《2020届湖南省衡阳市衡阳县、长宁、金山区高三上学期12月联考数学(文)试题(解析版)4800.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届湖南省衡阳市衡阳县、长宁、金山区高三上学期12月联考数学(文)试题(解析版)4800.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 16 页 2020 届湖南省衡阳市衡阳县、长宁、金山区高三上学期 12月联考数学（文）试题 一、单选题 1已知集合25AxNx，|(2)(7)0Bxxx，则ABI的元素的个数为（）A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】集合25AxNx5=2xN x，|270Bxxx|27xx 3,4,5,6,7AB元素个数为 5 个。故答案为：C。2若向量3,2,1,abm rr，且/abrr，则m（）A23 B23 C32 D32【答案】B【解析】根据向量平行坐标表示列式求解，即得结果.【详解】2/323abmm rrQ 故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基
2、础题.3若x，y满足约束条件04xyxy且2zxy，则（）Az的最大值为6 Bz的最大值为8 Cz的最小值为6 Dz的最小值为8【答案】C【解析】作出约束条件对应的可行域，然后利用平移直线法求解出对应的最值，注意根据截距判断最值是否存在.【详解】第 2 页 共 16 页 作出约束条件表示的可行域如下图，因为04xyxy，所以22xy，所以2,2A，由图可知，当直线2zxy经过点2,2A时，此时直线的截距最小，z取得最小值6，z无最大值.故选：C.【点睛】本题考查根据约束条件求解目标函数的最值，难度较易.采用平移直线法求解线性目标函数的最值，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起.4设函数 ln
3、,0,1,0,xxfxg xx若 f x是奇函数，则 2eg（）A3 B2 C1 D1【答案】A【解析】先求出2ef的值，再根据奇函数的性质()()fxf x，可得到 2ef的值，最后代入 22e(e)1fg，可得到答案.【详解】f x是奇函数 222eelne2 ff 22ee13gf 故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.第 3 页 共 16 页 5 已知,是三个不同的平面，,m n是两条不同的直线，下列判断正确的是（）A若，则 B若m，n，则mnP C若，m，n，则mn D若，m，n，则mnP【答案】B【解析】根据直线和平面的位置关系，依次判断每个选项的正误
4、得到答案.【详解】A.若，则或,相交，错误；B.若m，n，则mnP，同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，正确；C.若，m，n，则mn或mnP或异面，错误；D.若，m，n，则mnP或异面，错误 故选：B【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.6函数 348xf xx的零点所在的区间为（）A0,1 B31,2 C3,22 D52,2【答案】B【解析】根据零点存在性定理，判断零点所在区间.【详解】因为 110f ，33 302f，3102ff，所以 f x的零点所在的区间为31,2.故选：B【点睛】本题考查零点存在性定理，意在考查基本概念和方法，属于基础题型.7已知等比
5、数列 na的前n项和为nS，且54S，1010S，则15S（）第 4 页 共 16 页 A16 B19 C20 D25【答案】B【解析】利用5S，105SS，1510SS成等比数列求解【详解】因为等比数列 na的前n项和为nS，所以5S，105SS，1510SS成等比数列，因为54S，1010S，所以1056SS，15109SS，故1510919S.故选：B【点睛】本题考查等比数列前 n 项性质，熟记性质是关键，是基础题 8已知函数()sin3(0,)f xaxab ax R的值域为 5,3，函数()cosg xbax，则()g x的图象的对称中心为（）A,5()4kkZ B,5()48kkZ
6、 C,4()5kkZ D,4()510kkZ【答案】B【解析】由值域为 5,3确定,a b的值，得()5cos4g xx ，利用对称中心列方程求解即可【详解】因为(),2f xbab，又依题意知()f x的值域为 5,3，所以23ab 得4a，5b ，所以()5cos4g xx ，令4()2xkkZ，得()48kxkZ，则()g x的图象的对称中心为,5()48kkZ.故选：B【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为 0 9设tan 211a，则sin17cos17sin17cos17（）第 5 页 共 16 页 A221aa
