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1、 1(球的体积，数学文化)我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：“有一个空心金球，它的直径是 12 寸，球壁厚 0.3 寸，1 立方寸金重 1斤，试问金球重多少斤？”该题的答案是(参考数据：3)()A125.77 斤 B864 斤 C123.23 斤 D369.69 斤 解析：由题意知，金球外壁的半径R6，金球内壁的半径r60.35.7，则金的体积V43(635.73)123.23(立方寸)因为 1 立方寸金重 1 斤，所以金球约重 123.23 斤，故选 C.答案：C 2(棱台的体积)若棱台的上下底面面积分别为
2、4,16，高为 3，则该棱台的体积为()A26 B28 C30 D32 解析：V13(SSSS)h13(4 41616)328.故选 B.答案：B 3(圆锥体积，圆锥与球的内接)已知底面半径为 1 的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为 16 的球面上，则该圆锥的体积为()A.2 33 B2 33 C(2 3)D.2 33 或2 33 解析：圆锥底面半径r1，由题意得，球的半径R2，如图，设OO1x，则xR2r2 2212 3，则圆锥的高hRx2 3或hRx2 3，所 以，圆 锥 的体 积V13Sh1312(2 3)2 33或V13Sh1312(2 3)2 33.故选 D.答案：D 4(球的体积，
3、动点轨迹)如图所示，在棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M在DD1上，点N在正方形ABCD内，MN2，点P为MN的中点，则点P的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为()A.12 B6 C.3 D.2 解析：如图，连接ND、DP，易知ND，DM，MN构成一个直角三角形，又P为MN的中点，MN2，所以根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，得无论MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于 1，故P点的轨迹与正方体的面围成的几何体是一个以D为球心，1 为半径的球的18，其体积V1843136.答案：B 5(正视图、侧视图与直观图)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A
4、1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A11 B21 C23 D32 解析：由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的12，侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的12，又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正视图与侧视图的面积之比是 11，故选 A.答案：A 6(球的内接多面体与球的表面积)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D256 解析：如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为AOB90，所以
5、SOAB12R2，要使VOABC13SOABh最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(VOABC)max1312R2R16R336，此时R6，所以球O的表面积为S球4R2144.故选 C.答案：C 7(多面体的内切球的体积)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B92 C6 D.323 解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R32，该球的体积最大，Vmax43R343278
6、92.答案：B 8(球内接三棱锥的体积)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.26 B36 C.23 D.22 解析：在直角三角形ASC中，AC1，SAC90，SC2，所以SA41 3；同理SB 3.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB(图略)，因为SACSBC，所以BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因为ASC30，所以AD12SA32，则ABD的面积为121 AD212224，则三棱锥的体积为1324226.答案：A 9(球内接四棱锥、球的表面积、体积)四棱锥SABCD的所有顶点都
7、在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于 88 3，则球O的体积等于()A.323 B32 23 C16 D.16 23 解析：依题意，设球O的半径为R，四棱锥SABCD的底面边长为a、高为h，则有hR，即h的最大值是R，又AC2R，则四棱锥SABCD的体积VSABCD132R2h2R33.因此，当四棱锥SABCD的体积最大，即hR时，其表面积等于(2R)2412 2R 2R22R288 3，解得R2，因此球O的体积等于4R33323，选 A.答案：A 10(球的内接三棱锥，球的表面积)已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，A
8、BC是边长为 1 的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为26，则球O的表面积为()A4 B8 C12 D16 解析：依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于 2d，所以VPABC2VOABC213SABCd233412d26，解得d23，又R2d23321，所以球O的表面积等于 4R24，选 A.答案：A 11(旋转体的体积、表面积)已知 RtABC，其三边长分别为a，b，c(abc)分别以三角形的边a，b，c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1，V2，V3.则
9、它们的关系为()AS1S2S3，V1V2V3 BS1S2S3，V1V2S2S3，V1V2V3 DS1S2bc，可得S1S2S3，V1V2V3.答案：B 12(球的内接三棱锥、球的表面积)已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，ABBC 2，AC2，若四面体ABCD体积的最大值为23，则这个球的表面积为()A.1256 B8 C.254 D.2516 解析：ABBC 2，AC2，ABC是直角三角形，ABC的外接圆的圆心为边AC的中点O1，如图所示，若使四面体ABCD体积取得最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又OO1平面ABC，点D是直线OO1与球上方的交点时体积最大设球的半径为R，则由体积
10、公式有O1D2.在 RtAOO1中，R21(2R)2，解得R54，故球的表面积S254，故选 C.答案：C 13(多面体的面与棱)(2019高考全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 半正多面体体现了数学的对称美 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_ 解析：先求面数，有如下两种方法 法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为 48
11、可知，其上部分有 9 个面，中间部分有 8 个面，下部分有 9 个面，共有 29826(个)面 法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2(欧拉公式)由图形知，棱数为 48 的半正多面体的顶点数为 24，故由VFE2，得面数F2EV2482426.再求棱长 作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为 1 的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长连接AF，过H，G分别作HMAF，GNAF，垂足分别为M，N，则AMMHNGNF22x.又AMMNNF1，即22xx22x1.解得x 21，即半正多面体的棱长为 21.答
12、案：26 21 14.(多面体表面上的最短距离)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于 3.蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为_ 解析：将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开如图所示，则有AA13，AA1AA2AA12310.所以蚂蚁爬过的路程最短为AA1.答案：3 10 15(平面翻折及外接球)正三角形ABC的边长为 2 3，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为 3，此时四面体ABCD的外接球的半径为_ 解析：球心O一定在与平面BCD垂直且过底面正三角形中心O的直线上，也在平面ADO中AD的垂
13、直平分线上，如图OEOD 332231，DE12AD122 33232，故所求外接球的半径r 12322132.答案：132 16.(多面体的体积)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点 若平面PAD平面ABCD，PAPDAD2，点M在线段PC上，且PM2MC，则四棱锥P-ABCD与三棱锥P-QBM的体积之比是_ 解析：过点M作MHBC交PB于点H.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQAD，PQ平面ABCD.PAPDADAB2，BAD60，PQBQ 3.VP-ABCD13PQS菱形ABCD13 3232.又PQBC，BQAD，ADBC.BQBC，又QBQPQ，BC平面PQB，由MHBC，MH平面PQB，MHBCPMPC23，BC2，MH43，VP-QBMVM-PQB1312 3 34323，VP-ABCDVP-QBM31.答案：31