《2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题(解析版)5499.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题(解析版)5499.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 20 页 2020 届北京市东城区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合|1Ax x，|(2)(1)0Bxxx，那么AB（）A|12xx B|11xx C|12xx D|11xx 【答案】D【解析】求得集合|12Bxx，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合|(2)(1)0|12Bxxxxx，所以AB|11xx.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限 B第三象限 C第二象限 D第四象限【答案】B【解
2、析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】，对应点为，在第三象限.故答案选 B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3下列函数中，是偶函数，且在区间0,上单调递增的为（）A1yx Bln|yx C2xy D1|yx 【答案】B【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.第 2 页 共 20 页【详解】由题意，对于A中，函数 1fxf xx ，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B中，函数 ln|f xx满足 ln|ln|fxxxf x，所以函数为偶函数，当0 x 时，函数lnyx为0,上的单调递增函数，符合题意；对于C中，函数2xy
3、 为非奇非偶函数，不符合题意；对于D中，1|yx 为偶函数，当0 x 时，函数1yx 为单调递减函数，不符合题意，故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4设,a b为实数，则“0ab”是“ab”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数 xf x为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数 xf x为单调递增函数，当0ab时，可得 f af b
4、，即ab成立，当ab，即 f af b时，可得ab，所以0ab不一定成立，所以“0ab”是“ab”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查第 3 页 共 20 页 了推理与论证能力，属于中档题.5 设，是两个不同的平面，,m n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A若m，mn，则/n B 若，m，n，则mn C若/n，mn，则m D若/，m，n，则/mn【答案】B【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【
5、详解】由题意，对于A中，若m，mn，则/n或n ，所以不正确；对于C中，若/n，mn，则m与可能平行，相交或在平面内，所以不正确；对于D中，若/，m，n，则m与n平行、相交或异面，所以不正确；对于B中，若，m，n，根据线面垂直的性质，可证得mn成立，故选：B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6从数字 1，2，3，4，5 中，取出 3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为（）A7 B9 C10 D13【答案】C【解析】由题意，把问题分为
6、三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字 1，2，3，4，5 中，取出 3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于 6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C 种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A 种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有 1 中排法，由分类计数原理可得，共有3 6 1 10 种不同排法，即这样的数共有 10 个.第 4 页 共 20 页 故选：C.【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着
7、重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（）A若2，则sinsin2 B若2，则coscos2 C若2，则sinsin1 D若2，则coscos1【答案】A【解析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A中，因为2，则0,24424 又由sinsin2sincos2sincos2cos222422，所以sinsin2是正确的；对于B中，例如,66，此时coscos3266，所以coscos2不一定成立，所以不正确；对于C中，因为2，例如5,612时，561162sinsin2124，所以sinsin
8、1不正确；对于D中，因为2，例如2,36时，13cosc23os1622，所以coscos1不正确，故选：A.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.第 5 页 共 20 页 8用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；若球心距124OO，球的
9、半径为3，则所得椭圆的焦距为 2；当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A B C D【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为R，根据题意分别求得bR，sinRa，tanROC，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R，根据题意可得椭圆的短轴长为22bR，即bR，长轴长为22sinRa，即sinRa，在直角1OOC中，可得1tanOCOC，即1tantanOCROC，又由22222222211tantansinRROCbRR，即222OCba，所以222OCab，又因为椭圆中222cab，所以