7、 B221aa C21aa D241aa 【答案】A【解析】先对式子进行化简,分子分母同时除以cos17,再利用正切的和角公式求解可得,原式tan62,根据诱导公式可得tan211tan31 a,进而利用倍角公式求解即可【详解】sin17cos17tan171tatan4n5tan45117tan 1745tan62sin17cos17tan171tan17 ,因为tan211tan31 a,所以222tan312tan621tan 311 aa,故2sin17cos172sin17cos171aa 故选：A【点睛】本题考查利用正切的和角公式、倍角公式进行化简,考查三角函数分式齐次式求值问题
8、10若函数21()(1)ln2f xxaxax没有极值，则（）A1a B0a C1a D10a 【答案】A【解析】先求出导函数 fx，然后采用分类讨论的方法分析 f x是否有极值，注意定义域的限制.【详解】()(1)1afxxx，0 x，当0a 时，10ax.令()0fx，得01x；令()0fx，得1x.f x在=1x处取极小值.当0a 时，方程10ax 必有一个正数解xa，（1）若1a，此正数解为1x，此时2(1)()0 xfxx，f x在(0,)上单调递增，无极值.（2）若1a ，此正数解为1x，0fx必有2个不同的正数解，f x存在2个极值.综上，1a.第 6 页 共 16 页 故选：A
9、.【点睛】本题考查根据函数的极值存在情况求解参数，难度一般.利用导函数分析函数的极值时，要注意到：极值点对应的导函数值一定为零，但是导数值为零的x值对应的不一定是极值点，因为必须要求在导数值为零处的左右导数值异号.11在直角坐标系xOy中，直线l：4ykx与抛物线C：21yx相交于A，B两点，0,1M，且MAMBMAMBuuu ruuu ruuu ruuu r，则OA OBuuu r uuu r（）A7 B8 C9 D10【答案】C【解析】联立消y，得250 xkx，设11,A x y，22,B x y，则12xxk，125x x ，因为MAMBMAMBuuu ruuu ruuu ruuu r
10、，所以0MA MBuuu r uuur，列出等式可得k的值，然后可求得OA OBuuu r uuu r的值.【详解】由24,1,ykxyx得250 xkx，设11,A x y，22,B x y，则12xxk125x x ，1122(,1),(,1)uuu ruuu rMAx yMBxy 因为MAMBMAMBuuu ruuu ruuu ruuu r，所以0MA MBuuu r uuur，则2121212331MA MBx xkxkxkx xuuu r uuu r1239k xx 225 1390kk，所以22k 所以2121212121416358 169OA OBx xy ykx xk xx
11、uuu r uuu r 故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解是解决本题的关键.12 棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥EBCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥EBCD的内切球半径为（）A3 2612a B3 3612a 第 7 页 共 16 页 C3 3612a D3 2612a【答案】D【解析】由边长为a的正四面体可求得外接球的半径，接着求出正三棱锥的侧棱长，从而算出正三棱锥的表面积 S 及体积 V，最后代入公式13SrV，可得内切球的半径r.【详解】由
12、题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，且其外接球的直径为AE，易求得正四面体ABCD的高63AFa，外接球的半径为64a 设正三棱锥EBCD的高为h，因为6623AEaah，所以66ha 因为底面BCD的边长为a，所以22EBECEDa，则正三棱锥EBCD的三条侧棱两两垂直 易求得正三棱锥EBCD的表面积2334Sa，体积31 122223 222224E BCDVaaaa 设正三棱锥EBCD的内切球的半径为r，由312324S ra，得3 2612ra 故选：D【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球与内切球的半径问题.二、填空题 第 8 页 共 16 页 13设向量(1,2
13、 2)a v，|2b r，1cos,3a b vv，则()aabrrr_.【答案】7【解析】利用向量数量积定义、模的坐标运算，直接计算目标式子，即可得到答案.【详解】因为22|3axyv，13 223a b r r，所以21()93 273aabaa b rrrrr r.故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积的定义、模的坐标运算、数量积运算的分配律，考查基本运算求解能力，属于容易题.14若函数()exf xmx在 2,0上为减函数，则m的取值范围为_.【答案】1,【解析】将问题转化为导函数在2,0上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出m的取值范围.【详解】由题意可知()e0 xfxm，即xme
