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1、 .-可修编.1、反三角函数：概念：把正弦函数sinyx，,2 2x 时的反函数，成为反正弦函数，记作xyarcsin.sin()yx xR，不存在反函数.含义：arcsin x表示一个角；角,2 2 ；sinx.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）符号 arcsinx可以理解为2，2上的一个角(弧度)，也可以理解为区间2，2上的一个实数；同样符号 arccosx可以理解为0，上的一个角(弧度)，也可以理解为区间0，上的一个实数；（2）yarcsinx等价于 sinyx,y2，2,yarccosx等价于 cosyx,x0,这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）恒等式 s
2、in(arcsinx)x,x1,1,cos(arccosx)x,x1,1,arcsin(sinx)x,x2，2,arccos(cosx)x,x0,的运用的条件；（4）恒等式 arcsinxarccosx2,arctanxarccotx2的应用。2、最简单的三角方程 方程 方程的解集 ax sin 1a Zkakxx,arcsin2|名称 函数式 定义域 值域 奇偶性 单调性 反正弦函数 xyarcsin 1,1增 2,2 奇函数 增函数 反余弦函数 xyarccos 1,1减,0 xxarccos)arccos(非奇非偶 减函数 反正切函数 arctanyx R 增 2,2 奇函数 增函数 反
3、余切函数 cotyarcx R 减,0 cot()cotarcxarcx 非奇非偶 减函数 .-可修编.1a Zkakxxk,arcsin1|ax cos 1a Zkakxx,arccos2|1a Zkakxx,arccos2|tan xa|arctan,x xka kZ cot xa|cot,x xkarca kZ 其中：（1）含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方
4、程中的作用；如：若sinsin，则sin(1)kk；若coscos，则2k；若tantan，则ak；若cotcot，则ak；（4）会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。【例题精讲】例 1.函数，的反函数为（）yxxsin232 A yxx.arcsin，11B yxx.arcsin ，11 C yxx.arcsin，11D yxx.arcsin，11 分析与解：232x xx22，需把角 转化至主值区间。22xxxy，又sin()sin 由反正弦函数定义，得xyarcsin xyyarcsin，又由已知得11 所求反函数为，yxxarcsin11 例 4.函数，的
5、图象为（）yxx arccos(cos)22 .-可修编.2 2 -2-2 O 2 O 2 -2 （A）（B）1 1 -2-2 O 2 O 2 -1 （C）（D）分析与解：解析式可化简为，yxxxxx arccos(cos)0220 即，显然其图象应为（）yxxxxA 0220 例 5.函数，的值域为（）yxx arccos(sin)()323 AB.656056，CD.323623，分析与解：欲求函数值域，需先求，的值域。uxx sin()323 323321321xxu，即sin 而在，上为减函数yuarccos11 arccos()arccosarccos321u 即，故选（）056yB
6、 例 6.使arcsinarccosxx成立的x的取值 X 围是()AB.022221，.-可修编.CD.12210，分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求 x 的取值 X 围，故需把 x 从反三角函数式中分离出来，为此只需对 arcsinx，arccosx 同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。若，则，而，xxx 0202arcsinarccos 此时不成立，故arcsinarccosxxx 0 若，则，xxx00202arcsinarccos 而在区间，上为增函数yxsin02 又arcsinarccossin(arcsin)sin(arccos)xxxx
7、即，解不等式，得xxx1222|又，故选（）01221xxB 例 7.若，则（）022arcsin cos()arccos sin()ABCD.222222 分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。arcsin cos()arcsin(sin)arcsin(sin)2 arccos sin()arccos(sin)arccos(sin)arccos cos()(),222 原式，故选（）()()22A 例 8.求值：(1)3sin 2arcsin5 (2)11tanarccos23 .-可修编.分析：arcsin()arcsin()sin352235表示，
8、上的角，若设，则易得 352，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。解：（）设，则13535arcsin()sin 221452，cossin sinsincos()()22235452425 即sinarcsin()2352425 （）设，则21313arccoscos 012 232，sincos tg211132 2322cossin即tg121322arccos 例 9.知函数2()arccos()f xxx（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：()(21)f xfx 解：（
9、1）由112xx得251251x 又 1,4141)21(22xxx)(xf的定义域为251,251，值域为41arccos,0 又21,251x时，xxxg2)(单调递减，xyarccos单调递减，从而)(xf递增)(xf的单调递增区间是21,251，同理)(xf的单调递减区间是251,21（2）)212()212arccos()arccos()212()(22xxxxxfxf即 即)414arccos()arccos(22xxx .-可修编.41414141112222xxxxxx 解不等式组得6121x不等式的解集为)61,21(简单的三角方程 例 1.写出下列三角方程的解集(1)2si
