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1、考点 17 立体几何中的计算问题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019 扬州期末）底面半径为 1，母线长为 3 的圆锥的体积是_【答案】2 23 【解析】圆锥的高为 h 32122 2，圆锥的体积 V13122 22 23.2、(2019 镇江期末）已知一个圆锥的底面积为，侧面积为 2，则该圆锥的体积为_【答案】33 【解析】思路分析 先求出圆锥的底面半径和高 设圆锥的底面半径、高、母线长分别为 r，h，l，则r2，rl2，解得r1，l2.所以 h 3.圆锥的体积V13Sh33.3、(2019 宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为 2 cm的正三角形，则该圆锥的体积为_ cm3.【答
2、案】33【解析】圆锥的底面半径 R1，高 h 2212 3，故圆锥的体积为 V1312 333.4、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是 3 cm，侧面的对角线长是 3 5 cm，则这个正四棱柱的体积为_cm3.【答案】54【解析】由题意知，正四棱柱的高为（3 5）2326，所以它的体积 V32654，故答案为 54.5、(2019 南京学情调研）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，AA13，则四棱锥 A1B1C1CB 的体积是_ 【答案】2 3【解析】如图，取 B1C1的中点 E，连结 A1E，易证 A1E平面 BB1C1C，所以 A1E 为四棱锥 A1B1C
3、1CB 的高，所以 V四棱锥 A1B1C1CB13S 矩形 BB1C1CA1E13(23)32 3.6、(2018 盐城三模）若一圆锥的底面半径为 1，其侧面积是底面积的 3 倍，则该圆锥的体积为 【答案】2 23【解析】设圆锥的高为h，母线为l，由2=,=Srl Sr侧底得，21=31l，即=3l，22312 2h，故该圆锥的体积为212 212 233.7、(2017 无锡期末）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120且面积为 3 的扇形，则该圆锥的体积等于_【答案】2 23【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则 2rl23，3122rl，解得 r1，l3，故hl2r22
4、2，所以圆锥的体积V13r2h13122 22 23.解后反思 解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中各个元素和几何体中元素的对应关系 8、(2016 南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是_【答案】8 3【解析】因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1，AA1平面AA1C1C，BB1平面AA1C1C，所以BB1平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BHAC，垂足为点H，由于ABC是正
5、三角形且边长为 4，所以BH2 3，从而三棱锥AA1EF的体积VAA1EFVEA1AF13SA1AFBH1312642 38 3.解题反思 一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解 9、（2016 无锡期末）如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OAOB，且OAVO1，则O到平面VAB的距离为_ 【答案】33 【解析】思路分析 在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1)利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2)利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算 解法 1 因为VO平面AOB，OA平面AOB，所以VOOA，同理VOOB
6、，又因为OAOB，OAVOOB1，所以VAVBAB 2，所以SVAB12VAABsin6032.设O到平面VAB的距离为h，由VVAOBVOVAB，得13SAOBVO13SVABh，得12OAOBVO32h，解得h33.解法 2 取AB中点M，连结VM，过点O作OHVM于H.因为OAOB，M是AB中点，所以OMAB，因为VO平面AOB，AB平面AOB，所以VOAB，又因为OMAB，VOOMO，所以AB平面VOM，又因为AB平面VAB，所以面VAB平面VOM，又因为OHVM，OH平面VOM，平面VAB平面VOMVH，所以OH平面VAB，所以OH为点O到平面VAB的距离，且OHVOOMVM33.【
7、问题探究，变式训练】题型一 柱、锥的面积与体积 知识点拨：求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高(即找线面垂直)，常见的空间几何体体积的求法有：作高法、转换顶点法、割补法.例 1、(2019 南京、盐城一模）如图，PA平面 ABC，ACBC，PA4，AC 3，BC1，E，F 分别为 AB，PC 的中点，则三棱锥 BEFC 的体积为_ 【答案】36 【解析】VBEFCVFBEC12VPBEC12(13SBECPA)121334436.【变式 1】(2019 泰州期末）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M 为棱 AA1的中点，记三棱锥 A1MBC 的体积V1，四棱锥 A1BB1C1C
8、的体积为 V2，则V1V2的值是_ 【答案】14【解析】解法 1(割补法)设ABC 的面积为 S，三棱柱的高为 h，则 V1VA1ABCVMABC13Sh13S12h16Sh，V2VABCA1B1C1VA1ABCSh13Sh23Sh，所以V1V2Sh632Sh14.解法 2(等积转换)V1VBA1MC12VBA1AC12VA1ABC，V22VA1BC1B12VBA1B1C12VA1ABC，所以V1V214.【变式 2】(2018 常州期末）已知圆锥的高为 6，体积为 8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是 7，则该圆台的高为_【答案】3【解析】设截得的小圆锥的高为 h1，底面半径为
