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1、天津市军粮城第二中学 20192020 学年高三年级上 12 月数学考试题 一、选择题：共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在四边形ABCD中，BCAD/，2AB，5AD，3BC，60A，点E在线段CB的延长线上，且BEAE，点M在边CD所在直线上，则MEAM 的最大值为（）A714 B24 C514 D30 2设集合222320Ax xBx xx，则RAC B（）A 0,12,4 B1,2 C D,04,3过点(3,1)M作圆222620 xyxy的切线 L，则 L 的方程为（）A40 xy B40 xy或3x C20 xy D2
2、0 xy或3x 4 已 知 数 列 na是 等 比 数 列，数 列 nb是 等 差 数 列，若26103 3aaa，16117bbb，则21039tan1bbaa的值是（）A1 B22 C22 D3 5设正实数,a b c分别满足22121,log1,12caabbc，则,a b c的大小关系为（）Abca Bcba Ccab Dacb 6已知函数xxxf2sin32cos)(，则下列说法中，正确的是（）A)(xf的最小值为1；B)(xf在区间6,6上单调递增；C)(xf的图像关于点Zkk),0,26(对称 D将)(xf的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的21，可得到)3cos(2)(xxg.
3、7抛物线22(0)ypx p=的焦点与双曲线22221(0,0)xyabab-=的右焦点 F 重合，且相交于,A B两点，直线 AF 交抛物线与另一点 C，且与双曲线的一条渐近线平行，若1|2AFFC=，则双曲线的离心率为（）A2 33 B2 C2 D3 8 设 函 数 f x在R上 可 导，xR，有 2f xfxx且 22f；对(0,)x，有 fxx恒成立，则2()12f xx的解集为（）A(2,0)(0,2)B(,2)(2,)C(2,0)(2,)D(,2)(0,2)9“10 x”是“1)1(log2x”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 二、填空题
4、：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.10复数iiiz211，则|z .11曲线()2sincosf xxx在点,()f处的切线方程为 .12在81xx的二项展开式中，含2x项的系数是 .（用数字作答）13已知六棱锥ABCDEFP 的七个顶点都在球O的表面上，若2PA，PA底面ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长为 1 的正六边形，则球O的体积为 .y x O B F C A 14若0mn，则21()mmn n的最小值为 .15 已知定义在R上的函数()f x满足(2)(2)f xf x，且当(2,2x 时，2111,022()2,20 xxxxxf xxxx ，若 函 数(
5、)()log,(1)ag xf xxa在(0,5)x上有四个零点，则实数a的取值范围为 .三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（本小题满分 14 分）在ABC中，内 角,A B C所 对 的 边 分 别 为,a b c.已 知sin4 sinaAbB，2225()acabc.（I）求cos A的值；（II）求sin(2)BA的值.17（本小题满分 15 分）菱形ABCD中，120oABCEA 平面ABCD，/EA FD，22EAADFD，（）证明：直线/FC平面EAB；（）求二面角EFCA的正弦值；（）线段EC上是否存在点M使得直线EB与
6、平面BDM所成角的正弦值为28？若存在，求EMMC；若不存在，说明理由.F E D C B A 18（本小题满分 14 分）已知点BA,分别是椭圆1:2222byaxC（0 ba）的左顶点和上顶点，F为其右焦点，1BFBA，且该椭圆的离心率为21；（I）求椭圆C的标准方程；（II）设点P为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M为直线AP与y轴的交点，线段AP的中垂线与x轴交于点N，若直线OP斜率为OPk，直线MN的斜率为MNk，且28OPMNbkka（O为坐标原点），求直线AP的方程.19（本小题满分 16 分）已知数列na是公比大于 1 的等比数列，nS为数列na的前n项和,37S，且13
7、a，23a，34a 成等差数列数列nb的前n项和为nT，*nN 满足1112nnTTnn，且11b，（I）求数列na和 nb的通项公式；（II）令为偶数为奇数，nbanbbcnnnnn,22，求数列 nc的前n2项和为nQ2；（III）将数列,nnab的项按照“当n为奇数时，na放在前面；当n为偶数时，nb放在 前 面”的 要 求 进 行 排 列，得 到 一 个 新 的 数 列：11223344556,a b b a a b b a a b b，求这个新数列的前n项和nP 20（本小题满分 16 分）已知2()46lnf xxxx，（）求()f x在1,(1)f处的切线方程以及()f x的单调
8、性；（）对1,x，有21()()6112xfxf xxkx恒成立，求k的最大整数解；（）令()()4(6)lng xf xxax，若()g x有两个零点分别为1212,()x x xx且0 x为()g x的唯一的极值点，求证：12034xxx.参考答案 一、选择题：共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.15：AACDB 69：BDCA 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.101 1121 20 xy 1270 138 23 144 15(3,4(5,)三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分.16（本小题满分 14 分）解：（）由sin4 sinaAbB，