10、n()82x;(2)2cos310 x;(3)cot3x 解集x|x=(k+arctg3)2，kZ 例 2.求方程tan(3)34x在0,2上的解集.说明 如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让 k 取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解 例 3.解方程22sin3cos10 xx .-可修编.解：方程化为22cos3cos30 xx 说明 可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解 例 4.解方程3sin2cos0 xx 222sin3sincos2cos0 xxxx 除以 cos2x 化为 2tg2x-3tgx-2=0 说明 关于 sinx，
11、cosx 的齐次方程的解法：方程两边都除 cosnx(n=1，2，3，)(cosx=0 不是方程的解)，转化为关于 tgx 的方程来解 例 5.解方程：(1)3sin 2cos21xx (2)5sin 312cos36.5xx 思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程 2x-30=k180+(-1)k30 x=k90+(-1)k15+15(kZ)所以解集是 x|x=k90+(-1)k15+15，kZ .-可修编.于是 x=k60+(-1)k10+2238，(kZ)原方程的解集为x|x=k60(-1)k10+2238，kZ 最简单的三角方程 例 6.解方程22sin3cos0 xx 解原方程可化为
12、22(1cos)3cos0 xx，即22cos3cos20 xx 解这个关于cos x的二次方程，得 cos2x，1cos2x 由cos2x，得解集为；由1cos2x ，得解集为22,3x xkkZ 所以原方程的解集为22,3x xkkZ 说明方程中的2sin x可化为21cos x，这样原方程便可看成以cos x为未知数的一元二次方程，当0 时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解 .-可修编.【拓展提高】例 1.若方程cos22sin10 xxm 存在实数解，求m的取值 X 围 解一 由原方程，得 22sin2sin0 xxm，即 2sinsin02mxx 解这个以si
13、n x为未知数的一元二次方程，因为1sin1x 要使方程有解，只需14()021 102mm 解得142m 所以m的取值 X 围为1,42 说明有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x为未知数的一元二次方程的0，而且必须考虑sin x的值在1,1 解二 由原方程得 22sin2sin0 xxm，得22112sin2sin2(sin)22mxxx 因为1sin1x，所以142m 所以m的取值 X 围为1,42 说明 当方程sin(xt t为常数）有解时，必须满足1t，则原题就转化为求2112(),1,122mtt 的最大值、最小值问题 例 2.求方程sin 2cos()xx的解集 解一
14、由原方程得2sincoscosxxx，得 cos0 x，1sin2x 由cos0 x，得解集为,2x xkkZ；由1sin2x ，得解集为(1),6Kx xkkZ .-可修编.所以原方程的解集为(1),26Kx xkxkkZ 或 解二 由原方程得sin2cosxx，即3sin 2sin()2xx 得3222xkx或322()2xkx，即322xk或236kx，kZ 所以原方程的解集为322,236kx xkxkZ或 解三 由原方程得sin2cosxx，即cos(2)cos2xx 得222xkx或222xkx，即22xk或236kx，kZ 所以原方程的解集为22,236kx xkxkZ或 说明
15、由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解（1）sinsin，则2k或2,kkZ；（2）coscos，则2k或2,kkZ；（3）tantan，则,kkZ 【巩固练习】反三角函数 .-可修编.1.3arctan(tan)5的值是()A.35 B.25 C.25 D.35 2.下列关系式中正确的是 ()A.55cos cos44arc B.sin arcsin33 C.cos coscoscos44arcarc D.1tan(2)cot()2arcarc 3.函数()arcsin(tan)f x
16、x的定义域是 ()A.,4 4 B.,44kkkZ C.,(1)44kkkZ D.2,244kkkZ 4.在31,2上和函数yx相同的函数是 ()A.arccos(cos)yx B.arcsin(sin)yx C.sin(arcsin)yx D.cos(arccos)yx 5.函数arctan2xy的反函数是.6.求sinyx在3,22上的反函数.7.比较5arccos4与1cot()2arc的大小.51arccoscot()42arc 8.研究函数2arccosyxx的定义域、值域及单调性.9.计算:45cos arccosarccos513 .-可修编.10.求下列函数的定义域和值域：(1
17、)yarccosx1;(2)yarcsin(x2x);(3)yarccot(2x1),解：(1)yarccosx1,01,0 arccot(2x1)43,xR,y(0,43).11.求函数y(arccosx)23arccosx的最值及相应的x的值。解：函数y(arccosx)23arccosx,x1,1,arccosx0,设 arccosxt,0t,yt23t(t23)249,当t23时,即xcos23时,函数取得最小值49，当t时,即x1 时，函数取得最大值23.简单的三角方程 1.解下列方程.(1)2tan1x (2)sin5sin3xx (2)5x=2k+3x 或 5x=2k+-3x x
18、k或218kxkZ 2.方程 sin2xsinx在区间(0,2)内的解的个数是 3 个 .解：作出函数ysin2x和ysinx的图象，由图象知，它们的交点有 3 个。3.(1)方程 tan3xtgx的解集是x|xk,kZ.(2)方程 sinxcosx22在区间0,4上的所有的解的和是 9.4.解方程222 3sinsincoscos03xxxx xyO2 .-可修编.解一因为cos0 x（使cos0 x 的x的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x，得 22 3tantan103xx 解关于tan x的二次方程，得 tan3x，3tan3x 由tan3x，得解集为,3x xkkZ；由3tan3x ，得解集为,6x xkkZ 所以原方程的解集为,36x xkxkkZ或