9、 r1，体积为 V113r21h1；大圆锥的高为 h6，底面半径为r，体积为 V13r2h8.依题意有r1rh1h，V11，V1V13r21h113r2hh1h318，得 h112h3，所以圆台的高为 hh13.【变式 3】(2018 镇江期末）已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 6，则该正四棱锥的体积为_【答案】83【解析】正四棱锥的底面边长为 2，可知底面正方形对角线长为 22，所以正四棱锥的高为（6）2（2）22，所以正四棱锥的体积 V134283.【变式 4】(2018 扬州期末）若圆锥的侧面展开图是面积为 3且圆心角为23的扇形，则此圆锥的体积为_【答案】2 23 【解析】设圆锥
10、的底面半径为 r，高为 h，母线为 l，则由1223l23，得 l3，又由23l2r，得 r1，从而有 h l2r22 2，所以 V13r2h2 23.【变式 5】(2018 南京、盐城、连云港二模）在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图 1 中阴影部分)，折叠成底面边长为 2的正四棱锥 SEFGH(如图 2)，则正四棱锥 SEFGH 的体积为_ （图 1）（图 2）【答案】43 【解析】连结 EG，HF，交点为 O，正方形 EFGH 的对角线 EG2，EO1，则点 E 到线段 AB 的距离为 1，EB1222 5.SO SE2OE2 512，故正四棱锥 SEFGH
11、 的体积为13(2)2243.【变式 6】(2018 苏锡常镇调研（二）在棱长为 2 的正四面体PABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且2PDDN，则三棱锥DMBC的体积为 【答案】29 【解析】思路分析：解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解，另一种是利用等体积转化的思想进行计算.解题过程：连结MB，MC，MN，过点D作MNDH 于H，因为BPBA，M为PA的中点，所以BMPA，同理CMPA，又因为MCMBM，所以MBCPA面，又因为MBCMN面，所以MNPA，又因为MNDH，所以PADH/，从而MBCDH面，故DH为点D到平面MBC的
12、高.在MBC中，MCMB，N为BC的中点，则222NBMBMN，MBC的面积2222121MNBCS，在NPM中，因为PMDH/，2PDDN，所以3131PMDH，从而三棱锥DMBC的体积923123131DHSVMBCMBCD 【变式 7】(2017 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在正三棱柱111ABCABC中，已知13ABAA，点P在棱1CC上，则三棱锥1PABA的体积为 【答案】439 【解析】因为正三棱柱111CBAABC 中，11/CCAA，因为BBAAAA111面，BBAACC111面，所以BBAACC111/面，因为点P在棱1CC上，所以点C到平面BBAA11的距离就是点P到平面
13、BBAA11的距离作ABCD，垂直为点D，因为正三棱柱111CBAABC 中，1AA面ABC，CD面ABC，所以1AACD，而BBAAAB11面，BBAAAA111面，11AAAAB，所以BBAACD11面因为正A B C P A1 B1 C1(第 10 题)三棱柱111CBAABC 中，31 AAAB，所以233CD，1ABA的面积293321S，所以三棱锥1ABAP 的体积439233293131CDSV【变式 8】(2017 南京三模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为 【答案】
14、13 【解析】将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得：11ADDCAC，当且仅当 1,A D C三点共线取到.此时1BD，所以1122ABDSABBD.在直三棱柱ABCA1B1C1中有1BBCB，又ABCB，易得CB 平面ABD，所以11C B 平面ABD，即11C B是三棱锥1CABD的高，所以1111111123323D ABCCABDABDVVC BS 【解后反思】对于求空间几何体中在两个侧面上两个有公共点距离之和最小值的问题，一般都可以转化为同一个平面上问题.本题也是数学中最有名的“将军饮马”的问题，有兴趣的同科可以用网络搜索查阅这个问题.题型二 球的面积与体积 知识点拨：解决空间几
15、何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，求得球半径多数试题中几何体的外A C B A1 B1 C1 D 接球通常可以考虑转化为相应长方体的外接球模型，这一类题在各类考题中常有出现，同学们一定要掌握其方法 例 1、(2019 苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为 2 的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_ 【答案】2 3 【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为 a2 3，面积 S34a23 3，高 h2.所以正三椎锥的体积 V13Sh2 3.【变式 1】(2019 苏州三市、苏北四市二调）设 P，A，B，C 为
16、球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA2 m，PB3 m，PC4 m，则球 O 的表面积为_m2.【答案】29【解析】根据题意，可知三棱锥 PABC 是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过 P，A，B，C 四点的球，因为 PA2，PB3，PC4，所以长方体的体对角线的长为 PA2PB2PC2 29，即外接球的直径 2R 29，可得 R292，因此外接球的表面积为 S4R24292229，【变式 2】(2018 无锡期末）直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABBC，AB3，BC4，AA15，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】50【