9、及sinsinabAB，得2ab.（2 分）由2225acabc及余弦定理，得222555cos25acbcaAbcac.（6 分）（）由（），可得2 5sin5A，（7 分）代入sin4 sinaAbB，得sin5sin45aABb.（8 分）由（）知，A为钝角，所以22 5cos1 sin5BB.（9 分）于是4sin22sin cos5BBB，（10 分）23cos212sin5BB，（11 分）故 4532 52 5sin 2sin2 coscos2 sin55555BABABA .（14 分）17（本小题满分 15 分）解：建立以D为原点，分别以DA，DT（T为BC中点），DF的方向
10、为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），（1 分）则2,0,0A，1,3,0B，1,3,0C，0,0,0D，2,0,2E，0,0,1F.（2 分）（）证明：0,0,2EA，1,3,0AB ，设,nx y z为平面EAB的法向量，则00n EAn AB，即2030zxy，可得3,1,0n，（3 分）F E D C B A x y z 又1,3,1FC ，可得0n FC，（4 分）又因为直线FC 平面EAB，所以直线/FC平面EAB；（5 分）（）2,0,1EF ，1,3,1FC ，2,0,1FA，设1,nx y z为平面EFC的法向量，则1100n EFn FC，即2030 xzxyz
11、，可得13,3,6n ，（6 分）设2,nx y z为平面FCA的法向量，则2200nFAnFC，即2030 xzxyz，可得21,3,2n，（7 分）所以1212126cos,4n nn nn n，（8 分）所以二面角EFCA的正弦值为104；（9 分）（）设3,3,2EMEC，则23,3,22M，（10 分）则1,3,0BD ，23,3,22DM，（11 分）设3,nx y z为平面BDM的法向量，则3300nBDnDM，即30233220 xyxyz，可得32 333,1,1n，（12 分）由1,3,2EB ，得322 33122 322cos,82 2 4331EB n，（13 分）解
12、得14或78（舍），（14 分）所以13EMMC.（15 分）18（本小题满分 14 分）解：（I）依题意知：)0,(aA,),0(bB,)0,(cF，),(baBA,),(bcBF,（1 分）则12bacBFBA，（2 分）又21ace，23ab，（3 分）椭圆C的标准方程为C：22143xy.（4 分）（II）由题意)0,2(A，设直线AP的斜率为k，直线AP方程为)2(xky 所以)2,0(kM，设),(ppyxP，AP中点为),(HHyxH，)0,(NxN 由134)2(22yxxky消去y得0121616)43(2222kxkxk（5 分）22431216)2(kkxP )4312,
13、4386(222kkkkP（7 分）)436,438(222kkkkH（9 分）AP中垂线方程为：)438(1436222kkxkkky令0y得22432kkxN )0,432(22kkN（10 分）2436kkxykPPOP，（11 分）222234234MNkkkkkk（12 分）2226348()()1234OPMNkkbkkkka 解得492k 23k（13 分）直线AP的方程为)2(23xy，即3260 xy（14 分）19（本小题满分 16 分）（I）由已知，得 1231327(3)(4)32，aaaaaa，即123123767aaaaaa，也即2121(1)7(1 6)7aqqa
14、qq 解得 112aq（1 分）故数列na的通项为12nna（2 分）1112nnTTnn，nTn是首项为 1，公差为12的等差数列，（3 分）111(1)22nTnnn(1)2nn nT*()nN（4 分）nbn，*()nN（5 分）（II）111,22,为奇数为偶数nnncnnnn（5 分）21321242()()Qnnncccccc 11431142199nnn（9 分）11313149219nnn（10 分）（III）数列na前n项和21nnS，数列nb的前n项和(1)2nn nT；当2nk*()kN，2(1)(2)212128nknkkk kn nPST （11 分）当43-nk*(
15、)kN 当1n 时，11nPP 当2n 时,12122122(22)(21)(1)(1)212128nknkkkknnPST （13 分）当41-nk*()kN 1212212(2)(21)(3)(1)212128nknkkkknnPST （15 分）综上21212(2)21,28(1)(1)21,4381,1(3)(1)21,418nnnnn nnknnnkPnnnnk （16 分）20（本小题满分 16 分）解：（）6()24fxxx；（1 分）(1)8,(1)3ff ；（2 分）所以切线方程为85yx；（3 分）2()(1)(3)fxxxx，所以()f x的单调递减区间为(0,3)，单调
16、递增区间为(3,).（5 分）（）21()()6112xfxf xxkx等价于minln()1xxxkh xx；（6 分）22ln()1xxh xx，（7 分）记1()2ln,()10m xxx m xx，所以()m x为(1,)上的递增函数，（8 分）且(3)1ln30,(4)2ln 40mm，所以00(3,4),.()0 xst m x 即002ln0 xx，（9 分）所以()h x在0(1,)x上递减，在0(,)x 上递增，且000min000ln()()(3,4)1xxxh xh xxx；（10 分）所以k的最大整数解为 3.（11 分）（）222()20()ln,gxaxaag xx
17、xxaxxx，得02ax，（12 分）当(0,)2ax，()0g x，(,)2ax，()0g x；所以()g x在(0,)2a上单调递减，(,)2a上单调递增，而要使()g x有两个零点，要满足0()0g x，即2()()ln02e222aaagaa；（13 分）因为102ax，22ax，令21(1)xt tx，由22121122()()lnlnf xf xxaxxax，即：2222111112lnlnln1atxaxt xatxxt，而221201134(31)2 2(31)8xxxtxatxa 即：22ln(31)81attat由0,1at，只需证：22(31)ln880ttt，（14 分）令22()(31)ln88h tttt，则1()(186)ln76h ttttt 令1()(186)ln76n ttttt，则261()18ln110(1)tn tttt 故()n t在(1,)上递增，()(1)0n tn；（15 分）故()h t在(1,)上递增，()(1)0h th；12034xxx.（16 分）