10、OCc，即切点为椭圆的两个交点，所以是正确的；由124OO，可得12OO，又由球的半径为3，即3R，在直角1OOC中，2222212(3)1OCOOR，由可知，即1c，所以22c，即椭圆的焦距为 2，所以是正确的；第 6 页 共 20 页 由可得sinRa，tanRc，所以椭圆的离心率为sintancostansinRceRa，所以当当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题
11、9若双曲线221xym与22132xy有相同的焦点，则实数m _.【答案】4【解析】结合双曲线的几何性质，得到132m ，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线221xym与22132xy有相同的焦点，可得132m ，解得4m.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10已知 na是各项均为正的等比数列，nS为其前n项和，若16a，2326aa，则公比q _，4S _.第 7 页 共 20 页【答案】12 454 【解析】根据等比数列的通项公式，得到2210qq，求得12q 再由等
12、比数列的前n项和公式，求得4S，得到答案.【详解】由题意，在数列 na是各项均为正的等比数列，因为16a，2326aa，可得221126126a qa qqq，即2210qq，解得12q 或1q （舍去），又由等比数列的前n项和公式，可得4416 1()4521412S.故答案为：12，454.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11 能说明“直线0 xym与圆22420 xyxy有两个不同的交点”是真命题的一个m的值为_.【答案】0【解析】根据直线
13、与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到22351(1)m ，求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420 xyxy的圆心坐标为(2,1)，半径为5r，若直线0 xym与圆22420 xyxy有两个不同的交点，则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即22351(1)m ，解得310310m，所以命题为真命题的一个m的值为0.故答案为：0.第 8 页 共 20 页【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12在平行四边形ABCD中，已知AB ACAC AD，|4
14、AC，|2BD，则四边形ABCD的面积是_.【答案】4【解析】由AB ACAC AD，根据向量的线性运算，得到ACBD，进而得到四边形ABCD是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.【详解】由题意，在平行四边形ABCD中，AB ACAC AD，可得()0AB ACACADABAC BD，所以ACBD 所以四边形ABCD是菱形，又由|4AC，|2BD，所以面积为14 242S .故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
15、.13已知函数()2sin()(0)f xx，曲线 yf x与直线3y 相交，若存在相邻两个交点间的距离为6，则的所有可能值为_【答案】2 或 10【解析】令2sin()3x，解得2,3xkkZ或22,3xkkZ，根据存在相邻两个交点间的距离为6，得到2136xxw或21536xxw，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f xx，曲线 yf x与直线3y 相交，第 9 页 共 20 页 令2sin()3x，即3sin()2x，解得2,3xkkZ或22,3xkkZ，由题意存在相邻两个交点间的距离为6，结合正弦函数的图象与性质，可得2122(),33kw xxkZ，令0k
16、，可得2136xxw，解得2w.或21722(),33kw xxkZ，令0k，可得21536xxw，解得10w.故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14将初始温度为0 C的物体放在室温恒定为30 C的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为nt，已知10tC.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为_：（填写模型对应的序号）1
17、30nnnkttt；130nnnttkt；130nntkt.在上述模型下，设物体温度从5 C升到10 C所需时间为mina，从10 C上升到15 C所需时间为minb，从15 C上升到20 C所需时间为minC，那么ab与bc的大小关系是_（用“”，“”或“”号填空）【答案】【解析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k），即可得到130nnnttkt，再根据函数模型，分别求得k的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n次测量得到的物体温度记为nt，则两次的体温变化为1nntt，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k），所以130nnnttkt，当物
18、体温度从5 C升到10 C所需时间为mina，可得105305k，可得第 10 页 共 20 页 51255k，当物体温度从10 C上升到15 C所需时间为minb，可得15 1030 10k，可得14k，当物体温度从15 C上升到20 C所需时间为minc，可得20 1530 15k，可得13k，可是111,0543am bm cm m，又由222221111111()5341516151601111431212bcmmmmmaacbbbcmmm，即ab与bc的大小关系是abbc.故答案为：，【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选
19、择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题 15在ABC中，已知sin3 cos0cAaC.（1）求C的大小；（2）若2b，2 3c，求ABC的面积.【答案】（1）23C（2）3【解析】（1）由正弦定理可得sinsin3cossin0CACA，求得sin3cos0CC，即可求解C的大小；（2）由正弦定理，可得1sin2B，得到6B，进而得到6ABC，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为sin3 cos0cAaC，由正弦定理可得sinsin3cossin0CACA，第 11 页 共 20 页 又因为(0,)A，所以sin0A，所以si