17、解析】根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥 B1ABC 的外接球，也就是以 BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，设其半径为 R，则 2R BA2BC2BB21 324252，得 R5 22，故该球的表面积为 S4R250.【变式 3】(2017 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）现有一个底面半径为 3 cm，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是_cm.【答案】39 【解析】思路分析 圆锥的体积等于球的体积 圆锥的高为 4 cm，体积为V圆锥1332412(cm3)设球的半径为r cm，则43r312，即r39，所以r
18、39.题型三、立体几何中的综合问题 知识点拨：立体几何中的综合问题往往涉及到求体积的最值问题或者涉及到复杂的几何体的问题，常用的方法是涉及复杂的几何体进行简化，最值问题运用不等式或者求导进行解决。例 1、(2017 南京、盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为O，EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是_【答案】4 【解析】设 RtEFG的两条直角边分别为a，b，则a2b216，三棱锥OEFG的高为 3，从而VOEFG13SEFG312aba2b244，当且仅当ab2 2时等号成立，故三棱锥OEFG的体积的最大值为 4
19、.【变式 1】(2017 扬州期末）已知一个长方体的表面积为 48(单位：cm2)，12 条棱长度之和为 36(单位：cm)，则这个长方体的体积的取值范围是_(单位：cm3)【答案】16,20 【解析】解法 1 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，体积为V，根据题意有 2xy2yz2zx48，4(xyz)36，Vxyz，在的条件下，求多元函数Vxyz的取值范围，首先想到的是消元，由4(xyz)36 得xy9z，由 2xy2yz2zx48 得xy24(xy)z24(9z)z，因此Vxyz24(9z)zz，即Vz39z224z.由xy24(xy)z24(9z)z，得z29z24xyxy229z2
20、2，即有z26z50，解得1z5.问题转化为求Vz39z224z在1,5上的值域令V3z218z243(z2)(z4)0，得z2 或z4.所以V(z)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减，在4,5上单调递增，有V(1)16，V(2)20，V(4)16，V(5)20，所以当z1，xy4 或z4，x4，y1 或z4，x1，y4 时，Vmin16；当z2，x5，y2 或z2，x2，y5 或z5，xy2 时，Vmax20.所以体积V的取值范围为16,20 解法 2 设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则a，b，c0，abbcca24，abc9，得ab9c，abc29c24，所以a，b是方程x2(9c
21、)x(c29c24)0 的两个正根，由0,9c0，c29c240 解得 1c5，abcc39c224c，设f(c)c39c224c，f(c)3(c2)(c4)，f(1)f(4)16，f(2)f(5)20，所以长方体的体积取值范围是16,20 解法 3 设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则a，b，c0，abbcca24，abc9，得abcc39c224c.由 24abbccaab(ab)cab22(ab)c9c22(9c)c，解得 1c5，设f(c)c39c224c，f(c)3(c2)(c4)，f(1)f(4)16，f(2)f(5)20，所以长方体的体积取值范围是16,20【变式 2】（201
22、9 年南通一模）有一个体积为 2 的长方体，它的长宽高依次为a，b，1现将它的长增加1，宽增加 2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为 【答案】14【解析】依题意有：ab12，所以，ab2，设新长方体高为h，则（a1）（b2）h2，化简为：h22142442 2abab，当且仅当 2ab，即1,2ab时，h有最大值为14.【变式 3】(2019 苏北四市、苏中三市三调）已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3【答案】73【解析】所求几何体的体积为17+=1233VVV
23、圆锥圆柱【变式 4】(2019 苏州期初调查）将一张半径为 31(cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为_cm3.【答案】4 23 【解析】设四棱锥的棱长为 x，则有x232x 31，解得 x2，则三棱锥的高为22()22 2，所以四棱锥的体积为1322 24 23.【变式 5】(2018 南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的 已知正六棱柱的底面边长、高都为 4 cm，圆柱的底面积为 9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为 6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_cm(不计损耗)
24、【答案】2 10 【解析】由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为 6344249 3460 3，设所求正三棱柱的底面边长为 x cm，则有34x2660 3，解得 x2 10，所以所求边长为 2 10cm.【变式 6】(2018 苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)【答案】30【解析】思路分析 设球形容器的最小
25、半径为 R，则“十字立方体”的 24 个顶点均在半径为 R 的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上 球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以 2R 122252 30，得 4R230.从而 S球面4R230.【变式 7】(2017 苏州期末）一个长方体的三条棱长分别为 3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为_【答案】3【解析】思路分析 先不考虑在哪个面上钻孔，考察圆柱半径与高的关系，再检验 设圆柱的底面半径为r，高为h，该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面，多了一个圆柱侧面 由题意，得 r2r22rh，得rh.经检验，只有r3 符合要求，此时在 89 的面上打孔