527117baab.当且仅当222214(1)11baab时，等号成立，即216a，243b 时，有最小值，所以221418117ab得证.