20、n3cos0CC，即tan3C ，又因为0C，所以23C.（2）由正弦定理，可得32sin12sin22 3bCBc，又因为03B，所以6B，所以6ABC.所以ABC的面积111sin2 2 33222SbcA.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.162019 年 6 月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的
21、消费意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机抽取了 1000 人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类 预计升级到5G的时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 2019 年 12月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 202l年 12月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021
22、 年之前升第 12 页 共 20 页 级到5G的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中愿意为升级5G多支付 10 元或 10 元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为 0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】（1）由从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到5G，结合古典
23、摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D为“从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为()P D，即可得到结论.【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000.（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，记事件A为“从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级5G多
24、支付 10 元或10 元以上”，事件B为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级5G多支付 10 元或 10元以上”，由题意可知，事件A，B相互独立，且()1 40%0.6P A ，()145%0.55P B ，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P XP AB，(1)()()()P XP ABABP ABP AB()(1()(1()()P AP BP A P B 0.6(10.55)(10.6)0.550.49，(2)()0.60.550.33P XP AB，所以X的分布列为 第 13 页 共 20 页 X 0 1 2 P 0.18 0.49 0.33 故X的数学期望
25、()0 0.181 0.492 0.331.15E X .（3）设事件D为“从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约5G套餐”，那么327031000()0.02CP DC.回答一：事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为 0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及
26、计算数学期望是理科高考数学必考问题.17如图，在三棱柱111ABCABC中，1BB 平面ABC，ABBC，12AAABBC.（1）求证：1BC 平面11A B C；（2）求异面直线1BC与1AB所成角的大小；（3）点M在线段1BC上，且11(0,1)B MBC，点N在线段1AB上，若MN平面11A ACC，求11ANAB的值（用含的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）1【解析】（1）根据三棱柱111ABCABC的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得第 14 页 共 20 页 11AB 平面11B BCC，得到111ABBC，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC 平面11A
27、 B C；（2）由（1）得到ABBC，建立空间直角坐标系Bxyz，求得向量11,BC AB，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B MBC，得(2,0,22)M，设11A NAB，得(0,22,22)N，求得向量MN的坐标，结合/MN平面11A ACC，利用0MN n，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABCABC中，由1BB 平面ABC，所以1BB 平面111ABC，又因为1BB 平面11B BCC，所以平面11B BCC 平面111ABC，交线为11BC.又因为ABBC，所以1111ABBC，所以11AB 平面11B BCC.因为1BC 平面11B BCC，所以111ABBC 又
28、因为12BBBC，所以11BCBC，又1111A BBCB，所以1BC 平面11A B C.（2）由（1）知1BB 底面ABC，ABBC，如图建立空间直角坐标系Bxyz，由题意得0,0,0B，2,0,0C，10,2,2A，10,0,2B.所以12,0,2BC，10,2,2AB.所以1111111cos,2|AB BCAB BCBABC.故异面直线1BC与1AB所成角的大小为3.第 15 页 共 20 页 （3）易知平面11A ACC的一个法向量1,1,0n，由11B MBC，得(2,0,22)M.设11A NAB，得(0,22,22)N，则(2,22,22)MN 因为/MN平面11A ACC，
29、所以0MN n，即(2,22,22)(1,1,0)0，解得1，所以111A NAB.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18已知函数321()3()3f xxxax aR.（1）若 f x在1x 时，有极值，求a的值；（2）在直线1x 上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线 yf x相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】