14、对 2,0 x 恒成立，所以 maxxme，所以0e1m 即1,m.故答案为：1,.【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数 f x为指定区间的单调增(或减)函数，则 00fxfx在指定区间上恒成立.15现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是_.若01x，则lglog 10 xx的最大值为2；若a，31a，1a是等差数列na的前3项，则41a ；“23x”的一个必要不充分条件是“2log 3x”；“0 xZ，0tan xZ”的否定为“xZ，tan xZ”.第 9 页 共 16 页【答案】【解析】根据基本不等式判断；利用等差中项先计算出公差，即可求解出4a的值；根据“
15、小推大”的原则去推导属于相应的何种条件；含一个量词的命题的否定方法：改量词，否结论，由此进行判断.【详解】若01x，则lg0 x，11lglog 10lglg2lglgxxxxxx ，当且仅当110 x 时，等号成立，所以正确；若a，31a，1a是等差数列 na的前3项，则112(31)4aaaa，所以452(1)(31)4aaa，所以不正确；因为2443log 3log 9log 82，所以“2log 3x”能推出“23x”，但是“23x”不能推出“2log 3x”，所示“23x”的一个充分不必要条件是“2log 3x”，所以不正确；因为特称命题的否定是全称命题，否定含一个量词的命题时，注意
16、修改量词，否定结论.所以正确.故所有正确结论的编号是.故答案为：.【点睛】本题考查命题真假的综合判断，难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时，注意说明取等号的条件；(2)注意区分“p是q的必要不充分条件”、“p的必要不充分条件是q”这两者的区别.16若函数()sin()(0)6f xx在(0,2)内存在唯一的0 x，使得0()1f x，则()f x的最小正周期的取值范围为_.【答案】1212,115【解析】根据0(0,2)x得到0,2666x，由sinyx的图象特征可得372,622，从而得到的范围，再由周期公式得到周期T的范围.第 10 页 共 16 页【详解】因为0(0,2)x，0，所以
17、0,2666x.依题意可得372,622，解得5 11,6 6，则21212,115T.故答案为：1212,115.【点睛】本题考查利用整体思想、三角函数的五点法作图，研究三角函数的周期，考查数形结合思想的灵活运用，同时求解时注意整体思想的运用.三、解答题 17设函数 e1xf x （1）若曲线 yf x与x轴的交点为A，求曲线 yf x在点A处的切线方程；（2）证明：f xx【答案】（1）yx；（2）详见解析.【解析】（1）令0y，可求得函数与x轴的交点 A，对 e1xf x 求导，代入点 A的横坐标可得切线斜率，然后根据点斜式可写出切线方程；（2）构造函数 e1xg xf xxx，然后求出
18、()g x的最小值，不等式可证.【详解】（1）解：令 e10 xf x ，得0 x，所以A的坐标为0,0 因为 exfx，所以 01f，故曲线 yf x在点A处的切线方程为yx（2）证明：设函数 e1xg xf xxx，e1xgx，令 0gx，得0 x；令 0gx，得0 x 所以 min00g xg，从而 0g x，即 f xx 第 11 页 共 16 页【点睛】本题主要考查求函数在某点的切线方程以及用导数证明不等式.18设*nN，向量(31,3)ABnuuu r，(0,32)BCnuuu r，naAB ACuuu r uuu r.（1）试问数列1nnaa是否为等差数列？为什么？（2）求数列1
19、na的前n项和nS.【答案】（1）1nnaa是等差数列,理由见解析；（2）1216nn 【解析】(1)先求解出ACuuu r的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出 na的通项公式，再根据定义判断1nnaa是否为等差数列；(2)根据(1)中结果求出1na的通项公式，然后根据裂项相消法求解出nS的表达式.【详解】（1）(31,31)ACABBCnnuuu ruuu ruuu rQ，2(31)3(31)(31)(34)nannnn.1(34)(37)(31)(34)6(34)nnaannnnnQ，21118nnnnaaaa为常数，1nnaa是等差数列.（2）11113 3134nannQ，1 1
20、111111 113 4771031343 4341216nnSnnnnL.【点睛】本题考查向量与数列的综合应用，难度一般.(1)等差数列常用的证明方法：定义法：根据1nnaad(d是常数)，证明等差数列.等差中项法：当 na满足212nnnaaa时，可证明 na为等差数列；(2)常见的裂项相消类型：11111n nnn、111121 212 2121nnnn、第 12 页 共 16 页 111nnnn.19已知四棱锥PABCD的直观图如图所示，其中AB，AP，AD两两垂直，2ABADAP，且底面ABCD为平行四边形.（1）证明：PABD.（2）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是