30、（1）1a（2）不存在，详见解析【解析】（1）求得2()23fxxxa，根据函数 f x在1x 取得极值，即可求解；（2）不妨设点1,Pb，设过点P与 yf x相切的直线为l，切点为00,x y，求得第 16 页 共 20 页 切线方程，根据直线l过1,Pb，转化为322000000132313bxxaxxxax，设函数322()2233g xxxxab，转化为 g x在区间,上单调递增，即可求解.【详解】（1）由题意，函数321()33f xxxax，则2()23fxxxa，由 f x在1x 时，有极值，可得(1)1230fa，解得1a.经检验，1a 时，f x有极值.综上可得1a.（2）不
31、妨设在直线1x 上存在一点1,Pb，设过点P与 yf x相切的直线为l，切点为00,x y，则切线l方程为32200000013233yxxxxxaxx，又直线l过1,Pb，有322000000132313bxxaxxxax，即32000222303xxxab，设322()2233g xxxxab，则22()2422(1)0g xxxx，所以 g x在区间,上单调递增，所以 0g x 至多有一个解，过点P与 yf x相切的直线至多有一条，故在直线1x 上不存在点P，使得过P至少有两条直线与曲线 yf x相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解
32、答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力 19已知椭圆222:1(1)xCyaa的离心率是22.（1）求椭圆C的方程；（2）已知1F，2F分别是椭圆C的左、右焦点，过2F作斜率为k的直线l，交椭圆C于,A B两点，直线1F A，1FB分别交y轴于不同的两点,M N.如果1MF N为锐角，求k第 17 页 共 20 页 的取值范围.【答案】（1）2212xy（2）7227,00,7447 【解析】（1）由题意，列出方程组，求得22a，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l的方程为1yk x，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:
33、1(1)xCyaa的离心率是22，可得2222221cababc解得22a，所以椭圆C的方程为2212xy.（2）由已知直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为1yk x，直线l与椭圆C的交点为11,A x y，22,B x y.由22(1)12yk xxy得2222214220kxk xk.由已知，判别式 恒成立，且2122421kxxk+=+，21222221kx xk.直线1F A的方程为11(1)1yyxx，令0 x，则110,1yMx.同理可得220,1yNx.所以2121211121211111111kxxy yFM FNxxxx 22221212121212121212111111
34、1kx xkxxkkx xxxx xxxx xxx 将代入并化简，得 21127181kFM FNk.第 18 页 共 20 页 依题意，角1MF N为锐角，所以110FM FN，即211271081kFM F Nk.解得217k 或218k.综上，直线l的斜率的取值范围是7227,00,7447 .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.2
35、0 已知数列 na，记集合*1(,)|(,),1,iijTS i jS i jaaaij i jN.（1）对于数列:1,2,3,4na，写出集合T；（2）若2nan，是否存在*,i jN，使得,1024S i j？若存在，求出一组符合条件的,i j；若不存在，说明理由.（3）若22nan，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,nB b bb，若2020mb，求m的最大值.【答案】（1）3,5,6,7,9,10T（2）不存在*,i jN，使得,1024S i j 成立.(3)详见解析【解析】（1）根据集合的定义*1(,)|(,),1,iijTS i jS i jaaaij i jN
36、，即可求解；（2）假设存在*,i jN，使得,1024S i j，得到1024(1)()jiij，根据ij与ji奇偶性相同，所以ij与1ji 奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i jN，使得(1)()(1)22tjiijiij，得到1(1)()2tjiij 不成立，结合数学归纳法，把数列22nan，转化为数列0,1,2,3,n，其相应集合T中满足1010nb 有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合*1(,)|(,),1,iijTS i jS i jaaaij i jN，第 19 页 共 20 页 可得3,5,6,7,9,10T.（2）假设存在*,i jN，使得,1024S i
37、j，则有1102422(1)2(1)()iijaaaiijjiij，由于ij与ji奇偶性相同，所以ij与1ji 奇偶性不同.又因为3ij，12ji ，所以 1024 必有大于等于 3 的奇数因子，这与 1024 无 1 以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i jN，使得,1024S i j 成立.（3）首先证明nan时，对任意的*mN都有2tmb，*tN.若*,i jN，使得：(1)()(1)22tjiijiij，由于1ji 与ji均大于 2 且奇偶性不同，所有1(1)()2tjiij 不成立.其次证明除2ttN形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数2 21thk，其中tN，*tN
38、.当1221tk时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)2212212ttttthkkkkk 此时结论成立.当1221tk时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)hkkk 21(1)(1)(2)2ttkkkkkk，此时结论成立.对于数列22nan，此问题等价于数列0,1,2,3,n，其相应集合T中满足：1010nb 有多少项.由前面的证明可知正整数 2，4，8，16，32，64，128，256，512 不是集合T中的项，所以n的最大值为 1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，第 20 页 共 20 页 利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.