21、该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥PABCD的体积.【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，83【解析】（1）根据PAAB，PAAD得到PA 平面ABCD，得到证明.（2）直接画出侧视图，利用体积公式直接计算得到答案.【详解】（1）因为,AB AP AD两两垂直，所以PAAB，PAAD.因为ABADA，所以PA 平面ABCD.因为BD 平面ABC，所以PABD.（2）该四棱锥的侧视图如图所示：依题意可得四边形ABCD为正方形，四棱锥PABCD的体积为2182233.【点睛】本题考查了三视图的应用，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20
22、在ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2cosaAbcC（1）求角A的大小；（2）求2sinsinBC的取值范围 第 13 页 共 16 页【答案】（1）3A；（2）3,00,32U.【解析】（1）根据正弦定理以及sin()sinACB，逐步化简，可求得角 A；（2）角 B 用角 C 表示，逐步化简，得结果为3cosC，确定角 C 的范围，便能求得答案，注意一点，cos0C.【详解】解：（1）由cos2cosaAbcC，结合正弦定理可得sincos2sinsincosAABCC，即sincos2cossincossinACABAC，即sincoscossin2cossi
23、nACACAB，即sin2cossinACAB，所以sin2cossinBAB，即sin2cossinBAB 因为0,B，所以sin0B，所以1cos2A 又0,A，所以3A（2）2312sinsin2sinsin2cossinsin3cos322BCCCCCCC，因为20,3C，所以1cos,12C，又cos0C，所以1cos,00,12C U，所以2sinsinBC的取值范围是3,00,32U【点睛】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及求三角函数的取值范围.21如图，在各棱长均为 4 的直四棱柱1111ABCDABC D中，60BADo，E为棱1BB上一点.第 14 页 共 16 页
24、 （1）证明：平面ACE 平面11BDD B；（2）在图中作出点A在平面1ABD内的正投影H（说明作法及理由），并求三棱锥BCDH的体积.【答案】（1）见解析（2）16 37【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，可从线面垂直入手，即证AC 平面11BDD B，进而得到面面垂直；（2）先找到过 A 的一个垂直于面.1ABD的一个平面，优点 A 向两个面的交线作垂线即可，B CDHHBCDVV，代入计算即可。解析：（1）证明：底面ABCD为菱形，ACBD.在直四棱柱1111ABCDABC D中，1BB 底面ABCD，1BBAC.1BBBDB，AC 平面11BDD B.又AC 平面ACE，平面ACE
25、 平面11BDD B.（2）解：设AC与BD交于点O，连接1AO，过A作1AHAO，H为垂足，H即为A在平面1ABD内的正投影.理由如下：1AA 平面ABCD，1AABD，又BDAO，1AOAAA，BD 平面1A AO，BDAH，又1AOBDO，AH 平面1ABD.4sin602 3AO ，14AA，第 15 页 共 16 页 12 7AO，由21AOOHAO得67OH，过H作HKAO，垂足为K，由11HKOHAAAO得127HK.B CDHHBCDVV 111216 344 sin603277 .22已知函数2()ln()f xaxx a R（1）讨论()f x的单调性（2）若(1,)x，(
26、)f xa，求a的取值范围【答案】(1)当0a 时，()f x在(0,)上单调递增，当0a 时，()f x在1(0,)2a上单调递增，在1(,)2a上单调递减；（2）1,2.【解析】试题分析：（1）对函数()f x求导，再根据a分类讨论，即可求出()f x的单调性；（2）将 f xa 化简得21ln0a xx，再根据定义域1,x，对a分类讨论，0a 时，满足题意，0a 时，构造2()(1)lng xa xx，求出()g x的单调性，可得()g x的最大值，即可求出a的取值范围.试题解析：（1）21122axfxaxx，当0a 时，0fx，所以 f x在0,上递增，当0a 时，令 0fx，得12
27、xa，令 0fx，得10,2xa；令 0fx，得1,2xa，第 16 页 共 16 页 所以 f x在10,2a上递增，在1,2a上递减.（2）由 f xa，得21ln0a xx，因为1,x，所以2ln0,1 0 xx，当0a 时，21ln0a xx满足题意，当12a 时，设 22211ln(1),0axg xa xx xgxx，所以 g x在1,上递增，所以 10g xg，不合题意，当102a时，令 0g x，得1,2xa，令 0g x，得11,2a，所以 max1102g xgga，则 1,0 xg x，综上，a的取值范围是1,2.点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.